Teoria delle probabilità: Eventi casuali e spazio campionario, Dispense di Psicometria

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TEORIA DELLA PROBABILITÀ

Argomenti della lezione

La teoria classica (Pascal)

La teoria frequentista (Von Mises)

La teoria assiomatica (Kolmogorov)

Costruzione di una variabile Casuale

Gli spazi di probabilità

Si definisce spazio campionario degli esiti l’insieme Ω delle descrizioni o dei simboli necessari a descrivere tutti i possibili esiti tra loro diversi che possono essere ottenuti dall’osservazione di un fenomeno casuale U.

Spazio degli esiti

U

ω 1

Ω

ω 2 ω (^3) ω 4

ω 5

ω 6

E

L’insieme di tutti i possibili fatti minimamente osservabili che siano tra loro tutti distinti.

{1} {2} {3} {4} {5} {6}

E = lancio di un dado

Possibili esiti elementari dell’esperimento E

Spazio delle descrizioni

Definizione di σ-algebra

Sia A una classe non vuota di sottoinsiemi di Ω sulla quale siano

definite le tre operazioni insiemistiche di complementazione, unione, e intersezione. Siano date inoltre:

 

∞

=

∞

=

1 1

5 )se ,

4 )se ,

3 )se ,

2 )se

i

i i

i i

c

B A B A B A

B C A B C A

B C A B C A

B A B A

A

Se A rispetta tali condizioni allora questa classe di sottoinsiemi

costituisce una sigma algebra di eventi su Ω.

Eventi semplici

• Un evento semplice a ∈ A corrisponde alla

formulazione di un enunciato logico ϕ(ω) che ipotizza

un successo rispetto ad uno dei possibili esiti

conosciuti all’interno dell’insieme Ω.

• La sua formulazione generale è del tipo: “l’esito

dell’esperimento E è ω”.

• Tale affermazione non è ne vera ne falsa finché non si

avrà osservato l’effettivo risultato dell’esperimento.

Ω = {Testa, Croce}

ESEMPI

E = Lancio di una moneta

ϕ1(ω) (^) L’esito del lancio della moneta è ω=T

ϕ2(ω) (^) L’esito del lancio della moneta è ω=C

Ω = {Superata, Non superata}

E = Prova di un esame

ϕ1(ω) (^) L’esito dell’esame è ω=S

ϕ2(ω) (^) L’esito dell’esame è ω=N

ESEMPIO

L’esito della 1 a^ estrazione è ω 1

L’esito della 2 a^ estrazione è ω 2

E = estrazione di due palline da un’urna

SUPPONIAMO DI VOLERE ESTRARRE DUE PALLINE

DA UN’URNA E CHE 2 PALLINE SIANO DI COLORE

ROSSO E NUMERATE CON 1 E 2 MENTRE 4 SIANO DI

COLORE VERDE E NUMERATE DA 3 A 6.

EVENTO SEMPLICE (COPPIA)

Evento 1 ϕ 1 (ω 1 , ω 2 ) =la prima pallina estratta èrossa

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6)

(2,1) (2,3) (2,4) (2,5) (2,6)

ϕ 2 (ω 1 , ω 2 ) =la seconda pallina estratta èrossa

Evento 2

(1,2) (2,1) (3,1)

(3,2)

(4,1)

(4,2)

(5,1)

(5,2)

(6,1)

(6,2)

Evento 3

A ={(1,2) , (2,1)}

ϕ 3 (ω 1 , ω 2 ) =entrambe le palline estratte sono rosse

UN EVENTO RINTRACCIA QUINDI UN SOTTOINSIEME DI DESCRIZIONI

CONTENUTE NELLO SPAZIO CAMPIONARIO Ω DEGLI ESITI.

SOTTO QUESTO PROFILO E’ POSSIBILE OTTENERE EVENTI COMPOSTI UTILIZZANDO GLI OPERATORI INSIEMISTICI DI UNIONE, INTERSEZIONE E COMPLEMENTAZIONE DEL SIGMA CAMPO DI

INSIEMI SU Ω.

IN GENERALE: SI DIRA’ CHE UN EVENTO CASUALE, INTESO COME INSIEME DI DESCRIZIONI IN Ω, E’ OCCORSO SE IL RISULTATO DI UN ESPERIMENTO CASUALE E’ DESCRIVIBILE PER MEZZO DI ϕ.

Evento composto 1

( )

oppure la seconda pallina è rossa

ϕ 1 ω 1 , ω 2 = la prima pallina estratta è rossa

Possiamo considerare l’evento ϕ 1 come disgiunzione logica di due sub eventi ϕa e ϕb. A questa disgiunzione corrisponderà l’unione dei sottoinsiemi a e b di Ω che individuano le descrizioni relative ai due sub eventi. Sicché:

(1,2) (1,3) (1,4) (1,5) (1,6) (^) (2,1)

(2,3) (2,4) (2,5) (2,6) (3,1) (^) (3,2)

(4,1) (^) (4,2) (5,1) (^) (5,2) (6,1) (6,2)

• Eventi Semplici: E. cui è favorevole un solo risultato.
• Eventi Composti: E. cui sono favorevoli più risultati.
• Eventi Compatibili: E. che hanno in comune almeno un risultato.
• Eventi Incompatibili: E. che non hanno in comune nessun risultato.
• Evento Certo: E. cui sono favorevoli tutti i risultati, ovvero che si verifica sempre.
• Evento Impossibile: E. cui non è favorevole alcun risultato, ovvero che non si

verifica mai.

Tipi di eventi

Spazi di Probabilità

• Esperimento casuale = lancio di un dado
• Spazio degli esiti = (1,2,3,4,5,6)
• Evento 1 = il risultato del lancio è 3
• Evento 2 = il risultato del lancio è 3 o 4
• Pr(Evento 1)= 1/6 e Pr(Evento 2)=2/

Esperimento casuale ( Ω, A , P )

Spazio di Probabilità

Uno spazio di probabilità è costituito da due

insiemi (Ω ed A ) e da una funzione P detta probabilità.

Ω è lo spazio degli esiti dell’esperimento E ;

A è la famiglia di tutti i sotto insiemi di Ω;

P è una funzione dall’insieme A all’insieme dei

numeri reali R.

Esperimento ( Ω, A , P )