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Proporzione campionaria
ESEMPIO – ELEZIONI
Popolazione Campione
(non ho certezza di quanti si
presenteranno alle urne)
n = 1000
(decido di intervistarne solo un tot)
(la riesco a calcolare solo dopo le
elezioni, quando ho il numero certo
di elettori)
Con 𝑥 = persone che hanno votato un dato partito
Devo capire se la media di tutti i possibili campioni coincide
con la proporzione in popolazione
𝑝̂
➔ Allora è corretta
Scelgo di studiare solo un partito
→ M5S
partiti 𝑓
𝑖
M5S 32,2%
Pd 19,1%
Lega 17,6%
campionamento casuale semplice con ripetizione
(numerosità così grande che è quasi impossibile estrarre lo
stesso soggetto)
di questi 4 devo capire in quanti sono disposti a votare
Movimento 5 stelle:
1 = vota M5S 0 = vota altro
C 1° 2° 3° 4° 𝑥
4
1
3
2
2
3
1
4
Tra loro indipendenti: l’esito di un’estrazione non mi
influenza l’esito della successiva
4
3
➔ Uguale per tutti gli altri campioni con stessa 𝑝̂
𝑥
𝑛−𝑥
Probabilità di ogni singolo campione dipende da p, x e n → per poterla calcolare devo conoscere:
- probabilità di popolazione (𝑝)
- numero di campioni che presentano quella modalità (𝑥)
- numerosità del campione (𝑛)
I campioni non è detto che siano equiprobabili → funzionano a blocchi
4
→ campioni tra loro incompatibili, non c’è intersezione
questo vuol dire che posso sommare le probabilità:
1
3
2
2
3
1
4
La probabilità più alta è quella di avere 0,25 e 0,
→ nonché le più vicine alla proporzione in popolazione (= 0,322)
𝑝̂
𝑖
5
𝑖= 1
𝑖
) = 0 , 322 → 𝑝̂ è uno stimatore corretto!
𝑃
̂
2
𝑖
2
𝑖
5
𝑖= 1
𝑝
( 1 −𝑝
)
𝑛
0 , 322
( 0 , 678
)
4
→ 𝑝̂ è consistente
Abbiamo visto che anche con valori bassi di campioni abbiamo delle garanzie → se le previsioni
elettorali non coincidono con i risultati, la colpa non è dei calcoli ma c’è un ERRORE SISTEMATICO!
Per calcolare la legge distributiva, una parte la abbiamo già → 𝑝
𝑥
𝑛−𝑥
Ci servono i numeri interi con cui abbiamo moltiplicato le 𝑃
→ 6, 4 e 1
Questi sono pari a distribuzioni binomiali :
Es. (
4
( 3
)( 2
)
2
( 2
)
4
( 3
)( 2
)
4 ( 3 )
( 2
)
A questo punto posso scrivere la LEGGE DI PROBABILITÀ
𝑛
𝑛−𝑥
𝑝̂ ~𝐵𝑖𝑛(𝑛, 𝑝) con 0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑛
➔ proporzione campionaria si distribuisce secondo la binomiale – dipende da n e p
ATTENZIONE! Probabilità della proporzione campionaria ≠ da proporzione campionaria
es. probabilità pari a 0 NON coincide con proporzione nulla!
E nemmeno una probabilità = 1 coincide con proporzione certa , anzi numero piccolo!
questa proporzione ha variabile campionaria con valori molto stretti → perciò la normale non può
essere la prima distribuzione da prendere in considerazione
- EFFICIENTE : uno stimatore è più efficiente di un altro rispetto allo stesso parametro di
popolazione se la sua varianza è la più bassa ottenibile (minore dell’altra)
𝑇
1
2
𝑇
2
2
✓ Media campionaria 𝜇̂
✓ Proporzione campionaria 𝑝̂
✓ Varianza campionaria corretta 𝑠̂
2
ESEMPIO – tra voti degli studenti Unibo N = ∞ X = voto
1. VOTO MEDIO 𝜇
Estraggo casualmente 10 studenti che hanno già effettuato l’esame con campionamento casuale con
ripetizione
n = 10 30, 27, 22, 30, 28, 26, 20, 28, 26, 25
calcolo la media campionaria: 𝜇̂ = 26 , 2
➔ Non sono sicura di questo valore (non è detto che il voto medio di tutti gli studenti sia 26, 2),
ma mi affido alle proprietà dello stimatore
NB: STIMATORE: 𝜇̂
≠ STIMA del parametro di popolazione: 26,
2. VARIABILITÀ TRA VOTI 𝜎
2
Buona stima della variabilità dei voti è la varianza campionaria corretta
2
𝑢
2
𝑢
𝑢= 1
[(
2
2
]
Oppure: calcolo varianza campionaria normale
2
𝑢
2
𝑛
𝑢= 1
2
2
2
2
Poi la correggo dividendola per n-1:
2
3. PROPORZIONE DI VOTI = 30
Proporzione campionaria: guardo all’interno del mio campione quanti hanno preso 30 e li rapporto alla
numerosità del campione
➔ Generalizzato al parametro di popolazione, risulta che il 20% degli studenti Unibo ha preso 30
Tuttavia, è un azzardo forte dire che quel valore lì è esattamente il parametro di popolazione
Ma piuttosto posso dare un intervallo nel quale può collocarsi quel valore…
Stima intervallare
= individua un intervallo in cui mi aspetto , con una certa fiducia, vi sia il parametro di popolazione ,
a partire dalla stima (dati campionari) e sfruttando le proprietà dello stimatore T
Per la stima puntuale non abbiamo avuto bisogno di menzionare la distribuzione campionaria – non
abbiamo bisogno di conoscerla
MA per la stima intervallare è necessaria – perché l’unica che mi dà garanzie in termini di probabilità
1
2
Fare stima intervallare significa individuare i due valori 𝒗 tra cui lo stimatore è compreso
1. MEDIA CAMPIONARIA
Dobbiamo individuare altri due valori di media 𝜇̂ in cui spero di trovare il parametro 𝜇
Devo però conoscere la distribuzione
2
Intervallo non può essere troppo grande – perdo informazioni
Devo trovare dei valori di media campionaria sulle code – talmente lontani dal parametro di
popolazione che sarà per forza incluso nell’intervallo
➔ Essendo sulle code vuol dire che saranno anche poco osservabili – valori di probabilità molto bassi
Così si individua un’area di probabilità molto alta – che include il picco → LIVELLO DI CONFIDENZA:
grado di fiducia nel trovare il parametro θ nell’intervallo individuato
1
2
→ è una percentuale prefissata di possibili risultati campionari che soddisfano tale condizione – uso
valori alti: 0,9 0,95 0,
COME CALCOLARE 𝑣
1
E 𝑣
2
Idea di standardizzare : ragiono sulla tavola della normale
➔ Devo standardizzare all’interno di quell’intervallo:
1
2
−𝜇
Essendoci simmetria, posso considerarli con −𝑧, 0 , +𝑧
- Parto a calcolare valori alti: 0, 9 → fissiamo il livello di confidenza al 90%
