Statistica II modulo
La stima consiste nel dare un risultato inferenziale
partendo dal dato di un campione ed estendendolo all'intera
popolazione o universo e può essere puntuale o intervallare
la stima puntuale serve per definire il parametro noto della
popolazione sfruttando un valore ottenuto con le
osservazioni nel campione (ad esempio stimare la media
della popolazione µ partendo dalla media del campione E(x))
La media campionaria X è uno stimatore corretto della
media della popolazione µ sia in un campionamento
bernoulliano che in un campionamento in blocco, tale per
cui E(X)=µ. Se l'universo si distribuisce secondo una
curva normale, altrettanto farà la media campionaria,
mentre se l'universo non si distribuisce secondo una
curva normale ma n è sufficientemente grande, la media
campionaria si distribuirà comunque secondo una curva
normale, per il teorema del limite centrale
E(X) = µ
VAR (x) = ò2/ n nei
campionamenti bernoulliani, cioè la
varianza dell'universo in rapporto
alla numerosità del campione
La varianza campionaria S2 è uno stimatore distorto
della varianza della popolazione ò2, quindi E(S2) ≠
ò2. Per questo può essere necessario sfruttare la
varianza campionaria corretta S2corr che rappresenta
uno stimatore corretto della varianza ò2
S2 = [(x1-M)2 + (x2-M)2 + ...] / n
S2corr= [(x1-M)2 + (x2-M)2 + ...] / n-1
la frequenza relativa campionaria P è uno stimatore
corretto della frequenza relativa dell'universo, cioè di
π, quindi E(P) = π e si distribuisce secondo come una
variabile casuale binomiale ma se n è
sufficientemente grande anche la frequenza relativa
campionaria si distribuirà secondo una curva
normale, secondo il teorema del limite centrale
E(P) = π
VAR(P) = [π (1-π)] / n nei campionamenti bernoulliani
la stima intervallare serve per definire un intervallo di confidenza o di
fiducia che contenga il parametro ignoto della popolazione, come µ, con
una certa probabilità decisa a priori, detta livello di confidenza e pari ad
1-α. Se il livello di confidenza è la probabilità che l'intervallo di
confidenza stimato contenga effettivamente il parametro ignoto, il
livello di significatività è invece la probabilità che l'intervallo non
contenga il parametro ignoto (in altre parole è la probabilità di
commettere errore nella stima) ed è pari a α
un intervallo di
confidenza per la
media µ dell'universo
un intervallo di confidenza
per la varianza ò2
un intervallo di confidenza
per la frequenza relativa π
(o percentuale π)
a rendere precisa una stima è l'ampiezza
dell'intervallo, poiché più l'intervallo è ampio,
meno precisa sarà la stima e viceversa. Quindi
all'aumentare di 1-α e all'aumentare di ò, la stima
sarà meno precisa, mentre all'aumentare di n poiché
diminuisce l'ampiezza la stima sarà più precisa
- parametro θ: è il valore ignoto nella popolazione,
come la media della popolazione µ
- stimatore T: è la variabile di cui vogliamo servirci per risalire al
parametro ignoto, come la media del campione e si
indica con lettere maiuscole
- stima t: è il valore dello stimatore osservato dentro
il campione e si indica con lettere minuscole
la differenza fra il parametro
θ e la stima t è detta errore
di campionamento: θ - t
quando la media delle stime t, ottenute con lo
stesso stimatore T, è uguale al parametro θ della
popolazione si parla di stimatore corretto,
cioè E(T)=θ, mentre in caso contrario si parla di
stimatore distorto, la cui misura di
distorsione o bias è pari a E(T) - θ
l'errore standard ò(T) dello stimatore misura
l'imprecisione dello stimatore: al diminuire
dell'errore standard, aumenta la precisione dello
stimatore ed è lo scarto quadratico medio calcolato
su tutte le stime effettuate
quando l'errore standard è il più basso possibile si parla di
stimatore efficiente: uno stimatore efficiente è più preciso di
uno stimatore non efficiente. Se la popolazione è normale per
calcolare la media della popolazione lo stimatore più efficiente (e
anche più corretto) è la media campionaria E(X), mentre la
mediana campionaria risulta corretta ma meno efficiente
se all'aumentare della numerosità campionaria n
lo stimatore diventa più preciso, quindi se con
l'errore standard tendente a O all'aumentare di n,
si parla di stimatore consistente