Un ipermercato dispone, nel suo reparto cancelleria, di confezioni di penne biro in due soli colori, blu e rosso. Posto che la probabilità di estrarre a caso un pacco di penne blu dal deposito in un certo istante di tempo sia del 47%, si calcoli la probabilità che fra le 6500 penne attualmente gia- centi in magazzino almeno 2573 siano di colore rosso.

SOLUZIONE Il numero di confezioni di penne rosse X si distribuisce come una BINOMIALE di parametri n = 6500 e π = 0,53 ⇒ X ∼ B(6500; 0,53). Essendo n sufficientemente grande X si approssima ad una NORMALE con media μ = nπ = 3445 e

σ^2 = nπ 1 - π ( )= 1619,15 ⇒ X∼ N(3445; 1619,15)

( ) { }

P x 2573,5 P z P z 21,66 1 40,

C’e una probabilità del 100% circa che tra le confezioni di penne giacenti nell’ipermercato ce ne siano almeno 2573 di colore rosso.

ESERCIZIO 2

Un noto produttore di penne stilografiche ha in catalogo l’inchiostro “NERO BRILLANTE” venduto in boccette da 52ml. Sapendo che la quantità di inchiostro in ogni boccetta è distribuita secondo una NORMALE con media 52ml e varianza 1,3: a) calcolare il numero di boccette, in un collettivo di 554 unità, contenenti una quantità di inchio- stro compresa fra 50,2ml e 51,5ml; b) calcolare il numero di boccette da acquistare per garantirsi almeno 3 boccette con un contenu- to di inchiostro superiore ai 52,4ml.

SOLUZIONE Quantità di inchiostro ⟹ X ∼ N(52; 1,3)

a) Facendo riferimento alle tavole della NORMALE STANDARDIZZATA abbiamo che:

( ) ( )

P 50,2 X 51,5 P 50,2^52 Z 51,5^52 P 1,58 Z 0,

≤ ≤ = ^ −^ ≤ ≤ − = − ≤ ≤ − =

φ 1,58 ( ) − φ 0,44( )=0,9429 - 0,6700 = 0,

Con una probabilità del 27,29% l’inchiostro contenuto in ogni boccetta sarà compreso tra i 50,2 e i 51,5 millilitri ⇒ su un collettivo di 554 unità si avranno 151,19 ( = 554 x 0,2729) boccette con una quantità di inchiostro compresa tra i 50,2ml e i 51,5ml

b) ( ) ( )

P X 52,4 P Z P Z 0,29 0,

Il 38,59% delle boccette avranno un contenuto di inchiostro superiore ai 52,4mg. Il numero mini- mo di boccette da acquistare per garantirsi almeno tre boccette di questo tipo sarà 8, infatti:

N × 0,3859 = 3 ⇒

N 7,77 8

ESERCIZIO 3

Supponiamo che un certo modello di computer portatile sia composto di due pezzi assemblati, la base e lo schermo. Il peso complessivo segue una distribuzione Normale con media μ= grammi e scarto quadratico medio σ=85,7 grammi. La casa produttrice stabilisce che dovranno es- sere dichiarati “fuori qualità” i notebook con peso superiore a 2,5 kg. a) Quale sarà la percentuale di notebook che presumibilmente sarà dichiarata “fuori qualità”? b) Quale sarà il peso oltre il quale è compreso il 15% dei pezzi assemblati? c) Quale sarà la percentuale di notebook con peso inferiore a 2 kg?

SOLUZIONE Il peso (X) segue una v.c. Normale con media pari a 2370g = 2,37kg e scarto quadratico medio pari a 85,7g = 0,0857kg ⇒ X ∼ N(2,37; 0,0857^2 )

a) I notebook “fuori qualità” saranno quelli con un peso complessivo superiore a 2,5 kg ⇒ facendo riferimento alle tavole della v.c. NORMALE STANDARDIZZATA si ha che:

P X 2,5 P Z P Z 1,52 0,

Il 6,43% dei notebook prodotti saranno dichiarati “fuori qualità”

b) ( 1 ) 1 ( 1 )

P X x P Z 2,5^ x P Z z 0, 0,

≥ = ^ ≥ − = ≥ =

il livello di z a cui è associata una probabilità dello 0,15 è: z 1 = 1,

x 2, z 1, 0,

= = ⇒ x 1 = (1,035 x 0,0857) + 2,37 = 2,

Il 15% dei pezzi assemblati avrà un peso superiore ai 2,46 kg

c) I notebook con un peso inferiore ai 2 kg saranno:

P X 2 P Z P Z 4,317 0

C’è una probabilità pressoché nulla di produrre notebook di peso <2 kg