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STATISTICA PARTE SECONDA
Statistica: principi e metodi. (Capitolo 12, Introduzione alla probabilità)
Probabilità e Statistica
L’Inferenza statistica ha per oggetto l’analisi di dati ottenuti da un campione casuale e si pone come obiettivo quello di dare “validità generale” alle informazioni desunte dal campione. Ha come base necessaria la teoria della probabilità.
Esperimento casuale
Ogni atto o processo la cui singola esecuzione – detta prova – dà luogo a un risultato non prevedibile. La nozione di singola esecuzione implica che l’esperimento sia ripetibile , o almeno sia concepibile come tale. I possibili esiti della prova sono definibili in anticipo e sono catalogabili in modo preciso.
Spazio campionario ed eventi
Il singolo risultato dell’esperimento casuale si chiama evento elementare. L’insieme degli eventi elementari viene comunemente chiamato spazio dei risultati o spazio campionario (S). Si chiama evento un qualsiasi insieme di eventi elementari , ossia un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario (S).
Operazioni su insiemi
Dato un insieme A, si chiama insieme complementare di A, l’insieme degli elementi di S che non appartengono ad A.
Due insiemi A e B si dicono disgiunti se non hanno elementi in comune.
Operazioni su insiemi: Unione Si chiama insieme unione di A e B, e lo si indica con il simbolo A ∪ B, l’insieme costituito da tutti i punti che appartengono ad A, oppure a B, oppure ad entrambi. Formalmente possiamo scrivere:
A ∪ B = {x : x ∈ A o x ∈ B}.
L’unione tra insiemi può essere generalizzata ad una famiglia di n insiemi A1, A2, …,An
La differenza simmetrica tra due insiemi A e B è l’insieme AΔB costituito da tutti gli elementi che appartengono ad A oppure a B, ma non ad entrambi. Formalmente possiamo scrivere:
AΔB = {x : x ∈ A e x ∈ B e x ∉ (A ∩ B)}.
Probabilità: definizione assiomatica La probabilità è una funzione d’insieme , P(·), definita nello spazio campionario S, che gode delle seguenti proprietà: (Assiomi di probabilità)
P(S) = 1
P(A) ≥ 0, per ogni A; P( A1 ∪ A2 ∪ ...) = P( A1) + P(A2) + ... per ogni successione di eventi di S a due a due incompatibili.
Probabilità: ulteriori proprietà P(∅) = 0, essendo ∅ l’insieme vuoto, detto anche evento impossibile; P(A) ≤ 1, per ogni A; P(Ā ) = 1 - P(A), per ogni A (regola dell’evento complementare); P( A1 ∪ A2) = P( A1) + P(A2) - P( A1 ∩ A2), dove A1 e A2 sono due eventi qualsiasi (principio delle probabilità totali o regola della somma). N.B.: queste proprietà si deducono formalmente dagli assiomi di probabilità.
Interpretazione della probabilità definizione classica: La probabilità di un evento A è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli al verificarsi di A e il numero totale dei casi possibili, ammesso che questi siano ugualmente probabili. definizione frequentista: La probabilità P(A) dell’evento A è il limite della frequenza relativa con cui A si verifica in una lunga serie di prove ripetute sotto le stesse condizioni. interpretazione soggettivista: La probabilità di un evento è il grado di fiducia che un individuo, sulla base delle conoscenze possedute in un determinato momento, assegna al verificarsi dell’evento.
Calcolo delle probabilità Quando gli N eventi elementari sono ugualmente probabili, quando cioè pi = 1/N, (i = 1, 2,…,N), la probabilità dell’evento A è
Le probabilità devono essere ridefinite alla luce dell’evento “il risultato è un numero dispari” (A) e riscalate in modo da ottenere somma 1 (evento certo)
Indipendenza Dall’ultima equazione si deduce che la probabilità dell’evento intersezione di due eventi indipendenti può essere scritta nella forma:
P (A ∩B ) = P (A)P (B ),
equazione che costituisce la definizione di indipendenza di due eventi. Alla stessa relazione si perviene partendo dalla scrittura alternativa della legge del prodotto:
P (A ∩B ) = P (A | B )P (B ).
Domanda Qual è la probabilità che in una famiglia nascano 3 figlie femmine?
Quali sono le ipotesi alla base della formula utilizzata? Spazio campionario: S={M,F} Equiprobabilità degli eventi elementari P(M)P(F)=0. Indipendenza degli eventi nelle prove ripetute
Formula di Bayes Supponiamo che l’evento A possa essere visto come il risultato – “l’effetto” – di uno tra k possibili eventi – “cause” –, C1, C2, …, Ck, incompatibili ed esaustive. Supponiamo di voler valutare la probabilità che l’evento A, ammesso che si sia
Statistica: principi e metodi. (Capitolo 13, Variabili casuali)
Variabile casuale L’espressione variabile casuale (v.c. per brevità) indica una quantità il cui valore dipende dall’esito di un esperimento casuale. L'attributo "casuale" rinvia al fatto che essa è generata da un esperimento casuale di cui non siamo in grado di prevedere l'esito con certezza. Dizioni equivalenti a v.c. sono variabile aleatoria e variabile stocastica.
Variabili casuali Una v.c., X, è una funzione , definita nello spazio campionario S, che, ad ogni evento elementare e di S, associa uno ed un solo numero reale, X (e ) = x. x è una determinazione della variabile casuale X.
Variabili casuali discrete o continue Una variabile casuale discreta può assumere un insieme discreto (finito o numerabile) di numeri reali. Una variabile casuale continua può assumere tutti i valori compresi in un intervallo reale.
Variabili casuali discrete: funzione di probabilità La funzione di probabilità di una variabile casuale discreta X è la legge che associa ad ognuno dei valori x, che la v.c. X può assumere, la corrispondente probabilità P(X=x)
f (x ) =P (X =x ).
Al singolo valore x della v.c. X si associa la probabilità dell’unione degli
eventi elementari a cui il valore x è associato.
La rappresentazione grafica della funzione di ripartizione dà luogo a un grafico a gradini.
Funzione di ripartizione di una variabile casuale discreta: proprietà
- è non decrescente, ossia:
- inoltre
- è continua a destra, ossia
Valore atteso e deviazione standard di una v.c. discreta Si chiama valore atteso ( o media ) della v.c. discreta X, e la si denota con μ o con E(X), il numero dato da
Sia X una v.c. e sia μ = E(X) la sua media. Si chiama varianza di X, e la si denota con σ 2 o Var(X), la quantità
La radice quadratica della varianza va sotto il nome di deviazione standard.
Variabili casuali continue Una v.c. si dice continua se può assumere tutti i valori di un determinato intervallo di numeri reali. ESEMPIO: Se siamo interessati alla durata di una lampadina questa è una variabile casuale misurata in un intervallo continuo e quindi è una v.c. continua. Se la var. casuale è continua non è possibile elencare tutte le singole realizzazioni (cioè tutti i valori) perché questi sono una infinità non numerabile e quindi non si può attribuire una probabilità ai singoli valori. ESEMPIO: la probabilità che la durata di una lampadina sia esattamente 100 ore è 0. Si può pero determinare la probabilità per intervalli di valori: si può definire la probabilità che la durata di una lampadina sia tra i 99.5 e 100.5 ore
Funzione di ripartizione per variabili continue La definizione di funzione di ripartizione per le v.c. continue simile al caso discreto. Data una v.c. continua X, la funzione che fa corrispondere ai valori x le probabilità cumulate P(X≤ x) viene detta funzione di ripartizione.
Valore atteso e deviazione standard di una v.c. continua La media e la varianza di una v.c. continua sono espresse dagli integrali
hanno la stessa struttura delle formule viste per le v.c. discrete (considerando che l’integrale è una “somma nel continuo”).
Disuguaglianza di Chebyshev Sia X una variabile v.c. qualsiasi con media μ e varianza σ 2. Sia δ > 0 una quantità prefissata. Allora vale la disuguaglianza
La disuguaglianza può essere scritta come:
Variabili casuali doppie discrete Dato uno spazio campionario S, si chiama variabile casuale doppia discreta la coppia di v.c. casuali discrete (X, Y), che si ottiene associando a ogni evento elementare dello spazio campionario una coppia di numeri reali (x, y). È possibile assegnare a ogni coppia (x, y) una probabilità espressa dalla funzione di probabilità congiunta:
che gode delle due ovvie proprietà:
