Modelli
Problemi e modelli
Mauro Passacantando
Dipartimento di Informatica, Universit`a di Pisa
Corso di Ricerca Operativa A
Laurea in Informatica - Universit`a di Pisa - a.a. 2019/20
Mauro Passacantando Ricerca Operativa A 1 / 37 –
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Modelli di Programmazione Lineare: Applicazioni e Esempi, Slide di Ricerca Operativa
Slide Ricerca Operativa del corso di informatica
Tipologia: Slide
2018/2019
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Problemi e modelli
Mauro Passacantando
Dipartimento di Informatica, Universit`a di Pisa
Corso di Ricerca Operativa A
Laurea in Informatica - Universit`a di Pisa - a.a. 2019/
Esempio 1 - problema
Un coltivatore ha a disposizione 12 ettari di terreno da coltivare a lattuga o a
patate. Le risorse a sua disposizione, oltre al terreno, sono: 70 kg di semi di
lattuga, 18 t di tuberi e 160 t di concime. Supponendo che il mercato sia in grado
di assorbire tutta la produzione e che i prezzi siano stabili, la resa stimata per la
coltivazione di lattuga e di 3000 e/ettaro e quella delle patatee di 5000 e/ettaro.
L’assorbimento delle risorse per ogni tipo di coltivazione `e di 7 kg di semi e 10 t di
concime per ettaro di lattuga, 3 t di tuberi e 20 t di concime per ettaro di patate.
Stabilire quanto terreno destinare a lattuga e quanto a patate in modo da
massimizzare la resa economica e sfruttando al meglio le risorse disponibili.
Esempio 2 - problema
Un personal trainer deve preparare un piano di allenamento settimanale di 8 ore
combinando diverse attivit`a fisiche. Nella tabella seguente sono riportate le
attivita possibili, le calorie consumate in un’ora di attivita e il numero massimo di
ore dedicabili ad ogni attivit`a:
Attivit`a Camminare Jogging Nuoto Ginnastica Bicicletta
Calorie consumate 100 300 200 250 150
Max numero ore 6 3 4 3 5
Il piano di allenamento richiede almeno due ore di sport all’aperto (camminare,
jogging, bicicletta), che le calorie consumate con gli sport all’aperto non superino
il 50% delle calorie totali consumate e che le ore di nuoto non siano pi`u del 10%
del totale. Qual `e il piano di allenamento che massimizza le calorie consumate?
Esempio 2 - modello
Variabili decisionali:
x 1 = ore dedicate a camminare,
x 2 = ore dedicate al jogging,
x 3 = ore dedicate al nuoto,
x 4 = ore dedicate alla ginnastica,
x 5 = ore dedicate alla bicicletta.
Modello matematico (di programmazione lineare):
max 100x 1 + 300x 2 + 200x 3 + 250x 4 + 150x 5
x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 = 8
x 1 + x 2 + x 5 ≥ 2
100 x 1
300x 2
150x 5
≤ 0 .5 (100x 1
300x 2
200x 3
250x 4
150x 5
x 1
x 2
x 3
x 4
x 5
x 1
, x 2
, x 3
, x 4
, x 5
Esempio 3 - modello
Variabili decisionali:
xB = numero di palloni da basket prodotti
xC = numero di palloni da calcio prodotti
Modello matematico (di programmazione lineare intera):
max 20 x B
- 15 x C
16 x B
- 14 x C
8 xB + 12 xC ≤ 3600
xB ≥ 800
xC ≥ 1000
xB , xC ∈ N
Esempio 4 - problema
Un’azienda produce 4 tipi di TV (32, 40, 50 e 55 pollici) e ha a disposizione 2
stabilimenti produttivi (A e B). L’azienda dispone di 50 operai in A e 60 in B
ognuno dei quali lavora 8 ore al giorno per 5 giorni alla settimana. Le ore
necessarie per produrre i TV e le richieste minime da soddisfare sono indicate nella
seguente tabella:
TV 32” 40” 50” 55”
Stabilimento A 1.3 1.4 1.6 1.
Stabilimento B 1.4 1.6 1.9 2.
Richiesta 1000 800 500 300
Sapendo che i 4 tipi di TV vengono venduti rispettivamente a 400, 700, 900, e
1300 euro, l’azienda vuole determinare quanti TV di ogni tipo produrre nei due
stabilimenti in modo da massimizzare il ricavo complessivo.
Esempio 5 - problema
Supponiamo di voler investire un capitale di 100 mila euro. Abbiamo a
disposizione 9 investimenti possibili e per ciascuno di essi conosciamo il ricavo
atteso ed il costo attuale:
Investimento 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Ricavo atteso 50 65 35 16 18 45 45 40 25
(migliaia di euro)
Costo 40 50 25 10 10 40 35 30 20
(migliaia di euro)
Compatibilmente con il capitale disponibile, quali sono gli investimenti che
forniscono il massimo ricavo totale?
Esempio 5 - modello
Variabili decisionali: xj =
1 se l’investimento j viene scelto,
0 altrimenti,
per j = 1,... , 9
Modello matematico (di programmazione lineare binaria):
max 50x 1
65x 2
35x 3
16x 4
18x 5
45x 6
45x 7
40x 8
25x 9
40 x 1
50x 2
25x 3
10x 4
10x 5
40x 6
35x 7
30x 8
20x 9
xj ∈ { 0 , 1 }, j = 1,... , 9
Problema del Bin Packing
Dati n oggetti di peso p 1
,... , p n
e m contenitori ognuno di capacit`a C ,
trovare il minimo numero di contenitori in cui inserire tutti gli oggetti.
Variabili: xij =
{
1 se l’oggetto j `e inserito nel contenitore i ,
0 altrimenti,
yi =
{
1 se i `e usato,
0 altrimenti.
Modello:
min
m ∑
i =
yi
m ∑
i =
x ij
= 1 ∀ j = 1,... , n (1)
n ∑
j=
pj xij ≤ C yi ∀ i = 1,... , m (2)
x ij
∈ { 0 , 1 } ∀ i, j
y i
∈ { 0 , 1 } ∀ i
(1): ogni oggetto `e inserito in un solo contenitore (semiassegnamento)
(2): capacit`a contenitori
Carico fisso - problema
Un’azienda conserviera produce tonno all’olio, tonno al vapore e tonno agli aromi.
Per la produzione di ogni tipo di tonno `e necessario affittare una macchina avente
i seguenti costi: 200 euro a settimana per produrre tonno-olio; 150 euro a
settimana per il tonno-vapore; 100 euro a settimana per il tonno-aromi. I tempi di
lavorazione, le richieste di materia prima ed il ricavo di ogni prodotto sono
riassunti nella seguente tabella:
prodotto tempi di lavorazione materia prima ricavo
(ore/scatola) (kg/scatola) (euro/scatola)
tonno-olio 3 4 6
tonno-vapore 2 3 4
tonno-aromi 6 4 7
Ogni settimana sono disponibili 150 ore di lavoro e 160 kg di tonno. Determinare
il piano produttivo settimanale in modo da massimizzare il profitto complessivo.
Vincoli di alternativa - problema
Un’azienda produce tre tipi di auto: utilitarie, berline, station-wagon. Le risorse
necessarie, i tempi di lavorazione ed i profitti sono sintetizzati nella seguente
tabella:
auto acciaio lavoro profitto
(tonnellate) (ore) (euro)
utilitarie 1.5 30 2000
berline 3 25 3000
station-wagon 5 40 4000
L’azienda ha a disposizione 6000 tonnellate di acciaio e 60000 ore di lavoro.
Inoltre, se l’azienda produce un tipo di veicolo, allora ne deve produrre almeno
1000 unit`a.
Trovare il piano di produzione che massimizza il profitto totale.
Vincoli di alternativa - modello
Variabili:
x 1 , x 2 , x 3 = numero di utilitarie, berline e station–wagon prodotte.
y 1
1 se l’azienda produce utilitarie,
0 altrimenti.
Analogamente si definiscono y 2
, y 3
Modello: (^)
max 2000 x 1
3000 x 2
4000 x 3
- 5 x 1
3 x 2
5 x 3
30 x 1
25 x 2
40 x 3
x 1 ≤ 2000 y 1
1000 y 1 ≤ x 1
x 2 ≤ 2000 y 2
1000 y 2 ≤ x 2
x 3 ≤ 1200 y 3
1000 y 3 ≤ x 3
x 1 , x 2 , x 3 ∈ N
y 1 , y 2 , y 3 ∈ { 0 , 1 }
Distribuzione di lavori - modello
Variabili: t = tempo necessario per eseguire tutti i lavori
xij =
1 se il lavoro i `e eseguito dalla macchina j,
0 altrimenti.
Modello: (^)
min t
n ∑
i =
tij xij ≤ t per ogni macchina j = 1,... m
m ∑
j=
x ij
= 1 per ogni lavoro i = 1,... n
xij ∈ { 0 , 1 }
Selezione di sottoinsiemi - problemi
Insieme I = { 1 ,... , m}.
Famiglia S 1 ,... , Sn di sottoinsiemi di I , ognuno ha costo (o valore) cj.
Problema di copertura: determinare una sottofamiglia F di costo minimo tale
che ogni elemento di I appartenga ad almeno un sottoinsieme di F.
Problema di partizione: determinare una sottofamiglia F di costo minimo tale
che ogni elemento di I appartenga esattamente ad un sottoinsieme di F.
Problema di riempimento: determinare una sottofamiglia F di valore massimo
tale che ogni elemento di I appartenga ad al pi`u un sottoinsieme di F.
Esempio: I = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 },
S
1
= { 1 , 3 }, S
2
= { 2 , 4 }, S
3
= { 2 , 5 , 6 }, S
4
= { 5 , 6 }, S
5
copertura: F = {S 1
, S
2
, S
3
} partizione: F = {S 1
, S
2
, S
4
riempimento: F = {S 3
, S
5