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Facoltà di Economia - STATISTICA - Corso di Recupero a.a. 2012- Prof.ssa G. Balsamo
CONCETTI di BASE
Carattere
X [o A ]
caratteristica quantitativa [o qualitativa ]
rappresentativa di un “fenomeno” sottoposto ad
indagine
Popolazione insieme dei^ soggetti portatori del “carattere” in
esame (ossia TUTTI gli elementi della
popolazione).
Campione parte^ degli “elementi della popolazione”
Unità Statistica di
Rilevazione
è un “elemento” della popolazione, ed è il
soggetto su cui viene rilevata la caratteristica di
interesse
Modalità
xi [o ai ]
con i = 1, 2, 3, …n
determinazione di un “carattere”, ossia il modo
in cui si manifesta il carattere stesso al momento
della rilevazione
Frequenza
yi
[frequenza assoluta ] = numero di casi in cui si
presenta una data modalità di un carattere:
frequenza della modalità xi di X [ o della
modalità ai di A ]
Totale frequenze n
yi = N indica il “totale dei casi”
i=
Frequenza relativa
n
fi = yi / yi
i=
“ frazione di casi ” in cui è stata rilevata la
modalità corrispondente xi
n
fi = 1
i = 1
Percentuale
pi
frazione di 100 soggetti , su cui è stata rilevata la
modalità xi.
pi = fi x 100
G. Balsamo –Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli” – Ateneo di Palermo
TIPOLOGIE di FREQUENZE
Sulla base dei dati riportati nella tabella seguente, si chiede di calcolare
le percentuali di soggetti corrispondenti a ciascuna delle classi di età considerate; si chiede inoltre di calcolare i valori accumulati delle frequenze assolute e spiegarne il significato.
Sulla base di quanto richiesto utilizziamo il seguente “prospetto di calcolo”:
Tav. 1
xi yi
fi =
n i i
i y
y
1
pi = fi x 100
Fi =
i h
yh 1
Totali 70 1,0000 100,00 //
Ricordando che le percentuali vanno calcolate moltiplicando le frequenze relative per 100, i valori richiesti sono riportati nella quarta colonna della tabella, dove :
pi = f i × 100
e
n i
pi 1
G. Balsamo –Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli” – Ateneo di Palermo
VALORI MEDI
Valore medio di una serie ordinata di valori è un valore compreso tra il più piccolo ed il più grande dei valori osservati.
È una definizione molto generale. Per rispettare la natura del fenomeno in esame è preferibile fare riferimento ad una classificazione più vincolante. Si può fare una prima distinzione tra “ valori medi algebrici ” e “ valori medi di posizione ”.
1 - I Valori Medi Algebrici
Sono sintetizzati tramite delle formule matematiche, possono essere usati solo per variabili di tipo quantitativo e prendono in considerazione tutta la distribuzione dei valori osservata.
La Media Aritmetica Se le modalità di un fenomeno X, sono legate da una relazione di tipo additivo n x 1 + x 2 + … + xi + … + xn = xi i = 1
La Media Aritmetica ( M) è quel valore costante che, sostituito ad ognuno dei valori osservati, ne lascia inalterata la somma: n
M + M + … + M + … + M = xi
i = 1 n volte M
Da cui si ricava la formula finale [1] :
M =
n
x
n i
i
1
G. Balsamo –Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli” – Ateneo di Palermo
- Nel caso in cui i dati osservati possono essere sintetizzati in una “distribuzione di frequenza”:
con modalità : x 1 , x 2 ….... xi ...... xn e con frequenze : y 1 , y 2 ….... yi ...... yn
la media aritmetica diventa:
M =
n i i
n i i i
y
xy
1
1
[2]
ma, anche in questa formulazione « ponderata » , la media aritmetica è sempre esprimibile come il rapporto tra l’ammontare totale del fenomeno , ossia xi yi , diviso il numero totale dei casi , yi.
Tra le caratteristiche della media aritmetica vi è quello di minimizzare le distorsioni o gli errori accidentali i contenuti nei dati xi , ottenuti come misure ripetute di un carattere X. a) Proprietà del Baricentro: l a somma degli scarti tra i singoli valori e la propria Media aritmetica è nulla : n ( xi - M ) = 0 i= e (^) n ( xi - M ) yi = 0 per distribuzioni di frequenza i=
b) Proprietà del Minimo: l a somma dei quadrati degli scarti tra i singoli valori e la propria media aritmetica è un minimo, rispetto alla somma del quadrato degli scarti dei valori da un “valore medio” qualsiasi : n ( xi - M )^2 = minimo i= e (^) n ( xi - M )^2 yi = minimo per distribuzioni di frequenza i=
G. Balsamo –Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli” – Ateneo di Palermo
Esempi
Es. Calcolare la media aritmetica e la mediana dei dati riportati nella seguente distribuzione di frequenza del “consumo di gasolio” sostenuto in un anno da 155 “Hotel”. Tab.
Consumo Gasolio (in quintali)
Numero di Hotel
Totale 155
In presenza di una distribuzione di frequenza, per il calcolo della media aritmetica si utilizza la formula ponderata.
Prospetto di calcolo
Consumo Gasolio xi
yi xi yi Fi
Totale 155 24524 //
G. Balsamo – Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli”- Ateneo di Palermo
Utilizzando la formula di seguito riportata ed i calcoli della terza colonna della tabella precedente, si perviene al valore finale:
M = i
n i
xi y
1
n i
yi 1
M = 24524 / 155 = 158,2 quintali
Da notare che:
- la media è espressa nella stessa unità di misura del carattere;
- il valore ottenuto è compreso tra il più piccolo (148) ed il più grande (168) delle modalità riportate in tabella.
Per il calcolo della mediana , essendo in presenza di una distribuzione di frequenza, si utilizzano le frequenze cumulate, riportate nell’ultima colonna della seconda tabella.
La mediana è la modalità preceduta e seguita dallo stesso numero di casi; tale modalità, nel caso in cui il “totale frequenze” (N) è dispari, occupa il posto:
(N + 1) / 2 = (155 + 1) / 2 = 78° posto
La prima frequenza cumulata che supera questo valore è N 4 = 108 a cui corrisponde la modalità 160, che è la mediana della distribuzione:
Me = 160 quintali
Da notare che, anche in questo caso:
- la mediana è espressa nella stessa unità di misura del carattere;
- anche la mediana è compresa tra il più piccolo ed il più grande dei valori osservati.
G. Balsamo – Dipartimento di Scienze Statistiche e Matematiche “S. Vianelli” - Ateneo di Palermo
