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11 0112 3 I
Metodi risolutivi per alcune classi di ed differenziali
ordinarie del primo ordine
Edo del^ I^ ordine lineari^ fa y alay ba
con acro e bla cantine nel loro dominio
g (^19) DI
termine forzante
ossi in (^) questo caso (^) f x
y soddisfa^
le ipotesi del
teorema di^
Cauchy
tx e dem a a don b e
kg E^ IR
le soluzioni^ di^4 non si^ intersecano^ mai
Distinguiamo 2 casi
Fcasoomogeneo
b caso non
omogeneo
a caso (^) omogeneo beo^ g achy
A Cerchiamo eventuali soluzioni costanti
dette anche equilibri e soluzioni di^ equilibrio
La soluzione contante
gi o^ achy eo
E 9 o se a^ O l'eq.gl
aca
g
ha un'unica soluzione
costante (^) yea o^ fa e dem^ a
A cerchiamo le soluzioni non costanti
Noto che se
ga
è una soluzione non costante
Allora g Cx o VX
Allora possiamo dividere l'eq per
gas oca Se conosco una^ primitiva Acri di^ acro ho che SÌ da (^) Ac E (^) C C ER E leg lycan
a
E leglycal Acosta Cetra lag geni^ Acate^ CE^ IR A 1gal
e
A
e EIR
È H è
giro
è
a
A x^ y x^ bene
A
e
amicizie
c bene
È
H
e
A
già base^
A
Se conosco una primitiva Ben di ba è
A
ho che
e
AC
YEH BLA C^ C (^) ER a y D^
eta BLA C^ CER
Spesso si^ usa^ riscrivere^ questa^ ferula come gas ca Se
A
by da
o anche
g
e
Sacodge Sacadbandx Cass se g è soluzione^ di^ y achy ba e ga è (^) soluzione di
y acog
baia (^) e
2 B e IR Allora
ay t^ By^
è soluzione
di g eco^ y ta^ b (^) ch t (^) p ba Principio di^ sovrapposizione DEGLI Effetti oss l'oss fatta (^) nel caso (^) omogeneo è (^) un caso particolare di^ questa
Oss quali sono i^ domini massimali delle
soluzioni
I (^) più (^) grandi intervalli^ contenuti in^ donca^ a^ dom^ b Ebi 1 cerchiamo tutte (^) le soluzioni di Y (^) In X
I
EC 0, CAL (^) e
A
I gas f^ Irda^ ftp.yrdx S x Ix FCX (^) CER l'insieme di tutte^ le soluzioni è dato^ da due (^) famiglie g Costo IR^ t.cy.CN IZCO EIR y C 0 a^ Rit C^ G Ca CX CER ass (^) il fatto che^ y e^ ga abbiano la^ stessa
Forma analitica è^ un^ caso
provare a^ risolvere^ g
I
Ix
2 Trovare la soluzione di
Yy (^) g 2 2
Fa
a
la differenziale^ in^ farsa^ normale^ è g (^) In ala (^) ben II donca n (^) dame IRI^ o le soluzioni^ di (^) la differenziate hanno come dominio massimale a (^) C (^) 00,0 o (^) o to Ma ci^ interessano tutte^ e^ due le (^) famiglie perché le^ soluzioni^ su^ C^ no^ a^ non
interessano in quanto Xo 0,
mi limito a^ risolvere^ l'equazione su o^ to
ala
I D (^) Acn lega gcn SI fade Ig
da Zx anatomy C^ e^ er
27 avatar X ex CER
Impongo
ICI 2aucton etc (^2) Fate IL c
la soluzione del^ problema di^ Coney è
Gcn
2 aaaa
_g
a Soluzioni non costanti
Tegeonastzione non^ costante glycol o^
Fx
Se
g è^ una^ soluzione^
non costante posso
dividere (^) l'eq per gag
y G
μ
1cm
o (^) GI gcyet
la
E se (^) chiamo
Pena primitiva
di
Gg e (^) chiamo E una^ primitiva^ di^ f Teya ICD T (^) Cgc ICH C (^) C Ecr PG CN^
CNTC CER
gcxs T tcecntcl.cat oss (^) i domini massimali di (^) queste soluzioni Sono (^) gli intervalli^ più grandi contenuti
contemporaneamente in^ questi insiemi
I (^) dance
Cii x^ Eir^ gg e^ dom^ g Cii (^) xe IR (^) IG te^ appartiene all'Immagine
di T
ser (^) Ica te e dom r 7
ossi per ricavare la formula a negli esercizi
c'è un metodo mnemodico
g PG^ goy^ II fa (^) goy E dy
lodo as
Ig Secnav si (^) calcolano le^ due famiglie di^ primitive^ e
si recava
g in^ funzione^
di
Esempi
a (^) Edo (^) lineare omogenee del (^) I ordine
1 Trovare tutte^ le^ soluzioni^ di
yle
e 1
glee
E 8
fca e^ gigi è dem (^) f dom g IR
condizioni i^ e ii^ sono sempre
verificate
se cco e^ c^ e s^
log
c c
le soluzioni di^ tipo (^) gcm log e^ c
con cco hanno
lagC^
c to
come dominio
Per esercizio (^) provare a risolvere (^) y E Foga teal metodi (^) risolutivi (^) per una^ classe di Edo (^) del II ordine Edificio Quindi (^) y tacoy scay go a se (^) se ISILI
termine
Forzante
oss Principio^ di sovrapposizione degli^ effetti se
g
è soluzione di
g
taco (^) y't body g^
Ca e ga
è soluzione di
gl'tachy body^ gara e (^2) BEH
Allora
dy By^ a^ uscire^ y tachy^ body og^ Bg
In realtà^ anche a è^ troppo difficile^ per
ricavare una^ formula^ risolutiva generale
Dobbiamo fare^ qualche ulteriore semplificazione
x e b a sono funzioni costanti
ovvero acro a ta^ con a E IR
e bla b FX con be IR
4 Studieranno soltanto le^ Edo del (^) II ordine
lineari a coefficienti costanti ovvero
Ftagby gc contegafazione (^) continua oss in^ realtà le^ impareremo a^ risolvere (^) solo
per alcune^ classi^ di^ forzati^ con
regolarità C^ IR
ass (^) le soluzioni che troveremo^ in (^) questo caso
hanno tutte dominio massimale IR
Dobbiamo (^) distinguere a casi (^) omogenea e^ non omogeneo
a o_O Gea
g (^) tag by o^ an
Se applico la sovrapposizione
degli effetti^ con
9 9 IO
se la denota con^ P (^) d (^) posso scrivere
la caratteristica^ come^ PG o
Ingoiava 1 Se^ la_caratteristica^ ha^2 soluzioni distinte di (^) A2 E^ IR
Ovvero se P a ha due radici reali semplici o
di molteplicità^ allora e^ e^ eta sono due (^) integrali (^) particolari di or int (^) generale è^ dato y
y C^ e^ t^ Cal Cs Cz ER
ce (^) Y gl og o^ a^ e^ D^6
A
o o^ sa
É
distinte
int (^) generale (^) GCN Cie Creti ci Ca ER 2 Se^ la caratteristica ha un'unica (^) soluzione HEIR Lucena (^) Pla ha una sola (^) radice reale (^) doppia o con (^) molteplicità 2 Allora e e^ se (^) sono
due integrali particolari non proporzionali di Cor
e (^) accendi l'integrare (^) generale
yes GET^ Cave^ ci^ C2^ E^ IR e (^) y ay^ tay^ o
a
(^1) ad ta o^ A^2 o^ d 2 è
soluzione
reale doppia
integrale generale^ è GIA C^ e^ Cane^ G C^ E^ IR 3 Se^ la caratteristica ha 2 soluzioni distinte (^4) e (^) da complesse (^) coniugate ovvero^ PCI^ ha^2 radici semplici distinte^ complesse (^) coniugate
ovvero se ti a tip da d IB con d BER p
allora e^ cos^ Ba e^ e^ sin^ Ba sono^ due
integrati particolari^ non^ proporzionali e
accendi l'integrale
generale
è dato da
G CA^
E Ci cos Ba T Ca sin Ba
Ci.cz E^ IR
y try as^ O E D ad S^ O^ GHI U^ E
Sta zia
Conseguenza dato^ che^ Goa a^ lo^ so^ calcolare
sempre dobbiamo^ solo^ capire^ come
determinare un integrare
particolare di^ non
lo possiamo fare^ per^ alcune^ classi^ particolari
di forzanti (^) gia f gla Rca^ e (^) con me IR^ e^ Rex^ un^ polinomio di (^) grado me (^) IN (^3) casi (^) distinti
i
μ NG
è soluzione di ca caratteristica di ca
gp
ha la seguente farsa
Gp a a (^) è con (^) deal (^) polinomio
di guado E m
li
μ è (^) una soluzione (^) semplice di (^) la canalteristica di
A
Yp ha (^) la (^) seguente Foria gp
x XQC.DE con Qca polinomio di
guado In
Iii (^) μ è^ soluzione^ doppia^ di^ ca^ cavalteristica^ di
a
gp
ha la^
seguente Foria G pCal^ (^12) co e^ con^ Qca polinomio di
guado cn
2 gia Rca e^ sin^ Ox^ e^ già Rcs e^ Mca^ Ox con (^) μ e (^) IR O (^) Eir a e^ Rca (^) Polinomio di
grado mela 2 casi
i (^) μ IO (^) non è soluzione di (^) ca caratteristica di (^) ca gp ha^ la^ forma g per^ e (^) Qca con (^) Cox t (^) sci sin (^) ex
con Q e S^ di^ grado Em
ii (^) μ io^ è soluzione di (^) eq caratteristica di OA gp ha^ la^ forma y p^ Cal xe^ ac cos^ cos SCH Simcox
con Q e^ S^ polinomi di^ grado E^ m
(^3) già G Ca^ tg CD^ t^ 9K A^ Con^ KEN e (^) con gi 9K è o di (^) tipo 1 o^ di (^) tipo 2 l Gp x^ Yp e x^ typ 2 a (^) t gp e^
G con
SP (^) e (^) gp.rs Sono^ determinate
come visto^ nel^ caso 1 e^2
