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Esercitazione variabili casuali
Esercizio 1
E’ stato stimato che in un villaggio africano la probabilità che un bambino nasca sieropositivo è 0,5.
Considerando casualmente 4 bambini calcolare la probabilità che:
a) almeno un bambino sia sieropositivo;
b) almeno un bambino sia sieropositivo e uno no.
Essendo X (numero di nati sieropositivi) una B ( 4;0,5) si ha:
𝑥
𝑛−𝑥
a) 1 - P(X=0) =
4!
1 1 0, 0625
0! (4 0)!
b) 1 - P(X=0)-P(X=4)= 0 , 9375 −
4!
4!
( 4 − 4
) !
4
0
Esercizio 2
Il tasso di povertà delle famiglie in una città è 0,2. Scegliendo casualmente 5 famiglie calcolare la
probabilità che:
a) nessuna sia povera;
b) una sia povera;
c) al massimo due famiglie siano povere.
X numero di famiglie povere X ~ B ( 5 ; 0,2)
a) P(X=0) =
5
0
0
5
b) P(X=1)=
5
1
1
4
c) P(X<=2)=1-P(X>=3)
Se considero P(X<=2)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=
5 2 3
0, 2 0, 8
2
Considerando 1-P(X>=3)= 1-P(X=3)-P(X=4)-P(X=5)=
5 3 2 5 4 1 5 5 0
1 0, 2 0, 8 0, 2 0, 8 0, 2 0, 8
3 4 5
=1-[100,0080,64+50,00160,8+10,000321]=
=1-[0,0512+0,0064+0,00032]=
Esercizio 3
In un Paese la probabilità per un bambino appena nato di raggiungere i 35 anni è 0,72. Si
considerino 3 bambini appena nati, calcolare la probabilità che fra 35 anni siano in vita:
a) tutti e tre;
b) almeno 2;
c) solo uno;
d) almeno uno.
Si utilizza una binomiale di parametri n=3 e p=0,
A) P(X=3) =
3
3
3
0
B) P(X>=2)=P(X=2)+P(X=3)=
3
2
2
1
C) P(X=1)=
3
1
2
D) P(X>=1) =0,169+0,808=0,
Esercizio 4
In una città, la temperatura massima giornaliera si distribuisce come una v.c. Normale con media 23
gradi centigradi e deviazione standard 7. www2.stat.unibo.it/filippucci
a) Si determini la probabilità che la temperatura massima sia tra 21 e 25 gradi.
b) Qual è la probabilità di avere una temperatura massima superiore a 30 gradi?
Soluzione
X~ N (23;49)
− 2
4
Esercizio 7
Ad un servizio di guardia medica arrivano in media 3.5 richieste ogni ora di interventi urgenti a
domicilio.
- Calcolare la probabilità che in una stessa ora arrivino 3, 4, 5 chiamate urgenti.
- Calcolare la probabilità che in una stessa ora arrivi un numero di chiamate compreso fra 3 e
- Calcolare la probabilità che in una stessa ora arrivi un numero di chiamate maggiore di 4.
- Le probabilità possono essere calcolate con la distribuzione di Poisson, con parametro λ = 3.5:
− 3 , 5
3
− 3 , 5
4
− 3 , 5
5
− 3 , 5
0
− 3 , 5
1
− 3 , 5
2
− 3 , 5
3
− 3 , 5
4
Esercizio 8
L’altezza delle persone (X) di una popolazione di individui si distribuisce in maniera
approssimativamente normale con media 1,75 metri e scarto quadratico medio 5 cm. Calcolare la
probabilità di estrarre casualmente una persona dalla popolazione con altezza compresa tra 1,68 mt
e 1,80 mt.
La prima cosa da fare è trasformare i due valori di altezza in valori standardizzati in modo da poter
trovare le probabilità richieste sulla tavola
Z1=(168-175)/5=-1.
Z2=(180-175)/5=
Dalla tabella troviamo che la probabilità di estrarre a caso dalla popolazione un valore di Z inferiore
a 1 è 0.8413 e la probabilità di estrarne uno superiore a - 1.4 è 0.9192 (notare che sulla tavola è
presente il valore 1.4 ma per la simmetria della distribuzione l’area a sx di 1.4 è uguale a l’area a dx
di - 1.4)
Quindi
P(Z1<1)=0.
P(Z2>-1.4)=0.
Quello che a noi interessa è calcolare la P(168
