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Trasformazioni lineari : proprietà di media e varianza
X= n. computer vendute al giorno
Sappiamo che per ogni computer venduto il negozio guadagna 10 euro.
- Qual è il guadagno atteso a fine giornata?
- Qual è la varianza del guadagno a fine giornata
Variabili aleatorie discrete, caso particolare: BERNOULLI/BINOMIALE
- Variabile aleatoria di Bernoulli : si basa sull’esperimento aleatorio di Bernoulli che ha solo 2 esiti,
“successo” e “insuccesso”
Es: lancio della moneta (T o C); tiro in rete (Goal o non goal)
se
y
an
b e ha media
ma
e
84
e 8
ESEMPIO
μ
x
3,
84 2,
32
208,
è
8g
THE
2 ª
PARTE
L ie
P
PE
o 1
esempio
p
si distribuisce
come
Be
p
SIMMETRICA
i
p
no
p
0,
Be
p
è
io
ASSIMMETRICA
A
DESTRA
POSITIVA
se
pe
0,
Valore atteso e varianza della famiglia di variabili Bernoulli:
=> la probabilità di successo è anche la media di X
Varianza= incertezza se successo o insuccesso
Esempio: gioca a basket e so che farò canestro con probabilità 0,3. E vinco 1€ se faccio canestro
quale variabile aleatoria può modellare questa vincita?
qual è la vincita attesa?
qual è la varianza (incertezza) della vincita?
Distribuzione Binomiale
Esperimento aleatorio: replicare n volte l’esperimento di Bernoulli, con probabilità p, in modo
indipendente
Es. Lancio moneta n=10 volte; controllo di qualità, controllo i primi n= 100 pezzi prodotti
PH
P
o
an
Be
p
0,
ASIMMETRICA
A
SINISTRA NEGATIVA
a
a
μ
Eln
μ
II
A
plx
0 A
p
p p
x
ELN
μ plx μ
p
p
pa
p p
p
A
P
idea
Ix
p
A P
a
gg
massima
varianzaincertezza se
p
0,
Idfinittepee
sicuramente a
successo
o
0,
vincita
I è
p
arretra
μ
p
via pi
a
p
0,3 0,7 0,
In R, funzione di probabilità Binomiale -> dbinom (y,n,p) Bernoulli -> n=
In R, funzione di ripartizione Binomiale -> pbinom (y,n,p)
Esempio
Un promotore finanziario riesce a vendere a un cliente il proprio prodotto con probabilità 0,4. In una
giornata incontra 5 clienti
Qual è la probabilità che riesca a vendere almeno 1 prodotto in quella giornata
Ripetiamo l’esperimento n=5 volte
Y= n. prodotti venduti tra i n=5 clienti
Qual è il numero atteso di prodotti venduti nel giorno?
Per ogni prodotto venduto il promotore guadagna 20€, qual è il guadagno atteso e la sua varianza a
fine giornata?
Ely
n
p
è il n atteso di successi in n
prove
Y
n
p
p
è
la varianza
I Iii
p
singolo
cliente
ma
In
Bi u
p
0,
Sy
o
P
Y
P
Y
a P
Y
a
PIU
S
I
P
4
in R
o 1
albinoni
o
EH
up
2
V
m
p
a
p
0,410,
Y
vi
prodottivenduti nel
giorno
a
guadagno
giornata
o W 204 tras lineare w a
by
c
Esempio 2
VETTORI ALEATORI
(X,Y) è discreto quando entrambe X e Y sono discrete
funzione di probabilità congiunta
Tabella di contingenza (a doppia entrata)
(X,Y) vettore aleatorio
qual è la probabilità che X=1 e Y>2?
- Probabilità marginali
- Probabilità condizionate :
X eY sono dipendenti
4 Bi n 10
p
0,
In R
a P 4
8 dba
b
P
Y
pbinom
t 10 0.
a
ppa.es
EÈ
piu
dbinomls.io a
dbinomla.io a
1s
me
ply
s P
yea
o
pbinom
5 io
pbinom 2,
Pxy
x
Y
P X
Y
y
pay
x
y
o
2
E pay
x
y
Esempio
4
1 2
4 Px
p
x
y
0,
0,
ma
is
PM 1,
2 P
2,
41
ma
di
pe
x
I
p
x
y
fisso
righe
sommo
colonne
di
4
py
Y
E p
x
y
fino
colonne
sommo
righe
a Di
dato
4 4
4
Px
Pygy
Di 4 dato a
Py
Pip
S continua
a
gia
Prob.com
o PIU
0 0.6 PIU 1
VARIABILE ALEATORIA CONTINUA
- Valori in intervalli (valori reali)
- Variabile di misurazione (Es. Reddito, tempo, fatturato ecc.)
- Per descrivere i dati a disposizione si usa l’istogramma (simmetrico, asimmetrico a destra o a
sinistra) -> distribuzione di probabilità di variabili aleatorie continue
La probabilità di una variabile aleatoria continua è indicata dalla funzione di densità di probabilità (è
la curva che approssima l’istogramma) ->
- f(x) consente di calcolare probabilità
- Per variabili continue (a differenza delle variabili discrete):
allora
Un particolare intervallo è
0,
disegni istogrammi
x tale che
fax
1 AREA
ESEMPIO
È
A
Bane
P
a
e
b x ok
a b
P x a o
perogni
a
Plaenebl
P
arena
b
P a
b
P
a
e
e b
C
x
y
Fx
y
P
x
e
y
Èla
funzione
di
ripartizione
CNN.EU
PIxey
y
Media o valore atteso
Varianza
Quartili
Anche per variabile aleatoria continua:
Caso particolare della trasformazione lineare: Standardizzazione
Se X ha
Qualunque sia X, se la standardizzo, cioè , allora Z ha media=0 e varianza=
Una speciale variabile aleatoria continua: Variabile aleatoria normale o Gaussiana
-> densità simmetrica rispetto alla media
-> media = mediana
-> a campana (alta probabilità a valori vicini alla media;
bassa probabilità a valori lontani dalla media
Esempi applicazione:
- Punteggi test
- Rendimenti di investimenti finanziari
- Scarti di produzione
- Altezza, peso, pressione sanguigna
μ
E FIX dx si
fa
con R
8
VIX
A
M
1
1
si
fa
con R
MEDIANA
go.si
P
go.es 0,
PRIMO QUARTILE
go.rs
P
go.es
0,
TERZO QUARTILE
go.is
P
NE
go.is
Se 4
a bx
y
trasformazione
lineare di
Mx
e
84
e se
g 1
Z
VARIABILE
STANDARDIZZATA
nota
z
Ia
b
È
E
z a
tb.mx
II
ma
v
b 8
8
2
1
Emi
Esempio 2
Il prezzo di un prodotto ha distribuzione normale di media=100 e varianza=
- qual è la probabilità che il prodotto venga venduto a prezzo superiore a 90
- determinare il quartile di ordine 0,8. Qual è il suo significato?
Esempio 3
Il rendimento mensile di in titolo segue distribuzione normale, con rendimento medio= 0.04 è uno
scarto quadratico medio= 0.
Qual è la probabilità che il rendimento sia compreso tra 0 e 0.05?
Determinare quel valore k del rendimento tale che sia 0.7 la probabilità di avere rendimento maggiore
di k
Si considerino 6 mesi in ciascuno dei quali la probabilità che il rendimento sia compreso tra 0 e 0.05 è
al punto a (0.539). Qual è la probabilità che in almeno 3 di questi sei mesi il rendimento sia tra 0 e 0.
b P
Ne 2
c
93
commento
quam
0,
la
probabilità
che
x anuma valori
e io
a
4,
è 75
d
senza R
23
go.es
P 90 1
priorm
4
0,
quorm
0,
100
Significato
la probabilità che il
prodotto
venga
venduto
ad un
prezzo
inferiore
a 103
è
dell 80
Plo
e e
p
norm
prorm
o
K
quorm
P A
G
P
K
p
0,
e
probabilità
di
successo
Combinazioni lineari di 2 variabili (discrete o continue)
2 variabili
esempio
Il rendimento di un portafoglio finanziario (T) risulta essere composto da combinazione lineare dei
rendimenti di due titoli:
Sappiamo che i valori attesi dei rendimenti sono:
Inoltre i due rendimenti sono positivamente correlati COV=0.
Determinare rendimento atteso e varianza del portafoglio
n 6 mesi
y
vi di
successi
vi di volte in cui il rendim
è
nell'intervallo
0.05 nei 6 mesi
y
0 1
yn
Bi m 6
p
1
pbinom
1 P
con media
μ
e
varianza
2
y
con media
my
e varianza
8J
COMBINAZIONE LINEARE
W
ax
by
e
casi
particolari
I
I
tg
E
w
μ
w
a.mx
b.my
e
w
8in a
8 b
by
2 ab
cov
x Y
CASI
PARTICOLARI
c
Etattacovina
o
acovix.nl
0 3 0 t
y
si
8g
E TI
0,
0
1 0
VIT
0 32 0 16
0 1005
Statistica inferenziale
Statistica inferenziale : ha come obiettivo di generalizzare le conclusioni (indici di sintesi,
associazione…) del campione all’intera popolazione di riferimento
—> questa inferenza porta a correre dei rischi che prendono il nome di errore campionario (perché il
campione ≠ popolazione), questo errore non si può annullare, ma bisogna misurarlo
Vedremo:
- Stima puntuale
- Stima per intervalli
- Test di ipotesi
- Regressione lineare
Obiettivo della statistica inferenziale: stimare (approssimare) una caratteristica della popolazione a
partire da un campione -> parametro
Es. Media (fenomeno: reddito); Varianza (fenomeno: reddito); Proporzione (di laureati)
Campione casuale
Es. T. di occupazione in Italia nel 2023
- ISTAT estrae campione probabilistico di 3000 individui —> stima tasso occupazione 60%
Campione casuale (i.i.d) = è un vettore di n. variabili (x1, x2, …, xn):
‣ Indipendenti tra loro
‣ Identicamente distribuite (rappresentative della popolazione) come la
popolazione
Esempio: X= reddito (fenomeno d’interesse); pop.=famiglie italiane; n=
Campione casuale (x1, x2, x3)
Estrazione: (Anghileri, Carabelli, Annoni ) -> (x1,x2,x3)=(1550, 1700, 2000)
POPOLAZIONE
CAMPIONE
Dati
r
INFERENZA
probabilità
POPOLAZIONE
TARGET
on
casuale probabilistico
rappresentativo
Iiiiia
T.EE 1 ie
aeori
Se campione estratto fosse stato: (Visconti, Comerio, Gervasoni)
—> campione osservato: (x1,x2,x3)=(3700, 2800, 2500)
Da campione casuale (teorico) (X1,X2,…,Xn) ottengo tanti campioni estratti (x1,x2,…,x3)
Esempio
Popolazione di 4 individui (A,B,C,D).
Interessa età= X
Sappiamo che X(A)= 18, X(B)=20, X(C)=22, X(D)=
Estrarre un campione casuale di n=
Quali sono i possibili campioni osservati?
Quali possibili valori X1? (18,20,22,24)
Quali possibili valori X2? (18,20,22,24)
il campione osservato è solo uno dei possibili
Obiettivo: stimare un parametro della popolazione tramite un campione casuale (X1,X2,…Xn) è
campione osservato (x1,x2,…,xn) [es: vettore di redditi per stimare reddito medio]
=> dobbiamo sintetizzare gli n numeri (x1,…xn) in un unico numero ( stima )
- Stimatore T = T(X1,…,Xn) -> é una sintesi del campione teorico
- Stima t = T(x1,…,x2) -> sintesi del campione osservato
Esempio (continua)
Vogliamo stimare l’età media della popolazione a partire da un campione di ampiezza n=
- Quale stimatore?
- Quali possibili stime?
Campione casuale (X1,X2)
Campione osservato (x1,x2)
campionne osservato
var
aleatori
numeri
è
campione
casuale
a
A
B
B
a
16 possibili
campioni
osservati
Na
Na
e
22,
D
variaicatoriastintesi
immero
a
A
18
1
stima
B
Stimatore T
1
media
campionaria
o
Ittie
D
24
24
stima te
Se popolazione ha distribuzione normale, cioè se allora
grafico :
La situazione preferibile è la curva verde, perché ha delle stime più stabili
Esempio
La percentuale di aumento annuo degli stipendi dei dirigenti di tutte le imprese lombarde di distribuisce
come una normale di media = 12,2 e scarto quadratico medio= 3,
X= aumento dello stipendio
Estraiamo campione casuale di n=9 dirigenti e calcoliamo media campionaria del loro aumento di
stipendio.
Qual è la probabilità che la media campionaria stimi la media della popolazione con valori inferiori a
10? (Probabilità di sottostimare la media)
Teorema centrale del limite —> qualunque sia la distribuzione della popolazione X (non deve per
forza essere una normale) se n grande:
Esempio
Il prezzo medio di vendita delle nuove abitazioni in una città è 115000€ con deviazione standard di
25000 €. Estraiamo in campione casuale di 100 nuove abitazioni vendute.
Qual è la probabilità che il prezzo medio del campione sia superiore a 110000€?
X= prezzo di vendita
NN
n
NN
I
μ
12,
82
P
e
10
prop
3 della
x ̅
visto
che x
nn 12.2 3.6 x̅ N
12,
P
x̅ 10
È
prorm
1 μF
È molto
bassa
la
prob
di sottostimare
I
a
μ
I
i
approssimazione
b
II
i
N n
n
n
non
c'è
ipotesi
che
μ
115
8 25000
dellapopolazione
prezzo
mediodel
campione
n 100
giustifica
uso delTeor
cent
limite
Varianza campionaria
Misura quanto i dati del campione si discostano dalla media del campione
È stimatore della varianza della popolazione
Perché n-1 al denominatore?
se al denominatore avessimo n —> la proprietà non vale più
Esempio
Da un campione casuale di 5 dipendenti di un’azienda abbiamo rilevato il numero di ore di straordinario
nell’ultimo mese: (22,16,28,12,28).
Vogliamo stimare la media e la varianza del numero di ore di straordinario (X) di tutti i dipendenti
dell’azienda (popolazione)
Stimiamo
P x
T.c.tn
115000
P
x̅
000 1
priorm
sig
f
Stimatore Parametro
Media
campionaria
μ
media
pop
i
Varianza campionaria
s
I 1
II
i
x ̅
82
varianza
pop
Proporzione campionaria proporzione
della
popolazione
s
I
1
III
82
Se allora
E
5 82
lamentello
stimatore
coincide
con il verovalore
82
con
Esempio
Nella popolazione di un certo comune il 40% è laureato, si estrae un campione casuale di 120 cittadini.
Qual è la probabilità che la stima basata sul campione, della popolazione laureati, sia compresa tra il
35% e il 45%?
2 proprietà importanti per gli stimatori
- Non distorsione ( o correttezza) -> stimatore T è non distorto (o corretto) per il parametro che
vuole stimare se
- Consistenza -> stimatore T è consistente per stimare il parametro se
(Cioè se variabilità delle stime decresce all’aumentare dell’ampiezza del campione)
i 3 stimatori considerati consistenti sono:
Stima per intervalli: intervalli di confidenza
Stima puntuale si basa solo sul campione osservato, ma è importante tenere conto anche dei campioni
non osservati. Questo è possibile grazie agli intervalli di confidenza
Intervallo di confidenza per stimare : sono due stimatori tali che
Cioè l’intervallo (T1,T2) contiene il vero valore del parametro con una certa probabilità fissato
da noi
“Intervallo di confidenza al 95%” significa che sono confidente che l’intervallo conterrà il vero valore
non laureato
laureato
Be
p
a
propor
di
successo
nella
pop
n 120
Quale
stimatore
per
p
proporzione
campionaria
P
P 0,
I
45 prorm
prorm
poiché
n
50 x ̅
N o
o
p.lt
1
O
E
T
sappiamo
che
o P
è non distorto
per
p
E
E
p
O
VIT
o
se ne sta
a x̅ VII
o
se n a è consistente
5
V
s o
è consistente
proporzione
campionaria
è consistente
μ
Ta Ta
Plta
amata
1
per
es 1 α 1
oasi
am
ÉTÉ
con probabilità = 95%
- Costruiamo intervallo di confidenza per la media della popolazione
- Popolazione normale con varianza nota:
stima migliore per
standardizzazione X
=> intervallo di confidenza per la media a livello di confidenza
Esempio
μ
reddito
medio
famiglie
italiane
intervallo
infryafo
molto
non HA
senso
NU
inctognita
da
stimare conintervalli
μ
è NN
μ
Z
EI
NN
o 1
z
z
n
g
quantile
chelascia
a
sx
1 _I
prob
vogliamo
intervallo
per
μ
a confidenza
1
è
i
Pfa
z
fi
α
P Z
e e
za
z
1
α
PFI.II.net
E
α
μ
è
za
z
fi
x̅
Z
I
f
stima
puntuale margine
d'errore
Se 1 α
0,
allora 1
I
0,
Z
Zo as
quam
Se 1 α
0,
allora
I
Z
zoats
quam
o 975
Se
1 α
0,
allora
I
Z
Zona
quam
2,
