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CALCOLO DELLE

PROBABILITÀ

Concetti di base e introduzione ai test per la diagnosi

STATISTICA APPLICATA

ALLO SPORT

SCIENZE E TECNOLOGIE PER

LE ATTIVITÀ MOTORIE E SPORTIVE

La teoria della probabilità (branca della matematica) fornisce i fondamenti dell’inferenza statistica. In generale, tendiamo a esprimere le probabilità in termini di percentuali. Da un punto di vista matematico, è più opportuno esprimere le probabilità come frazioni. Pertanto misuriamo la probabilità del verificarsi di un evento con un numero compreso fra zero e uno. Tanto più l’evento sarà verosimile, tanto più il numero si avvicinerà a uno; tanto più l’evento sarà inverosimile, tanto più il numero si avvicinerà a zero. Un evento che non si può verificare ha probabilità zero, mentre un evento che si verifica certamente ha probabilità uno. INTRODUZIONE

La definizione classica della probabilità risale al XVII secolo e si deve al lavoro di due

matematici, Pascal e Fermat.

La maggior parte di questa teoria è stata sviluppata nel tentativo di risolvere problemi

legati ai giochi d’azzardo, come il gioco dei dadi.

se si lancia un dado a sei facce non truccato, la probabilità che si osservi la faccia 1 è

uguale a 1/6 ed è la stessa per le rimanenti cinque facce.

La probabilità classica DEFINIZIONE! Se un evento si può verificare in N modi mutuamente esclusivi e ugualmente possibili, e se 𝒎 di questi presentano la caratteristica, 𝑬, la probabilità del verificarsi di 𝑬 è uguale a 𝒎/𝑵. 𝑃 𝐸 = 𝑚 𝑁

L’approccio alla probabilità come frequenza relativa (ovvero l’ approccio frequentista ) si basa sulla ripetibilità di un dato processo e sulla possibilità di contare il numero di ripetizioni, cioè il numero di volte che qualche evento di interesse si verifica. La probabilità come frequenza relativa DEFINIZIONE! Se si ripete un processo un gran numero di volte 𝒏 e se un certo evento con caratteristica 𝑬 si verifica 𝒎 volte, la frequenza relativa di successo di 𝑬, 𝒎/𝒏*, sarà approssimativamente uguale alla probabilità di 𝑬. 𝑃 𝐸 = 𝑚 𝑛

*𝑚/𝑛 è solamente una stima di 𝑃(𝐸).

"La “verità” di un’asserzione, di una proposizione, si può intendere in due modi: o, in senso obiettivo, come conformità a una realtà esterna, concepita come indipendente da noi, o, in senso soggettivo, come conformità alle nostre opinioni, impressioni, sensazioni. La logica è la scienza che dalla verità o dalla falsità di certe premesse insegna a dedurre e concludere la verità o falsità di certe conseguenze; a seconda del senso che daremo al concetto di verità avremo dunque due modi diversi di concepire la logica. Se la verità si concepisce in senso obbiettivo, la logica appare come una proprietà di cui deve godere il mondo reale, come una specie di legge esteriore che regola la verità o la falsità, in senso obbiettivo, di certe proposizioni. Se ci si limita invece all’aspetto soggettivo, la logica non riguarda che i processi mentali, e non insegna se non la coerenza del pensiero in sé stesso. Questa seconda accezione è più generale e più larga dell’altra, perché indipendente da ogni particolare precisazione del valore da dare al concetto di “vero” o di “falso”. Di molte asserzioni, o proposizioni, spesso non sappiamo dire se sono “vere” o “false” (ad es. per quasi tutto ciò che riguarda gli eventi futuri), ma soltanto se sono più o meno verosimili o probabili. Anche qui si presentano le due alternative: di concepire tale valutazione di probabilità come avente un senso obiettivo, o come avente semplicemente un senso soggettivo. Quasi sempre si cerca, anche con grandi sforzi, di persuadere e di persuadersi dell’esistenza di un significato obbiettivo; tutti questi sforzi ebbero però sempre un esito poco soddisfacente, tanto vero che nessuna definizione o concezione di probabilità ha mai saputo imporsi o affermarsi. Il calcolo delle probabilità è la logica del probabile. Come la logica formale insegna a dedurre la verità o falsità di certe conseguenze dalla verità o falsità di certe premesse, così il calcolo delle probabilità insegna a dedurre la maggiore o minore verosimiglianza o probabilità di certe conseguenze dalla maggiore o minore verosimiglianza o probabilità di certe premesse. Per chi attribuisca alla probabilità un significato obbiettivo, il calcolo delle probabilità dovrebbe avere un significato obiettivo, i suoi teoremi esprimere delle proprietà che nel campo del reale risultano soddisfatte. Ma è inutile fare simili ipotesi. Basta limitarsi alla concezione soggettiva, considerare cioè la probabilità come grado di fiducia sentito da un dato individuo nell'avverarsi di un dato evento, e si può dimostrare che i noti teoremi del calcolo delle probabilità sono condizioni necessarie e sufficienti perché le opinioni di un dato individuo non siano intrinsecamente contraddittorie e incoerenti." Bruno de Finetti , `Fondamenti logici del ragionamento probabilistico', in "Bollettino dell'Unione Matematica Italiana" anno IX N. 5 , dicembre 1930 Edito dalla Casa Editrice Nicola Zanichelli, Bologna Bruno de Finetti

• STATISTICA APPLICATA ALLO SPORT - CALCOLO DELLE PROBABILITÀ 14/10/2025 8 di

Prior and Posterior Probabilities DEFINIZIONE!

• La probabilità a priori che si verifichi un evento è una probabilità basata su conoscenze ed esperienze a priori o su risultati derivanti da attività di raccolta dati precedenti.
• La probabilità a posteriori che si verifichi un evento è una probabilità ottenuta utilizzando nuove informazioni per aggiornare o rivedere una probabilità a priori.

L’approccio assiomatico della probabilità è stato formalizzato nel 1933 dal matematico russo A.N. Kolmogorov. Assiomi della Probabilità

Un concetto chiave nello stabilire questa proprietà deriva dal concetto di eventi

mutuamente esclusivi. Due eventi si dicono mutuamente esclusivi se non si possono

verificare contemporaneamente.

ASSIOMA 1 Dato un processo (o esperimento) che genera n risultati (chiamati eventi) mutuamente esclusivi, 𝑬𝟏, 𝑬𝟐, … , 𝑬𝒏, la probabilità del verificarsi del generico evento 𝑬 𝒊 è data da un numero non negativo, ovvero 𝑃 𝐸 𝑖 ≥ 0

Proprietà della additività ASSIOMA 3 Consideriamo due eventi qualsiasi mutuamente esclusivi, 𝐸 𝑖 e 𝐸 𝑗

. La probabilità che si verifichi o 𝐸 𝑖 o 𝐸 𝑗 è uguale alla somma delle probabilità del verificarsi di ciascun evento 𝑃 𝐸𝑖 + 𝐸𝑗 = 𝑃 𝐸𝑖 + 𝑃 𝐸𝑗

Storia familiare di infortuni Giovani (età ≤ 18) G Adulti (età > 18) N TOTALE Nessun infortunio familiare (A) 28 35 63 Infortuni articolari(B) 19 38 57 Infortuni muscolari (C) 41 44 85 Infortuni di vari livelli (C) 53 60 113 TOTALE 141 177 318 Calcolo delle Probabilità

Qual è la probabilità che un individuo selezionato a caso dal nostro campione abbia

un’età minore o uguale a 18 anni?

Numero di giovani

Numero totaledi soggetti

Probabilità Congiunta 𝑃(𝐺 ∩ 𝐴) = 28 Τ 318 = 0. 0881 Qual è la probabilità che una persona scelta a caso tra i 318 soggetti sia un giovane (G) e sia una persona che non ha una storia familiare di infortuni (A)?

Legge del prodotto

Nell’esempio precedente

𝑃 𝐺 ∩ 𝐴 = 𝑃 𝐺 𝑃 𝐴 𝐺 = 141 318 × 28 141 = 0. 0881 Una probabilità congiunta può essere calcolata come il prodotto di un’opportuna probabilità marginale e di un’opportuna probabilità condizionata. Questa relazione è nota come la legge del prodotto. 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐵 𝑃 𝐴 𝐵 , se 𝑃(𝐵) ≠ 0

Allo stesso modo

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 , se 𝑃(𝐴) ≠ 0

Teorema di Bayes 𝑃 𝐴|𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵 𝐴 𝑃 𝐵

Legge della Somma DEFINIZIONE! Dati due eventi 𝑨 e 𝑩, la probabilità che si verifichi l’evento 𝑨, o l’evento 𝑩 o entrambi, è uguale alla probabilità che si verifichi l’evento 𝑨, più la probabilità che si verifichi l’evento 𝑩, meno la probabilità che gli eventi 𝑨 e 𝑩 si verifichino contemporaneamente. 𝑃 𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃(𝐴 ∩ 𝐵)