Stima Puntuale lecture 8, Slide di Statistica

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ECONOMIC STATISTICS

8. STIMA PUNTUALE E PER INTERVALLO

Francesco Vidoli March 2024

University of Urbino ’Carlo Bo’

STIMA PUNTUALE

ESEMPIO

Bisogna quindi preparare un’analisi di mercato per capire su un campione di n soggetti la loro disponibilità all’acquisto Ogni persona intervistata quindi è rappresentabile da una variabile Bernoulliana Xi che potrà comprare (1) o meno (0) le scarpe Tre persone: x 1 = 1 (le compra), x 2 = 1 (le compra), x 3 = 0 (non le compra) Qual’è quindi lo stimatore migliore per la propensione all’acquisto della popolazione π? La media del nostro campione E ( X )

E ( X ) = num acquirenti num intervistati

ESEMPIO

Ambito Notazione Nel nostro esempio

Popolazione

Distribuzione di probabilità X Acquisto scarpe funzione con parametro incognito θ della predisposizione all’acquisto π p ( x ; θ) o f ( x ; θ) Parametro θ = π Campione X 1 , X 2 , X 3 Bernoulliane Campione osservato x 1 , x 2 , x 3 1,1, Stimatore Media campionaria E ( X ) (1+1+0)/ Stima puntuale t 0,

STIMA PUNTUALE E STIMATORE

Stimatore T = funzione della v.c. X (ad.es. Media) Stima puntuale t = l’effettivo valore delle realizzazioni x 1 , x 2 , ... xn sul campione osservato

STIMA PUNTUALE E STIMATORE

Obiettivo: ottenere attraverso un’opportuna funzione T delle osservazioni t ( x 1 , x 2 , ..., xn ) una stima di θ in modo che t sia la migliore approssimazione possibile del valore incognito della popolazione

• Stima puntuale (queste slides): calcolo della stima t attraverso lo stimatore T
• Stima per intervalli (queste slides): costruzione di un intervallo intorno a t , basato sulla variabilità di T al variare del campione, che con una probabilità nota contiene θ
• Verifica delle ipotesi (Lecture 9): uso di informazioni a priori su θ per definire un’ipotesi sul suo valore e verificarla sulla base di t (cioè del campione)

PROPRIETÀ DEGLI STIMATORI

Obiettivo: ottenere attraverso un’opportuna funzione T delle osservazioni t ( x 1 , x 2 , ..., xn ) una stima di θ in modo che t sia la migliore approssimazione possibile del valore incognito della popolazione Come scegliere T ?: Per valutare la “bontà” di uno stimatore T si può guardare alle sue proprietà:

• Proprietà per n finito:
  • Correttezza (non distorsione)
  • Efficienza
• Proprietà per n → ∞ (asintotiche):
  • Consistenza
  • Correttezza asintotica

PROPRIETÀ DEGLI STIMATORI

Obiettivo: ottenere attraverso un’opportuna funzione T delle osservazioni t ( x 1 , x 2 , ..., xn ) una stima di θ in modo che t sia la migliore approssimazione possibile del valore incognito della popolazione Come costruire T ?: attraverso diversi metodi di costruzione

• Massima verosimiglianza
• Minimi quadrati

Non approfondiremo questi aspetti tecnici

PROPRIETÀ DEGLI STIMATORI

Intuizione: Stima come tiro al bersaglio

PROPRIETÀ DEGLI STIMATORI

Intuizione: Stima come tiro al bersaglio

Reliable, Not Valid Both Reliable & Valid

Unreliable & Unvalid Unreliable, But Valid

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1. CORRETTEZZA

Lo stimatore T è uno stimatore corretto di θ se E ( T ) = θ ovvero se (Stima come tiro al bersaglio) “in media ci prendo”

T 1 (rosa) corretto, T 2 (nero) distorto ⇒ Distorsione: B ( T ) = E ( T ) − θ

2. EFFICIENZA

Lo stimatore T è uno stimatore efficiente di θ (rispetto ad un altro) se è minore la distanza tra E ( T ) e θ ovvero se (Stima come tiro al bersaglio) “in media sbaglio meno volte”

T 1 (rosa) più efficiente di T 2 (nero) ⇒ Anche se per entrambi E ( T 1 ) = E ( T 2 ) = θ (^14)

2. EFFICIENZA

Dati due stimatori corretti T 1 e T 2 , dato che MSE ( T ) = E [( T − θ)^2 ] = Var ( T ) + B ( T )^2 e quindi B ( T ) = 0

⇒ T 1 è più efficiente di T 2 se e solo se Var ( T 1 ) < Var ( T 2 ) per tutti i valori possibili di θ = l’efficienza si misura con la varianza (misura relativa)

3. CONSISTENZA

Proprietà asintotiche (per n → ∞): uno stimatore è consistente se la sua precisione aumenta all’aumentare della numerosità campionaria Formalmente uno stimatore Tn (dove pedice n indica che T varia al variare di n ) è consistente se il suo errore quadratico medio tende a zero se n → ∞

n^ lim→∞ MSE ( Tn ) =^ n lim→∞ E ( Tn^ −^ θ)^2 =^0 ovvero se sia la distorsione (correttezza) che la varianza (efficienza) tendono a zero al crescere di n