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248
CENNI DICALCOLO DELLEPROBABILITÀ
Statistica Psicometrica -
Prof. Bonanomi
Nella
statistica descrittiva
si hanno
SERIE e SERIAZIONI dei dati osservati
Nella
teoria della probabilità
si vogliono ricavare
MODELLI TEORICI
per universo/popolazione
x
i
i
x
1
1
x
2
2
x
h
h
i
teoriche
250
STATISTICA DESCRITTIVA
studia le mutabili/variabili
statistiche
che sono caratterizzate da
FREQUENZE
TEORIA DELLA PROBABILITA’
studia le mutabili/variabili
casuali
che sono caratterizzate da
PROBABILITA’
come definire la probabilità ??
In generale per parlare di probabilità si devepensare ad un
esperimento aleatorio
, cioè ad
un esperimento i cui risultati siano “casuali”.
approccio deterministico - l’esperimento ammette un unico risultato certo
approccio probabilistico - l’esperimento ammette almeno due risultati evi è incertezza su quale si realizzerà
(lancio di un dado)
252
Per descrivere le manifestazioni di un
esperimento parleremo di
EVENTI
PROBABILITÀ
misura del presentarsi di un evento
obiettivo:
costruire modelli teorici che permettano
di calcolare la probabilità di
tutti gli eventi sperimentabili
Bisogna, quindi, definire il concetto
di
evento
e il concetto di
probabilità
EVENTI
DISTINGUIAMO TRE TIPOLOGIE DIVERSE DI EVENTI
EVENTI ELEMENTARI
e
1
,e
2
,…,e
i
risultati (manifestazioni) possibili delfenomeno aleatorio
EVENTI GENERICI
A
1
,A
2
,…,A
i
insiemi o famiglie di eventi elementari
NEL LANCIO DI UN DADO GLI EV. ELEMENTARI SONO
NEL LANCIO DI UN DADO UN EV. GENERICO PUO’ ESSERE
A= {risultato pari}= {2,4,6}
254
CLASSI o FAMIGLIE DI EVENTI insiemi di eventi ottenuti con operazioni algebrichesu altri eventi o insiemi di eventi
EVENTI PARTICOLARI
evento impossibile
(insieme vuoto)
evento certo o spazio degli eventi elementari
o
spazio di tutti i possibili risultati
FUNZIONE DI PROBABILITÀ
funzione degli eventi A
è una legge P che permette di calcolare P(A)
Una volta definiti gli oggetti del calcolo delle probabilità
(eventi) bisogna definire la
FUNZIONE DI PROBABILITA
Abbiamo bisogno di 3 “ingredienti” per definire P(A):1.
assiomi
regola per assegnare la probabilità agli eventi elementari
regole per il calcolo della probabilità di altri eventi
260
UU
n n
oo
d d
ee
ii
mm
oo
dd
ii
p p
i i
ù ù
nn
a a
t t
u u
rr
aa
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ll
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b b
ii
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nn
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ll
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n n
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qq
u u
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l l
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hh
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ii
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nn
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aa
ll
c c
a a
ss
oo
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n n
cc
u u
ii
ll
oo
s s
p p
aa
zz
ii
oo
c c
aa
mm
p p
ii
o o
n n
aa
rr
ii
oo
h h
aa
d d
ii
m m
e e
n n
ss
ii
o o
nn
ee
f f
ii
nn
ii
tt
aa
e e
cc
ii
aa
ss
cc
u u
nn
e e
v v
e e
n n
tt
oo
h h
aa
l l
aa
mm
e e
d d
e e
s s
ii
m m
a a
p p
rr
oo
bb
a a
b b
i i
l l
ii
tt
àà
d d
i i
vv
ee
rr
ii
f f
ii
cc
aa
rr
s s
ii
caso
finito
e
simmetria
(equiprobabilità )
contiene n
eventi elementari
legge di probabilità
per ogni evento elementare
p
i
= 1/n
(i=1,2,…,n)
Lancio di un dado equilibratoIl dado può assumere 6 differenti valori (
finito) ed
ogni faccia ha la medesima probabilità di verificarsix
i
p
i
facce pari}=
P(A) = P(
P(
2})+P(
4})+P(
ESEMPIO
262
Senza ripetere il procedimento appena spiegato ogni volta (probabilità degli eventi elementari e poi, grazie al 3° assioma, ottenimento della probabilità di un generico evento) più velocemente possiamo calcolarela
probabilità
per un generico evento A come:
P(A)
casi favorevoli ad A
casi possibili
(formula classica - Laplace)
devono valere però le condizioni di spazio campionario
di dimensione finita e equiprobabilità
APPROCCIO
CLASSICO
Osservazione
2 modi per calcolare
a) per conteggio: quando
è finito con pochi eventi
elementarib) con calcolo combinatorio (permutazioni, disposizioni,combinazioni)
n. casi favorevolin. casi possibili
264
esempio 1
dato un mazzo di 52 carte, si estrae
carta
A = {carta estratta è di cuori}
B = {carta estratta è una figura}
calcolare P(A), P(B), P(A
B)
P(A) = (n.cuori)/(n.carte) = 13/52 = 0.
P(B) = (n.figure)/(n.carte) = 12/52 = 0.
P(A
B) = (n.figure di cuori)/(n.carte) =
esempio 2
lancio di due monete
= {TT, TC, CT, CC}
A={almeno 1 T}={TT,TC,CT}
P(A) = 3/4 = 0.
B={1 T e 1 C}={TC,CT}
P(B) = 2/4 = 0.
A
c
={CC}
P(A
c
A
B={TC,CT}=B
P(A
B) = 0.
esempio 3
lancio di un dado
A = {dispari} = {1,3,5}
P(A) = 3/6 = 0.
B = {maggiore di 3}={3,4,5,6}
P(B) = 4/6 =0.
A
B={3,5}
P(A
B) = 2/6 = 0.
A
B={1,3,4,5,6}
P(A
B) = 5/6 =0.
o anche P(A
B) = P(A)+P(B)-P(A
B) =0.5+0.66-0.33=0.
266
PROBABILITÀ CONDIZIONATA
EVENTO CONDIZIONATO
A|B = evento A con la condizione che B si sia
già verificato
PROBABILITA’ CONDIZIONATA
P(A|B) = P(A
B)/P(B)
con P(B)
ovvero
P(B|A) = P(A
B)/P(A)
con P(A)
da cui si puo’ finalmente dare la regola della
probabilità dell’intersezione
P(A
B) = P(AB)= P(A|B)P(B)
= P(B|A)P(A)
272
MODELLIPROBABILISTICI
VARIABILE CASUALE
eventi elementari e
i
valori numerici
x
i
S
X
supporto
della v.c. X)
eventi generici A
i
insiemi numerici
di possibili
valori assumibili dalla v.c. X, ad esempio, del tipo
X = x
0
X
x
0
a < X
b
a cui è associata una misura che rappresenta
la
probabilità
che la v.c. X assuma quel o quei
determinati valori
274
Una variabile casuale è un insieme di valori
e di probabilità associate.
Costruire una variabile casuale significa:1.
Determinare i valori
x
i
che la variabile casuale
X
può
assumere (
supporto
Associare ad ogni possibile valore una misura diprobabilità (
funzione di probabilità o densità
V.C. BINOMIALE X
∼∼∼∼
Bin(n,p)
esperimento dicotomico
soli 2 possibili risultati:
1° tipo = successo (S)
2° tipo = insuccesso (I)
dei quali si conosce la probabilità di realizzazione
P(successo) = p
P(insuccesso) = 1
p=q
parametri
Si fanno
n
estrazioni con reimmissione
(indipendenti)
276
Ipotesi
In sostanza: 1. n
prove ripetute e indipendenti
2. Ad ogni prova la probabilità di ottenere un
successo rimane invariata
3. Le
condizioni
sperimentali
sono
sempre
le
medesime
4. La v.c. che
conta il numero di successi
in
n
prove è detta
Binomiale
X= n° di successi nelle n estrazioni
supporto
S
X
k
N:
k=0,1,2,…
n
funz. di probab
P(X=k)= p
k
P(k successi)
P(X=k)=
p
k
n k
p
k
p)
n-k
(k=0,1,…,n)
Definizione di v.c. Binomiale
coefficientebinomiale
Probabilità dei ksuccessiindipendenti
Probabilità degli (n-k)insuccessi indipendenti
Prob. di ottenere ksuccessi in n proveindipendenti
278
I
parametri
(n,p)
rappresentano
rispettivamente
il
numero
di
prove
indipendenti
(n)
e
la
probabilità
di
successo in una prova (p)
Osservazione
n k
= coefficiente binomiale =
(
)
n
k
n
k
dove
n! = n(n-1)(n-2)…2*
(fattoriale)
Grafico della funzione di probabilità Varia al variare dei valori dei parametri (n,p)
284
- La somma di tutte le probabilità ottenute al
variare di
x
da 0 a 10 è uguale a 1
x
p (x )
0
.0 1 7
1
.0 8 7
2
.1 9 3
3
.2 5 8
4
.2 2 7
5
.1 3 6
6
.0 3 9
7
.0 1 6
8
.0 0 3
9
.0 0 0 0
1 0
.0 0 0 0
p(x)
Distribuzione discreta
asimmetrica
positiva
(p <.
p
(
x
)
k
=
1
n
∑
≅
1
0,300,250,200,150,100,05 0,
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Esempio:Si vuole calcolare la probabilità che un giocatore di basketfaccia canestro ad un tiro liberoL’evento sarà --> farà canestro/non farà canestroLa probabilità associata?Sicuramente
non ha senso
dire che
p(centro)=1/
Supponiamo di sapere che nelle precedenti partite hasegnato 82 volte su 100 tiri quindi p(canestro)= 82/100 DOMANDA: qual è la probabilità che su 8 tiri facciacanestro almeno 6 volte? SVOLGERE!!
[R:0,84]
Esercizio 1
286
Esercizio 2 (svolto)
Sia data una moneta truccata per la quale la probabilità di uscire Testa è
il doppio della probabilità dell’uscita di Croce.
Si calcoli la probabilità di ottenere al piu’ 8 volte Croce in 10 lanci.
P(T)=2P(C) da cui P(T)=2/3 e P(C)=1/
Successo = Croce
X= numero di Croce nel lancio di 10 monete sbilanciate =
=Bin(10,1/3)
P(X
8)=P(X=0)+P(X=1)+ … +P(X=8)=
=1-(P(X=9)+P(X=10))== 1-
10
9
9
1
1010
10
0
=
9
1
10
=
DISTRIBUZIONE NORMALE
o gaussiana
V.C. NORMALE
Y
X
μμμμ
288
La curva normale o curva di Gauss è una distribuzioneteorica di punteggi in una popolazione
Riguarda solo le variabili metriche continue, quindi lemisure almeno su scale a intervalli equivalenti
L’importanza di questa distribuzione è dovuta al fattoche
molti
dei
fenomeni
osservati
si
distribuiscono
normalmente
o
con
forme
che
si
approssimano
alla
curva normale
Inoltre
gran
parte
della
statistica
inferenziale
si
basa
sulle proprietà di questa distribuzione
Distribuzione Normale
Partiamo da una distribuzione di frequenza
290
Diminuiamo l’ampiezza degli intervalli
e aumentiamo la numerosità
n
Si ottiene una curva
296
La curva mostra due
PUNTI DI FLESSO
da concava diventa convessa nella metàsinistra
e
da
convessa
diventa
concava
nella
metà
destra
(in
corrispondenza
di
valori di x uguali alla media meno o piùuna ds)
CARATTERISTICHE
UNIMODALE
Mo=Me
ASINTOTICA
si avvicina all’asse delle X senza
mai toccarlo
Rappresentazione grafica
Y
X
μμμμ
m a x
μμμμ
σσσσ
CRESCENTE
per -
x
e
DECRESCENTE
per
x
due punti di flesso a
da
μμμμ
σσσσ
Punti di flesso
Asintotica
Media=Moda=Mediana
298
- La curva NORMALE è interamente definita
dai parametri
μ
(la media che corrisponde
al valore x con la frequenza massima) e
σ
(dev. st.)
- Poiché la distribuzione normale varia al
variare di
μ
e
σ
si può parlare di famiglia di
distribuzioni normali con medie e deviazionistandard diverse
famiglia di distribuzioni normali
con
stessa media
e
deviazione standard diversa
2
1
μμμμ
μμμμ
=
2
1
σ σ
σ σ
σσσσ
≠
300
Y
X
1
1
2
3
2
3
1
2
3
famiglia di distribuzioni normali
con
medie e deviazioni standard diverse
famiglia di distribuzioni normali con una
diversa media
e con la
stessa deviazione
standard
Y
X
1
1
2
3
2
3
1
2
3
302
Qualsiasi siano i parametri
e
, l’
AREA
sottesa dall’intera curva è = 1
∞ ∫
∞
−
=
=
∞
−∞
1
dX
) X ( f ) , (
Area
L’area sottesa alla curva
normale rappresenta la
PROBABILITA’ degli intervalli!
- la porzione di curva delimitata dalla media
e un’ordinata espressa in termini dideviazioni standard è
costante
μ
σ
= 34.13%
della distribuzione
μ
σ
= 47.73%
della distribuzione
μ
σ
= 49.86%
della distribuzione
DISTRIBUZIONE NORMALE
308
- Per gli usi pratici della distribuzione normale si ricorre
alla
CURVA NORMALE STANDARDIZZATA
- l’equazione della curva dipende da un solo parametro,
zeta
; pertanto
I valori di questa distribuzione sono
tabulati
DISTRIBUZIONE NORMALE
STANDARDIZZATA
2
z
e
z
f
Y
Standardizzazione
X
X
X
z
310
In un un’unica tavola sono riportate le areedella curva in corrispondenza dei diversivalori di z
La tavola prende in considerazione la metàdestra della curva, quindi le aree compresetra la media (z=0) e qualunque valorepositivo di z>
Quindi per ogni valore x della variabile originaria esiste sullacurva normale un corrispondente valore di z; l’area al di là delvalore di z sulla curva normale corrisponde all’area che sitrova al di là del punteggio x nella distribuzione originaria
Y
Z
μμμμ
μμμμ
σσσσ
μμμμ
σσσσ
μμμμ
σσσσ μ
μμμ
σ σ
σ σ
μμμμ
σσσσ μ
μμμ
σσσσ
Y
μμμμ
σ σ
σ σ
μμμμ
=
σσσσ
=
X
standardizzata
curva
312
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
1.
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
0,
P(Z<1.85)=0,5+0,4678=0,
TAVOLE DELLA NORMALE
z
intero + Idecimale
II decimale
Riporta le aree(probabilità) comprese tra
μμμμ
=0 e
z
il valore di
z max è 2.
: si nota infatti
che ad esso corrisponde un valore dell’areapari a 0.999 circa
→
quasi tutta l’area (=1)
→
la tavola è esaustiva;
Osservazioni sulla lettura delle tavole
contiene solo valori di
z positivi
: per la
simmetria
della
f.d.
infatti
si
trovano
facilmente anche quelli negativi;
- si può leggere in 2 modi:
- diretto: dato z trovare la P(Z<z)- inverso: data la P(Z<z) trovare z
-z
0
+z
0
314
Z
Valore diz con la1° cifradecimale
2° cifra decimale di z
area tra 0 e
z
i
z
i
∫
=
i
z 0
i
dz
)
z
(
f
)
z
,
0
(
Area
Riporta le aree comprese tra
=0 e
z
.
P(Z<1.17)=
Sapendo che la variabile
“dominanza” si
distribuisce normalmente con media = 32 e
deviazione standard = 5, trovare, in un gruppo
di 80 soggetti, la proporzione di casi con
punteggio superiore a 35.
ESEMPIO DI USO DELLE TAVOLE
35
320
Si può anche porre il problema inverso:trovare il punteggio minimo che un soggetto
deve ottenere per non essere incluso nel30% dei più bassi
ESEMPIO DI USO DELLE TAVOLE 2
?
Primo passo:Trovo sulle tavole il valore di z
corrispondente ad un’area di .2000.
ESEMPIO DI USO DELLE TAVOLE
322
Secondo passo:Trasformo il valore z in punteggio X poiché
conosco media e deviazione standard delladistribuzione:
ESEMPIO DI USO DELLE TAVOLE
(
)
32
.
5
X
=
−
⋅
=
N.B.
Il valore di z è negativo perchè si trova
nella parte sinistra della distribuzione
Per non essere considerati nel peggiore
30% bisogna avere un punteggio di
almeno 29.
ESEMPIO DI USO DELLE TAVOLE
X =29.
324
Si supponga di avere una variabile X che abbia media 100 e
deviazione standard 15.
Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, qualepercentuale di casi dovrebbe avere valori compresi tra 70 e130?
Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115?
Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85?
Ammettete
che
la
variabile
X
venga
standardizzata
e
chiamata ZX. Qual è la media e la deviazione standard delladistribuzione di ZX? Rappresentarla graficamente.
Quale percentuale di casi vi attendete compresa tra –1 e +1?Tra 0 e 2? Meno di –2?
Esercizio svolto
1. Se X fosse distribuita esattamente come una gaussiana, quale
percentuale di casi deve avere valori compresi tra 70 e 130?
0
10
40
70
100
130
160
190
Si osservi che
70=100-2*15 e
130=100+2*15, in
una normale tra
μ
+/- 2
σ
ci stanno il
95% dei casi
Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che
70
100
130
100
70
130
2
2
15
15
P
x
P
z
P
z
−
−
<
<
=
<
<
=
−
<
<
(
)
(
)
P z
P z
Dalle tavole:
326
2. Quale percentuale di casi vi attendete non inferiore a 115?
Si osservi che
115=100+15, in una
normale tra
μ
+/-
σ
ci
stanno il 68%. Nelle due
cose x>115 e x<85 ci sta
il 32% dei casi. Per la
simmetria nella sola coda
di destra avremo il 32%
dei casi diviso 2, cioè il
16%
Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che
150 100
115
1
15
P x
P z
P z
−
=
=
1
1
P z
P z
=
< −
=
Dalle tavole:
0
10
45
80
115
150
185
3. Quale percentuale di casi vi attendete inferiore 85?
E’ la cosa
simmetrica a x>115,
e quindi la
probabilità è sempre
16%
Volendo effettuare la verifica con le tavole, bisognerebbe considerare che
85
100
85
1
15
P x
P
z
P z
−
<
=
<
=
< −
(
)
P z
Dalle tavole:
0
10
35
60
85
110
135
160
185
