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STIMA PUNTUALE
1. Supponiamo che la media incognita di una popolazione
sia pari a Q=100. Tre stimatori A, B e C con i quali si
vuole stimare Q presentano le seguenti distribuzioni:
A P(A) B P(B) C P(C)
a) Valutare la correttezza dei tre stimatori.
b) Scegliere, tra gli stimatori corretti, il più efficiente.
a)
Definizione: Uno stimatore Tn si dice corretto (o non distorto) se
il suo valore atteso coincide con il parametro oggetto di stima:
E (T n) =θ
E(A) = 95 ⋅(0,10)+ 100 ⋅(0,8)+ 105 ⋅(0,10)= 100 = Q
E(B) = 96 ⋅(0,25)+ 97 ⋅(0.25)+ 98 ⋅(0,25)+ 99 ⋅(0,25)=97,5≠ Q
E(C) = 98 ⋅(0,1)+ 99 ⋅(0.4)+ 101 ⋅(0,4)+ 102 ⋅(0,1)= 100 = Q
A e C sono stimatori corretti, B è distorto.
b)
Definizione: Uno stimatore corretto (^) 1 Tn è più efficiente di un
secondo stimatore corretto (^) 2 Tn se la sua varianza è più piccola:
Var ( 1 T n)
{ ( ) ( ) ( )} { }
2 2
2 2 2 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 1
Var X 4 VarX 4 Var X 25
Var X Var 2 X Var 2 X 25
VarX 2 X 2 X 25
X 2 X 2 X
VarT Var
= ⋅ σ = σ
= + + = σ + σ + σ =
{ ( ) ( ) ( )} {^ }
2 2
2 2 2 1 2 3
1 2 3
1 2 3
1 2 3 2
VarX 4 Var X VarX 16
VarX Var 2 X VarX 16
VarX 2 X X 16
X 2 X X
VarT Var
= ⋅ σ = σ
= + + = σ + σ +σ =
Var ( T 1 ) < Var(T 2 ): T 1 è più efficiente di T 2
è preferibile T 1
3. Da una popolazione X di media μμμμ e varianza
2
σσσσ entrambe
ignote si estrae con reinserimento un campione di n=
unità che fornisce i seguenti risultati:
CLASSI 1,8-2,2 2,2-2,4 2,4-2,6 2,6-3,
FREQUENZE 2 3 3 2
Fornire una stima corretta:
a) della media μμμμ della popolazione
b) della varianza
2
σσ σσ della popolazione
Uno stimatore corretto della media μ della popolazione è:
=
n
i 1
Xi n
X Stimatore media campionaria
Infatti:
( ) ( ) =μ
μ = = μ=
= = =
n
i 1
n
i 1
i
n
i 1
i n
n
n
EX
n
X
n
EX E
Uno stimatore corretto della media
2 σ della popolazione è:
∑^ (^ )
n
i 1
2 i
2 X X n 1
S Stimatore varianza campionaria
corretta
Infatti:
( )
2 2 E S =σ
Pertanto, sulla base del campione estratto, si ha:
CLASSI Valore centrale
(xi)
Frequenze
ni
( xi −x)
4. Da un lotto di arance se ne estraggono 400, e di queste 180
risultano avere un peso superiore a 150 grammi.
a) Stimare la percentuale di arance nel lotto con peso
superiore a 150 grammi;
b) indicare quale dovrebbe essere la numerosità
campionaria minima affinché lo scarto quadratico
medio dello stimatore utilizzato sia inferiore a 0.01;
c) calcolare la probabilità che la differenza tra lo
stimatore e la vera proporzione sia superiore a 0.
(5%).
n=400 di cui 180 con peso maggiore di 150gr
a) 0 , 45
400
pˆ^ = =
b) SQM (P^ ˆ)^ ≤ 0 , 01 ossia (^ )^ (^ )
2 Var Pˆ ≤ 0 , 01
ATTENZIONE:
X={v.c. che conta le arance con peso >150 gr nel campione}
X~Bin(n,p)
E ( X) =np
Var ( X) =npq
n
X
Pˆ^ = dove Pˆ^ = {Proporzione di arance con peso>150gr nel
campione}
( ) ( ) n
pq
n
npq Var X
n
n
X
Var Pˆ Var 2 2
( ) ( ) p n
np EX n
n
X
E Pˆ E = = =
Lo stimatore utilizzato è lo stimatore proporzione campionaria:
n
X
Pˆ^ =
( ) ( )
2 0 , 01 n
pq Var Pˆ = ≤
Sostituiamo p con la sua stima:
pˆ = 0 , 45
qˆ = 0 , 55
2 0 , 01 n
n
pq ≤
n 2
n ≥ 2475
c) p 0 , 05?
n
X
P =
ATTENZIONE:
X~Bin(n,p)
La variabile casuale proporzione campionaria, in virtù del
Teorema del Limite Centrale, per n grande, ha distribuzione che si
approssima a quella di una variabile casuale Normale.
− > p 0 , 05 n
X
p 0 , 05 1 P n
X
P =
n
X p 1 P 0 , 05
5. Si vuole stimare la percentuale di pezzi difettosi prodotti da
un impianto.
a) Determinare il numero di pezzi da estrarre affinché
la varianza dello stimatore della proporzione
incognita sia inferiore a 0.02. Come cambierebbe tale
numero se la si volesse inferiore a 0.01?
b) Determinare la numerosità del campione affinché la
probabilità di avere un errore di stima inferiore a
0.01 sia almeno del 90%.
a) Voglio stimare p: utilizzo lo stimatore
n
X
Pˆ^ =
Voglio che 0 , 02
n
pq <
Non conosco p, mi pongo nella situazione più sfavorevole:
p = 0,5 = q
n
n =
n ≥ 13
Se voglio che 0 , 01
n
pq <
n
n =
n > 25
b) p 0 , 01 0 , 90
n
X
P ≥
n =?
p 0 , 01 0 , 90 n
X
P 0 , 01 ≥
n
pq
n
pq
p n
X
n
pq
P ≥
0 , 01 n Z 0 , 5 0 , 5
0 , 01 n P ≥
-z* z*
P { − z*
b) ( )
n
pq SQM Pˆ =
n
pq <
n
n 2
Bisognerebbe aggiungere almeno 200 unità.
7. Le altezze degli studenti maschi di una scuola sono
distribuite normalmente con media μμμμ = 178 cm e s.q.m.
σσσσ = 15 cm. Si calcoli:
a) la probabilità che uno studente sia più alto di 182
cm;
b) la probabilità che un campione di 15 studenti,
estratto con riposizione da tale popolazione, abbia
altezza media superiore a 179 cm.
a) X~ (^ )
2 N 178 , 15
P Z 0 , 27 1 PZ 0 , 27
PX 182 P Z
b) Per n=15 la variabile casuale media campionaria ha la
seguente distribuzione: X ~
N 178 ,
2
( )
1 PZ 0 , 26
PX 179 P Z
