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108
INDICI DI VARIABILITA’
(o di dispersione)
Statistica Psicometrica –
Prof. Bonanomi
LA STATISTICA (Trilussa)
Sai ched’è la statistica? E’ ‘na cosa
che serve pe’ fa’ un conto in generalede la gente che nasce, che sta male, che more, che va in carcere e che sposa
Ma pe’ me la statistica curiosa
è dove c’entra la percentuale,pe’ via che lì la media è sempre egualepuro co’ la persona bisognosa.
Me spiego: da li conti che se fanno
seconno le statistiche d’adessorisurta che te tocca un pollo all’anno:
E se nun entra ne le spese tue
t’entra ne la statistica lo stessoperché c’e’ un antro che ne magnia due!!!
110
Gli indici di
posizioni
sono utili per alcune informazioni
sui caratteri
- appare tuttavia insufficiente- sintesi troppo spinta
→
perdita di informazioni
POSIZIONE + VARIABILITÀ
- interessano anche indicatori della
diversità
(molteplicità) dei valori di un carattere
Attitudine del carattere ad
assumere modalità differenti
VARIABILITA’
112
X ={x
1
,…,x
6
Y ={y
1
,…,y
6
è più variabile (disperso) X oppure Y ??
Per capire
Indici di Dispersione
CAMPO DI VARIAZIONE
DIFFERENZA INTERQUARTILE
VARIANZA
SCARTO QUADRATICO MEDIO oDEVIAZIONE STANDARD
COEFFICIENTE DI VARIAZIONE
N.B: solo per caratteri quantitativi
114
Campo di Variazione
Il campo di variazione è la differenza
tra il valore maggiore e quello minore
della distribuzione di frequenza
osservata
POCO INFORMATIVO!!
m a x
m in
V a r ia z io n e
x
x
=
−
Campo di variazione
11 ragazzi di 8 anni hanno ottenuto ad un test la
seguente serie di punteggi:
Esempio
Definire il campo di variazione
Variazione
X
min
X
max
120
Punteggi
f
i
F
i
posQ
1
posQ
3
Q =
1
Q
3
DI (o Q )
Q
3
- Q
1
Differenza Interquartile
Indici di dispersione
Si
può
ottenere
un
indice
di
dispersione
che
tenga
conto
del
contributo dei singoli casi: a)
si calcolano gli
scarti
dei valori
osservati dalla media b)
si fa una
media
di questi scarti
122
VARIANZA
La
VARIANZA
è la media degli scarti da M al quadrato
2
2
2
1
n
i
i
x
X
s
Var X
n
=
FORMULA DI DEFINIZIONE
VARIANZA-formula operativa
Negli
esercizi
si
utilizza
solitamente
una
formula
più
semplice per il calcolo della varianza.E’ possibile dimostrare che:
2
2
2
2
1
2
2
(
)
n
i
i
X
s
V a r
X
X
n
M
X
X
σ
=
=
=
=
−
=
=
−
124
VARIANZA-formula operativa
2
2
2
1 n
i
i
X
s
X
n
=
=
−
∑
Dati grezzi
2
2
2
1 k
i
i
i
X
f
s
X
n
=
=
−
∑
Distribuzionidi frequenza
2
2
2
1 k
c
i
i
i
X
f
s
X
n
=
=
−
∑
Dati in classi
esempio:
Calcolare la varianza
Esempio 1 – Dati grezzi
DATI:
1
n
i
i
X
X
n
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
1
n
i
i
X
s
X
n
=
126
esempio:
x
i
f
i
x
i
f
i
x
i
2
f
i
2
3
6
1 2
4
1 0
4 0
1 6 0
6
2 0
1 2 0
7 2 0
8
6
4 8
3 8 4
1 0
5
5 0
5 0 0
4 4
2 6 4
1 7 7 6
Passaggi per ilcalcolo dellavarianza con laformulaoperativa
Esempio 2
Distribuzioni di frequenza
1
k
i^
i
i
X f
X
n
=
2
2
2
2
1
k
i
i
i
X f
s
X
n
=
Esempio 3
Dati in classi
1
k
i
i
i
X f
X
n
=
2
2
2
2
1
k
i
i
i
X f
s
X
n
=
classi
c x
i
valori centrali
f
i^
c x
i^
·f
i^
c
x
(^2) i
·f
i
−
40
340
2890
−
25
263
2756,
−
120
1620
21870
−
145
2683
49626,
330
4905
77142,
132
Talvolta
si
scrive
nel
riportare
le
statistiche
descrittive
di
un
gruppo
di
soggetti
Esempio:
Si può dire che i 10 adolescenti al test di
personalità ottengono una media di
X ±s
COEFFICIENTE DI VARIAZIONE
- Il coefficiente di variazione sintetizza il rapporto
tra
Media
e
Deviazione Standard
- Determina la dispersione dei dati osservati
mediante l’uso della Media come
unità di misura
variabilità relativa
- E’ particolarmente utile per
confrontare
due
differenti distribuzioni
s X
C V
=
134
COEFFICIENTE DI VARIAZIONE
Le medie e le deviazioni standard ad un
test di motivazione al lavoro dei
lavoratori di due aziende sono
rispettivamente:
Az
1
7 e Az
2
Quale è l’azienda con maggior variabilità
assoluta?
E maggior
variabilità relativa? ESEMPIO
COEFFICIENTE DI VARIAZIONE
s
1
s
2
La 1° azienda ha una maggiore
variabilità assoluta
CV
1
=0,083 < C
V
2
La 2° azienda ha una maggiore
variabilità relativa
1
CV
2
CV
Confronto tra indici
Deviazione standard
Coefficiente di variazione
Indice di variabilità assoluta
Indice di variabilità relativa
Dipende dall’unità di misura
Non dipende da nessuna unità dimisura
E’ espresso nella stessadimensione dei dati
Non avendo unità di misura, nonè esprimibile nella stessadimensione dei dati
Non è possibile confrontare lavariabilità di distribuzioni diverse
E’ utile per confrontare lavariabilità di distribuzioni diverse
136
Esercizio di Riepilogo
In
una
scuola
gli
alunni
vengono
sottoposti
al
test
per
la
determinazione del Q.I., ottenendo la seguente distribuzione Determinare tutti gli indici di variabilità studiati
Classi
Valore centrale
f
i
60-
65
14
70-
75
17
80-
85
34
90-
95
45
100-
105
54
110-
115
32
120-
125
16
130-
135
5
217
138
Classi
Valore centrale
f
i
xi·fi
x
i
2
· fi
60-
65
14
910
59150
70-
75
17
1275
95625
80-
85
34
2890
245650
90-
95
45
4275
406125
100-
105
54
5670
595350
110-
115
32
3680
423200
120-
125
16
2000
250000
130-
135
5
675
91125
217
21375
2166225
s
2
2
s =Cv = 16.73 / 98.502 = 0.
=
X
Esercizio di Riepilogo
Un punteggio all’interno di una distribuzione è in
realtà privo di significato se preso da solo.
Sapere che un soggetto ha ottenuto un punteggiox=52 in una scala di aggressività dice abbastanza
poco sulla caratteristica del soggetto
Non si sa, cioè, se è poco o molto aggressivo o se la
sua aggressività è nella media.
STANDARDIZZAZIONE
144
operazione
consente
di
definire
la
posizione
di
un
soggetto
all’interno
di
una
distribuzione di frequenza e, dunque, di:a)
confrontare
due
prestazioni
dello
stesso
soggetto
entro due diverse distribuzioni
b)
confrontare
le
prestazioni
di
soggetti
diversi
in differenti distribuzioni
IN COSA CONSISTESTANDARDIZZARE?
Gli indicatori di tendenza centrale e di
dispersione (media e deviazione standard)
possono essere utilizzati per ottenere
la standardizzazione
delle misure
Standardizzare
significa riferire la misura ad
una
scala
standard
di
cui
sono
noti
i
parametri (media e varianza)
146
Una delle scale più comunemente utilizzateè detta “standard” o “z” e ha media = 0 evarianza = 1 Questa scala si ottiene trasformando ipunteggi
x
i
di una distribuzione in punteggi
z
i
tramite la formula
i
i
X
X
z
s −
=
PUNTI z
Consentono di riferire una misura ad una scala
standard con
media
uguale a
zero
e
deviazione standard
uguale a
La trasformazione dei valori
X
i
in valori
Z
i
significa esprimere i valori come distanza
dalla media in termini di deviazioni standard
(cioè, usare la deviazione standard come
unità di misura
PUNTI Z
148
In
un
test
di
percezione
visiva
la
media
è
21.25 e la deviazione standard di 6.74.
Trasformare
in
punti
z
i
seguenti
punteggi
ottenuti da 6 soggetti dislessici.
Ss
x
i
Esempio
ESEMPIO
N.B. la media e la deviazione standard sono riferite allapopolazione totale, e non ai 6 soggetti analizzati!!
149
Si standardizzano i punteggi
:
97 .
1
74 .
6
25 .
21
8
z
1
−
=
−
=
z
2
z
3
z
4
z
5
z
6
150
Il
soggetto
n°
con
è
circa
una
deviazione
standard
sotto
alla media (21.25 - 6.
Il
soggetto
n°
con
è
una
deviazione
standard
sopra
alla media (21.25 + 6.74 = 28)
x
i
8
14
17
20
21.
25
28
z
i
-1.
-1.
-0.
-0.
0
0.
1.
MEDIA
151
Il soggetto n°5 con 25 è circa mezza deviazionestandard
sopra
la
media
e,
ad
esempio,
dista
dalla media
la metà
rispetto al soggetto n°
Il soggetto n°1 con 8 è due deviazioni standard sotto
la media e, ad esempio, dista dalla media
il
doppio
rispetto al soggetto n°2.
x
i
8
1 4
1 7
2 0
2 1 .2 5
2 5
2 8
z
i
-1 .9 7
-1 .1 0
-0 .6 3
-0 .1 8
0
0 .5 6
1 .0 0
MEDIA
156
Ranghi percentili
Il RANGO PERCENTILE
RP(
x
di un punteggio
x
può
essere
definito
come
la
percentuale
di
dati
che
assumono un valore uguale o minore di
x
Se, per esempio,
x
i
è il punteggio del soggetto
i
, dire
che
RP(
x
= 28, significa dire che il soggetto
i
occupa
la 28
a
posizione percentuale nella sequenza ordinata
dei dati, cioè che è preceduto dal 28% dei soggetti.
157
Ranghi percentili
La formula di calcolo dei ranghi percentili èDove POS indica la posizione occupata dal punteggio x
nella sequenza ordinata crescente dei dati
POS
RP x
n
158
Ranghi percentili - Esempio
Esempio: 9 bambini sono stati sottoposti ad un test ditimidezza, riportando i seguenti punteggiCalcolare il rango percentile del bambino “D”
bambino
A
B
C
D
E
F
G
H
I
punteggio
159
Ranghi percentili - Esempio
Il primo passo è quello di ordinare i punteggi in sensocrescente:13; 19; 21; 25; 26; 27; 31; 32; 44.Il bambino “D” con un punteggio di 25 occupa la 4
a
posizione nella sequenza ordinata. Pertanto:Il bambino “D” occupa il 40° percentile.
100
( )
1
POS
RP x
n
⋅
=
4 100
400
(25)
40%
9
1
10
RP
⋅
=
=
=
