Statistica- risposte Aperte, Panieri di Statistica

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 A proposito della moda: a) che cos'è la densità di classe e come si calcola; b) qual'è la formula della moda per valori suddivisi in classi; c) che cos'è un distribuzione amodale; d) che cos'è una distribuzione plurimodale 13

 Come si definisce la probabilità: a) secondo l'approccio classico; b) secondo l'approccio frequentista; c)secondo l'approccio soggettivista; d) secondo l'approccio assiomatico 25

 Commentare brevemente: a) il significato di errore di I tipo; b) il significato di errore di II tipo; c) il significato di potenza del test; d) la interrelazione fra teoria della stima e verifica di ipotesi 52

 Commentare brevemente: a) il significato di ipotesi nulla e alternativa; b) il significato di verifica di ipotesi con test unilatero dx; c) il significato di verifica di ipotesi con test unilatero sx; d) il significato di verifica di ipotesi con test bilatero 51

 Commentare brevemente: a) la differenza fra stimatore e stima; b) la proprietà di non distorsione o correttezza; c) la proprietà di efficienza; d) la proprietà di consistenza. 45

 Commentare brevemente: la legge debole dei grandi numeri; la legge forte dei grandi numeri; la disuguaglianza di Markov; la diseguaglianza di Chebyshev 30

 Con quali formule si calcolano i rapporti: a)di mascolinità; b)di femminilità; c)di senilità; d) di invecchiamento 7

 Con quali script di R si calcolano: a) I Quartile; b) II Quartile; c) III Quartile; d) Box-plot 13

 Con quali script si calcolano: media aritmetica semplice; media aritmetica in frequenza; mediana; coefficiente di variazione 11

 Data due provette relative a due esami microbiologici: a) costruire la tabella a doppia entrata che modella una v.c. bidimensionale delle frequenze congiunte relative; b) calcolare le probabilità P(X=1;Y=1) ; P(X=1;Y=2) ; c) calcolare le probabilità P(X=2;Y=1) ; P(X=2;Y=2); d) calcolare la probabilità marginale di I riga 28

 Data l’equazione della retta stimata y(stim)=12,5 + 0,76*x calcolare quale valore stimato si ottiene per la variabile dipendente y fissati i seguenti valori di x: a) x=13,8; b) 12,4; c) 16,1; d) 15,3 61

 Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con p=0,07 calcolare: a)la probabilità che x=0; b) la probabilità che x= 1; c) il valore atteso; d) la varianza 33

 Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con p=0,07 con quali script si calcola: a)la probabilità che x=0; b) la probabilità che x= 1; c) il valore atteso; d)la varianza 32

 Data la distribuzione di probabilità Bernoulliana con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 32

 Data la distribuzione di probabilità Binomiale con p=0,07 e n=11 con quali script si calcola: a)la probabilità che x=0; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x>2; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 3 e 4 33

 Data la distribuzione di probabilità Binomiale con p=0,07 e n=11 calcolare: a)la probabilità che x=0; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x>2; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 3 e 4 34

 Data la distribuzione di probabilità Binomiale con p=0,49 ed n=50 e stabilito un livello di significatività dell’5% con quali script si calcola: a) il limite superiore dell’intervallo di confidenza per la proporzione; b) il limite inferiore dell’intervallo di confidenza per la proporzione; c) la numerosità campionaria; c) l’ampiezza dell’intervallo 49

 Data la distribuzione di probabilità Binomiale con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 34

 Data la distribuzione di probabilità Chi-quadrato con n=23 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=8; b) la probabilità che x< 3; c) la probabilità che x> 17; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 13 e 20 41

 Data la distribuzione di probabilità Chi-quadrato con n=23 con quali script si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria; d) l’indice di curtosi 41

 Data la distribuzione di probabilità Chi-quadrato con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c) la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 41

 Data la distribuzione di probabilità F di Fisher con g1=16 e g2=24 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=18; b) la probabilità che x< 22; c)la probabilità che x> 17; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 14 e 19 42

 Data la distribuzione di probabilità F di Fisher con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 42

 Data la distribuzione di probabilità Normale con media =4,7 e dev.std=2,1 calcolare: a) la probabilità che x=4,1; b) la probabilità che x< 3,9; c)la probabilità che x> 4,4; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 4,2 e 4,5 38

 Data la distribuzione di probabilità Normale con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=4,1; b) la probabilità che x< 3,9; c)la probabilità che x> 4.4; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 4,2 e 4,5 38

 Data la distribuzione di probabilità Normale con media =4,7 e dev.std=2,1 con quali script si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c)l’indice di asimmetria; d)l’indice di curtosi 39

 Data la distribuzione di probabilità Normale con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 39

 Data la distribuzione di probabilità Normale standardizzata con media=0 e dev.std=1 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=2,8; b) la probabilità che x< 3,2; c)la probabilità che x> 3,7; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 3,1 e 4,4 39

 Data la distribuzione di probabilità Normale standardizzata con media=0 e dev.std=1 con quali script si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria; d)l’indice di curtosi 40

 Data la distribuzione di probabilità Normale standardizzata con media=0 e dev.std=1 calcolare: a) la probabilità che x=2,8; b) la probabilità che x< 3,2; c)la probabilità che x> 3,7; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 3,1 e 4,4 40

 Data la distribuzione di probabilità Normale standardizzata con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 40

 Data la distribuzione di probabilità Poissoniana con lambda =3,2 con quali script si calcola: a)la probabilità che x=10; b) la probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 30 e 40 35

 Data la distribuzione di probabilità Poissoniana con lambda =3,2 calcolare: a)la probabilità che x=10; b) la probabilità che x< 13; c) la probabilità che x>22; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 30 e 40 36

 Data la distribuzione di probabilità Poissoniana con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti di variazione 35

 Data la distribuzione di probabilità t di Student con n=23 calcolare: a) la probabilità che x=2; b) la probabilità che x< 12; c) la probabilità che x> 17; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 11 e 14 40

 Data la distribuzione di probabilità t di Student con n=23 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=2; b) la probabilità che x< 12; c) la probabilità che x> 17; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 11 e 14 41

 Data la distribuzione di probabilità t di Student con n=23 con quali script si calcola: a) la varianza; b) la deviazione standard; c) l’indice di asimmetria; d) l’indice di curtosi 41

 Data la distribuzione di probabilità t di Student con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c) la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 40

 Data la distribuzione di probabilità Uniforme continua con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 37

 Data la distribuzione di probabilità Uniforme continua nell’intervallo 20-50 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c)la probabilità che x> 37; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 31 e 44 36

 Data la distribuzione di probabilità Uniforme continua nell’intervallo 20-50 calcolare: a) la probabilità che x=28; b) la probabilità che x< 32; c) la probabilità che x> 37; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 31 e 44 37

 Data la distribuzione di probabilità Uniforme discreta con N=10 con quali script si calcola: a) la probabilità che x=8; b) la probabilità che x< 2; c)la probabilità che x> 7; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 8 e 4 31

 Data la distribuzione di probabilità Uniforme discreta con N=10 calcolare: a) la probabilità che x=8; b) la probabilità che x< 2; c) la probabilità che x> 7; d) la probabilità che x sia ricompreso fra 8 e 4 32

 Data la distribuzione di probabilità Uniforme discreta con quali script si calcola: a) il quantile; b) la probabilità; c)la probabilità cumulata; d) i numeri casuali estratti 31

 Data la probabilità P(E)= 0,71; P(F)=0,11 e P(E∩F) = 0,55 calcolare: a) la probabilità condizionata P(EdatoF); b) la probabilità unione P(E∪F) per eventi compatibili; c)la probabilità unione P(E∪F) per eventi incompatibili; d)la probabilità composta 27

 Data la seguente distribuzione di frequenza della v.c. discreta x (0,1,2,3) con f(x)(0.90, 0.07, 0.02, 0.01) calcolare: a) il valore atteso; b) la devianza; c) la varianza; d) la deviazione standard 27

 Dati i seguenti valori centrali di classe x (3,1,6,5) e le relative frequenze assolute (0,5,1,3) calcolare: a) la media per valori suddivisi in classi; b) lo scarto quadratico medio; c) l'indice di curtosi utilizzando la formula del momento quarto per valori singoli; d) l'indice di curtosi utilizzando la formula del momento quarto per valori suddivisi in classi 20

 Dati i seguenti valori centrali di classe xi (2,4,5,1,3) e le relative frequenze assolute ni (2,0,1,4,3) calcolare: la devianza in frequenza assoluta; la varianza in frequenza assoluta; lo scarto quadratico medio; il coefficiente di variazione 17

 Dati i seguenti valori dei prezzi del I semestre 2017 (12,4-12,5-11,9;12,9-13,1-11,1) quali script di R si utilizzano per calcolare: numeri indici a base fissa; numeri indici a base mobile; media aritmetica; media geometrica 7

 Dati i seguenti valori dei prezzi del I semestre 2017 (12,4-12,5-11,9;12,9-13,1-11,1) calcolare: numeri indici a base fissa; numeri indici a base mobile; passaggio da base fissa a base mobile; passaggio da base mobile a base fissa 7

 Dati i seguenti valori del carattere X (1450, 1560, 1680, 1940, 2350, 2670, 3120): a) costruire 3 classi aperte a dx e chiuse a sx b) costruire 3 classi aperte a sx e chiuse a dx; c) costruire classi con il metodo a radice; d) costruire classi con il metodo logaritmico 8

 Dati i seguenti valori dell’intercetta e del coefficiente angolare pari rispettivamente a 2,4 e 0,58 e dei rispettivi ESQM pari a 1 ,1 e 0,45: a)calcolare la statistica t di Student per l’intercetta; b) calcolare la statistica t di Student per il coeffciente angolare; c) spiegare il significato di a); d) spiegare il significato di b) 58

 Dati i seguenti valori della v.c. x (1,2,3,4) con quale script di R si calcolano: a) la devianza; b) la varianza; c) la covarianza; d) il coefficiente di correlazione di Bravais-Pearson 29

 Dati i valori della devianza di regressione e del residuo e 8 osservazioni calcolare il test F: a) per valori pari rispettivamente a 63692,07 e 2118,636; b) per valori pari rispettivamente a 73692,07 e 2218,636; c) per valori pari rispettivamente a 83692,07 e 3118,636; d) per valori pari rispettivamente a 93692,07 e 4118,636 60

 Dati i valori di P(E)=0,28, P(F)=0,32 e P(EdatoF)=0,18 calcolare: a)la probabilità unione P(E∪F) per eventi compatibili;b) la probabilità intersezione P(E∩F) per eventi dipendenti; c)la probabilità unione P(E∪F) per eventi incompatibili; d) la probabilità intersezione P(E∩F) per eventi indipendenti 26

 Dati le seguenti classi equi ampie (12-16; 16-20; 20-24; 24-28) e la relativa frequenza assoluta (0,1,2,3) calcolare: a) i valori centrali di classe; b) la frequenza relativa; c) la frequenza cumulata assoluta; d) la frequenza cumulata relativa 8

 Dato il valore del coefficiente di correlazione pari a 0,93 e la cov(XY) pari a -1,24 calcolare: a) il coefficiente di determinazione; b) il prodotto delle deviazioni std della X e della Y; c) spiegare il significato del segno della covarianza; d) spiegare il significato di a) 57

 Dato il valore del coefficiente di determinazione pari a 0,97 e la devianza residua pari a 12,7 calcolare: a) la devianza spiegata; b) la devianza totale; c) il coefficiente di correlazione; d) scrivere in simboli la formula della devianza residua utilizzando i valori di y osservati e stimati 63

 Dato il valore dell’intercetta stimata pari a 12,5, un valore della t di Student critica con n-2 gradi di libertà pari a 2,571 ed un valore del relativo error std par a 34,67; dato il valore del coefficiente angolare stimato pari a 61,4, un valore della t di Student critica con n-2 gradi di libertà pari a 2,571 ed un valore del relativo error std pari a 13,45 calcolare: a) l’intervallo di confidenza per l’intercetta; b) l’intervallo di confidenza per il coefficiente angolare; c) accettare o rifiutare H0=0 per l’intercetta; d) accettare o rifiutare H0=0 per il coefficiente angolare 65

 Dato un campione n=21 con varianza pari a 14,55 e varianza stimata pari a 15,88 si scelga la regola di decisione in questi casi: a) per un test a 95% (Chi critica alfa=10,85; Chi critica 1-alfa=31,41); b) per un test al 99% (Chi critica alfa=8,26; Chi critica 1-alfa=37,57); c) per un test al 90% (Chi critica alfa=12,44; Chi critica 1-alfa=28,41); d) c) per un test al 97%(Chi critica alfa=9,9; Chi critica 1-alfa=28,41) 56

 Dato un campione n=24 con varianza corretta pari a 15 si calcoli la numerosità campionaria: a) al 99% con un errore in valore assoluto non superiore a 2 (Zcritica=2,576); b) al 95% con un errore in valore assoluto non superiore a 1,5 (Z critica=1,96); al 90% con un errore in valore assoluto non superiore a 2,5(Zcritica=1,64); d) al 97% con un errore in valore assoluto non superiore a 2 (Z critica)=2,17) 51

 Dato un campione n=24 con varianza corretta pari a 15 si imposti la notazione per il calcolo dello stimatore intervallo di confidenza: a) al 99%; b) al 95%; al 90%; d) al 97% 50

 Dato un campione n=24 con μ =22, media campionaria=21 e varianza nota pari a 15 si scelga la regola di decisione in questi casi: a) per un test unilatero dx (Z critica=2,576); b) per un test unilatero sx (Z critica=-2,576 ; c) per un test bilatero (Z critica=1,96); d); c) per un test bilatero (Z critica=1,64) 53

 Dato un campione n=33 con μ =35, media campionaria=34 e varianza ignota e stimata pari a 15,88 si scelga la regola di decisione in questi casi: a) per un test unilatero dx (Z critica=2,576); b) per un test unilatero sx (Z critica=-2,576 ; c) per un test bilatero (Z critica=1,96); d) c) per un test bilatero (Z critica=1,64) 54

 Dato un campione n=41 con una % di pezzi difettosi pari al 2% e una proporzione stimata di 2,3% si scelga la regola di decisione in questi casi: a) per un test unilatero dx (Z critica=2,576); b) per un test unilatero sx (Z critica=-2,576 ; c) per un test bilatero (Z critica=1,96); d) per un test bilatero (Z critica=1,64) 55

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice con 7 osservazioni quali gradi di libertà si assegnano: a) alla regressione; b) al residuo; c) al totale; d) spiegare molto sinteticamente il significato di gradi di libertà. 59

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice con i valori della a(stimata) e b(stimato) con quali script si calcola: a) la t empirica dell’intercetta; b) l’intervallo di confidenza per l’intercetta all’1%; c) la t empirica del coefficiente angolare; ) l’intervallo di confidenza per il coefficiente angolare al 5% 66

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice con le seguenti coppie di valori rispettivamente della y e della x (0-4;250- 10;255-11;365-14;485-18;592-25) con quali script si calcolano: a) i coefficienti di regressione; b) l’output della regressione; c) la media di x; c) la media di y 61

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice con le seguenti coppie di valori rispettivamente della y e della x (0-4;250- 10;255-11;365-14;485-18;592-25) con quali script si calcola: a) la devianza spiegata; b) la devianza residua; c) la devianza totale; d) il coefficiente di determinazione 63

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice con le seguenti coppie di valori rispettivamente della y e della x (0-4;250- 10;255-11;365-14;485-18;592-25) con quali script si calcola: a) l’ESQM della regressione; b) l’ESQM dell’intercetta; c) ll’ESQM del coefficiente angolare; d) della devianza della x 67

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice quale sono le formule per calcolare: a) il coeff. angolare; b) l’intercetta; c) la devianza spiegata; d) la devianza residua 60

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice quale sono le formule per calcolare: a) l’intervallo di confidenza per l’intercetta; b) l’intervallo di confidenza per il coefficiente angolare; c) spiegare il significato del punto a); d) spiegare il significato del punto b 65

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice quale sono le formule per calcolare: a) l’errore standard quadratico medio (ESQM) per la regressione; b) l’errore standard quadratico medio (ESQM) per l’intercetta; c) l’errore standard quadratico medio (ESQM) per il coefficiente angolare; d) la devianza residua. 66

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice quale sono le formule per calcolare: a) l’intervallo di confidenza per la variabile dipendente media; b) l’intervallo di confidenza per la previsione; c) spiegare il significato del punto a); d) spiegare il significato del punto b) 69

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice quali sono le formule per calcolare: a) la devianza totale; b) R2; c) R aggiustato; d) test F 62

 Dato un Modello di Regressione lineare semplice spiegare molto sinteticamente il significato di: a) residui e relative rappresentazioni grafiche; b) valori anomali; c) bontà del modello; d) finalità del modello 64

 Dato un mu =200, un campione n=92 e una media campionaria=198 con quali script si calcola: a) la zeta empirica; b) il p- value all’1%; c) il p-value al 5%; c) il p-value al 10% 52

 Definire sinteticamente: a) concetto di stimatore intervallo di confidenza o di fiducia; b) il livello di confidenza; c) il livello di significatività; d) dati i valori di sigma=12; n=28; un livello di confidenza pari al 5% per cui la zeta empirica è pari a 1,96 e una media campionaria =21 calcolare l’intervallo di confidenza per la media con varianza nota 46

 Descrivere sinteticamente il significato delle ipotesi base cui sottostà il Modello di Regressione lineare semplice: a) linearità sui regressori; b) normalità dei residui; c) valore atteso dei residui nullo; d) varianza costante dei residui 64

 In un Modello di regressione lineare semplice si è trovato un valore del coefficiente di regressione b(stim) pari a 1,48 ed un error standard pari a 0.89 e si vuole sceglier la regola di decisione in questi casi: a) per un test unilatero dx (Z critica=2,576); b) per un test unilatero sx (Z critica=-2,576 ; c) per un test bilateroM(Z critica=1,96); d) c) per un test bilatero (Z critica=1,64) 67

Dati i seguenti valori dei prezzi del I semestre 2017 (12,4-12,5-11,9;12,9-13,1-11,1) quali script di R si utilizzano per calcolare: numeri indici a base fissa; numeri indici a base mobile; media aritmetica; media geometrica

CODICE DI R BASE FISSA 2017

p_2017 <- c(12.4-12.5-11.9,12.9-13.1-11.1)

Fissa <- function(P, Base) P/Base

Fissa(p_2017, 12.4)

CODICE DI R BASE MOBILE 2017

p_2017 <- c(12.4-12.5-11.9,12.9-13.1-11.1)

Mobile <- function(P_t2, P_t1) P_t2/P_t

Mobile(p_2017[-1],p_2017[-6])

#CODICE DI R MEDIA ARITMETICA E CODICE DI R MEDIA GEOMETRICA#

X <- c(12.4-12.5-11.9,12.9-13.1-11.1)

Mean(x)

Media <-Sum(x)/

Library (labstatR)

Meang (p_2017)

Con quali formule si calcolano i rapporti: a)di mascolinità; b)di femminilità; c)di senilità; d) di invecchiamento

I rapporti di coesistenza sono molto usati in demografia e permettono di misurare :

• la struttura per sesso di una certa popolazione attraverso i rapporti di mascolinità e femminilità
• la struttura per età di una certa popolazione attraverso i rapporti o indici di senilità e di invecchiamento; i rapporti di decessi per parto e di procreazione. Im=Pm/Pf ; If= Pf/Pm ; Is=Ps/Pg ; Ii=Ps/Pa

Dove Pm è il numero di maschi e Pf è il numero di femmine della popolazione osservata.

Ps è il numero di maschi e di femmine oltre i 65 anni di età; Pg è il numero di maschi e di femmine di meno di 15 anni. Pa è il numero di maschi e di femmine tra i 15 e i 65 anni.

Se moltiplicati per 100 si ottengono gli omonimi indici percentuali.

Dati i seguenti valori dei prezzi del I semestre 2017 (12,4-12,5-11,9;12,9-13,1-11,1) calcolare: numeri indici a base fissa; numeri indici a base mobile; passaggio da base fissa a base mobile; passaggio da base mobile a base fissa

tempo prezzi NIBF NIBM DA NIBM A NIBF DA NIBF A NIBM

GEN 17 12.4 12,4/12,4 = 1 - 1 -

FEB 17 12,5 12,5/12,4 = 1,008 12,5:12,4=1,008 1*1,008= 1,008 1,008/1= 1,

MAR 17 11,9 11,9/12,4 = 0,9597 11,9:12.5=0,952 1,008*0,952= 0,9596 0,9596/1,008=0,

APR 17 12 ,9 12,9/12,4 = 1,040 12,9:11,9=1,084 0,9596*1,084=1,040 1,040/0,9596=1,

MAG 17 13,1 13,1/12,4 = 1,055 13,1:12,9=1,016 1,040*1,016= 1,057 1,057/1,040=1,

GIU 17 11,1 11,1/12,4 = 0,894 11,1:13,1=0,847 1,057*0,847= 0,895 0,855/1,057=0,

Dati i seguenti valori del carattere X (1450, 1560, 1680, 1940, 2350, 2670, 3120): a) costruire 3 classi aperte a dx e chiuse a sx b) costruire 3 classi aperte a sx e chiuse a dx; c) costruire classi con il metodo a radice; d) costruire classi con il metodo logaritmico

Dati le seguenti classi equi ampie (12-16; 16-20; 20-24; 24-28) e la relativa frequenza assoluta (0,1,2,3) calcolare: a) i valori centrali di classe; b) la frequenza relativa; c) la frequenza cumulata assoluta; d) la frequenza cumulata relativa

classi Fre ass Val centr Fre rel Fre cum ass Fre cum rel 12 - 16 0 14 0,00 0 0 16 - 20 1 18 0,17 1 0, 20 - 24 2 22 0,33 3 0, 24 - 28 3 26 0,5 6 1 tot 6 1,

Quali grafici sono più appropriati per rappresentare: a) una distribuzione dei costi indiretti di una produzione; b) una distribuzione generica di valori suddivisi in classi; c) una relazione fra due variabili x ed y; d)una distribuzione di probabilità discreta

Se si prende in considerazione la distribuzione dei costi indiretti di una produzione generica, questi possono essere rappresentati attraverso un grafico a torta. Questo grafico, infatti, è molto utile quando si vuole rappresentare la composizione di un “tutto” in parti. Il grafico cartesiano mette in relazione due variabili sui due assi (X,Y), associando normalmente la variabile indipendente o esplicativa all’asse delle ascisse e la variabile dipendente o risposta all’asse delle ordinate.

Con il grafico a bolle viene rappresentato il fenomeno statistico in modo simile a quello a dispersione tanto che alcuni lo considerano come vera e propria variante a tale grafico e come una via di mezzo tra il grafico e il cartogramma. Il grafico a bolle deve essere letto in modo che le aree delle stesse debbano considerarsi proporzionali alla densità del carattere osservato. L’utilizzo del grafico a bolle è particolarmente indicato per presentazioni di coppie di dati la cui somma ha un qualche significato da un punto di vista aziendalistico. Il grafico ad anello è simile a quello a torta. La differenza consiste nel fatto che vengono rappresentati in più anelli concentrici serie diverse di dati ed ogni anello è suddiviso in parti corrispondenti normalmente alle frequenze percentuali del carattere osservato.

a) Grafico a bolle b) Istogramma c) Cartesiano d) Grafico a barre orizzontale o verticale

Dati i seguenti dati del carattere x (12,2,3,45,64,32,1,87) e le relative frequenze assolute (0,1,2,3,2,1,3,4) con quali script di R si calcolano: la media aritmetica semplice; media aritmetica in frequenza assoluta; media aritmetica in frequenza relativa; la mediana

#DATI#

Carattere X<-c(12,2,3,45,64,32,1,87) fre. ass. <-c(0,1,2,3,2,1,3,4)

#MEDIA ARTITMETICA SEMPLICE#

n<-pength(x)

sum(x)/n

#OPPURE

Mean(x)

#MEDIA ARTITMETICA FREQUENZA ASSOLUTA#

Sum(x* fre. ass.)/sum(fre. ass.)

#MEDIA ARTITMETICA FREQUENZA RELATIVA#

Freq_rel<- fre. ass./sum(fre. ass.)

Sum(x*freq_rel)

#MEDIANA#

x<-sort(x)

Median (x)

#VARIANZA PER VALORI SINCOLI#

var<-mean((x-mean(x))^

#SCARTO QUADRATICO MEDIO PER VALORI SINGOLI#

sqm_x <-sqrt(var(x))

#COEFFICIENTE DI VARIANZIONE# a<-sqm/mean(x)

Con quali script si calcolano: media aritmetica semplice; media aritmetica in frequenza; mediana; coefficiente di variazione

#MEDIA ARTITMETICA SEMPLICE#

n<-pength(x)

sum(x)/n

#OPPURE

Mean(x)

#MEDIA ARTITMETICA FREQUENZA ASSOLUTA#

Sum(x* fre. ass.)/sum(fre. ass.)

#MEDIA ARTITMETICA FREQUENZA RELATIVA#

Freq_rel<- fre. ass./sum(fre. ass.)

Sum(x*freq_rel)

#MEDIANA#

x<-sort(x)

Median (x)

#VARIANZA PER VALORI SINCOLI#

var<-mean((x-mean(x))^

#SCARTO QUADRATICO MEDIO PER VALORI SINGOLI#

sqm_x <-sqrt(var(x))

#COEFFICIENTE DI VARIANZIONE#

a<-sqm/mean(x)

Con quali script di R si calcolano: a) I Quartile; b) II Quartile; c) III Quartile; d) Box-plot

a) I Quartile;

x<-c(4,6,9,11,12,15,21,27,29)

quantile (x, probs=0,25)

b) II Quartile o (mediana)

X<-c(4,6,9,11,13,16,18,21,24)

n<-lenghth(x)

0,5(x[n/2]+x[n/2+1]

Median (x)

c) III Quartile;

x<-c(1,3,5,9,11,17,18,23,27)

quantile 8x, probs=0.75)

d) Box-plot

x<-c(24,71,89,12,31,45,66)

boxplot(x)

A proposito della moda: a) che cos'è la densità di classe e come si calcola; b) qual'è la formula della moda per valori suddivisi in classi; c) che cos'è un distribuzione amodale; d) che cos'è una distribuzione plurimodale

a) che cos'è la densità di classe e come si calcola;

Quando le classi sono equi-ampie si può utilizzare, ai fini del calcolo delle misure centrali e di variabilità, il valore centrale di classe, tenendo conto che tale procedura presenta un certo grado di approssimazione dei risultati.

Qualora, invece, le classi non sono equi-ampie è necessario disegnare per ogni classe un rettangolo che ha per altezza la densità di classe, data dal rapporto fra la frequenza assoluta ni e l’ampiezza di classe (ai-1, ai) e per base l’ampiezza di classe stessa.

b) qual'è la formula della moda per valori suddivisi in classi;

Mo=Lmo+ ∗𝐴𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 dove:

Lmo è l’estremo inferiore della classe modale.

∆finf è la differenza fra la frequenza assoluta della classe modale e la frequenza assoluta della classe immediatamente inferiore a quella modale.

∆fsup è la differenza fra la frequenza assoluta della classe modale e lafrequenza assoluta della classe immediatamente superiore a quella modale.

Aclasse è l’ampiezza della classe modale.

c) che cos'è un distribuzione amodale; Presenta frequenze tutte uguali. d) che cos'è una distribuzione plurimodale

La Moda può essere definita come: una misura di tendenza centrale che si applica ai caratteri qualitativi e quantitativi ordinabili, in modo crescente o decrescente. Rappresenta la modalità di un carattere che si presenta più volte o che evidenzia il valore di frequenza più elevato in un insieme di osservazioni.

Una distribuzione di valori di un carattere può presentare più mode (in questo caso si definisce “plurimodale”), quando si registra più volte la stessa frequenza.

Data una distribuzione di valori suddivisa in classi con quali formule si calcolano: a) il I Quartile; b) il II Quartile (o Mediana); c) il III Quartile; d) la moda

a) il I Quartile;

= + DOVE:

IQ1 è l’estremo inferiore della classe dove cade il I quartile.

Fq1-1 è la frequenza relativa cumulata fino alla classe precedente a quella cui cade il I quartile

Fq1 è la frequenza relativa cumulata fino alla classe che contiene il I quartile.

∆_Q1 è l’ampiezza della classe che contiene il I quartile.

b) II Quartile (o Mediana)

= +( )𝑐 dove :

Lme è la media tra l’estremo inferiore della classe mediana e l’estremo superiore della classe che precede quella mediana.

N è la frequenza totale.

freq.cum.ass.Me-1è la frequenza cumulata assoluta della classe inferiore a quella mediana.

Freq. ass. Me è la frequenza assoluta della classe mediana.

C è l’ampiezza della classe mediana.

c) il III Quartile;

= + dove:

IQ3 è l’estremo inferiore della classe dove cade il Q

Fq3-1 è la frequenza relativa cumulata fino alla classe precedente a quella in cui cade il Q

Fq3 è la frequenza relativa cumulata fino alla classe che contiene il Q

∆_Q3 è l’ampiezza della classe che contiene il Q3.

d) la moda

Mo=Lmo+ ∗𝐴𝑐𝑙𝑎𝑠𝑠𝑒 dove:

Lmo è l’estremo inferiore della classe modale.

∆finf è la differenza fra la frequenza assoluta della classe modale e la frequenza assoluta della classe immediatamente inferiore a quella modale.

∆fsup è la differenza fra la frequenza assoluta della classe modale e la frequenza assoluta della classe immediatamente superiore a quella modale.

Aclasse è l’ampiezza della classe modale.

Dati i seguenti valori centrali di classe x (1,2,3,4,5) e le relative frequenze assolute (2,3,1,5,4) calcolare: la varianza per classi; lo s.q.m.; la devianza per classi; il coefficiente di variazione

Dati i seguenti valori centrali di classe xi (2,4,5,1,3) e le relative frequenze assolute ni (2,0,1,4,3) calcolare: la devianza in frequenza assoluta; la varianza in frequenza assoluta; lo scarto quadratico medio; il coefficiente di variazione

Dati i seguenti valori centrali di claase x (12,2,3,45) e le relative frequenze assolute (1,2,0,4) con quali script di R si calcolano: a) i cinque numeri di sintesi; b) l’indice di asimmetria di Bowley; c) l’indice di asimmetria con la formula del momento terzo per valori singoli; d) l’indice di asimmetria con la formula del momento terzo per valori suddivisi in classi

Dati i seguenti valori centrali di classe x (3,1,6,5) e le relative frequenze assolute (0,5,1,3) calcolare: a) la media per valori suddivisi in classi; b) lo scarto quadratico medio; c) l'indice di curtosi utilizzando la formula del momento quarto per valori singoli; d) l'indice di curtosi utilizzando la formula del momento quarto per valori suddivisi in classi