Scarica TEORIA COMPLETA ESAME STATISTICA e più Sbobinature in PDF di Statistica solo su Docsity!
DEFINIZIONI STATISTICA TEORIA
STATISTICA DESCRITTIVA: ha lo scopo di raccogliere ed elaborare i dati per
descrivere fenomeni collettivi o di massa
UNITA’ STATISTICA: è l’entità che possiede il dato e sulla quale andiamo a rilevare
il fenomeno oggetto di studio
COLLETTIVO STATISTICO: l’insieme delle unità statistiche
CARATTERE: è il dato che si vuole rilevare sulle unità statistiche
MODALITA’: sono le manifestazioni del carattere--à MODALITA’ DEL
CARATTERE: sono quei attributi, numeri, attraverso il quale il carattere si manifesta
CARATTERE QUANTITATIVI: (numeri), si distinguono in continui , frutti di una
misurazione [infinite modalità], discreti , frutti di un conteggio [numero finito di
modalità.
CARATTERE QUALITATIVI: (parole, attributi, termini), si distinguono in
ordinabili , quando esiste un ordine fra le modalità, sconnessi , in cui le modalità non
hanno nessun ordine.
POPOLAZIONE STATISTICA: l’insieme di tutte le unità statistiche
CAMPIONE: una parte della popolazione, un numero limitato di unità
CENSIMENTO: un’indagine su tutta la popolazione
INDAGINE CAMPIONARIA: un’indagine su una piccola parte della popolazione
PIANO DEGLI ESPERIMENTI: sono indagini campionarie
FREQUENZE
Se i dati statistici esprimono il n° di volte in cui il fenomeno si è verificato
in relazione ad un determinato periodo di tempo, assumono la natura di
frequenza.
1. FREQUENZA ASSOLUTA (ni)= il n° di volte che una data modalità
si presenta nel collettivo statistico.
2. FREQUENZA RELATIVA (fi)= sono dei rapporti di composizione
che consentono una valutazione rapida del “peso” dell’importanza,
della singola modalità nell’ambito della distribuzione di frequenza.
åmoduzo
V
fi
3. FREQUENZA CUMULATA (Ni)= hanno un significato appatto che
ci sia un ordine nelle modalità. Sono le freq. assolute degli individui
che presentano una modalità del carattere inferiore o uguale alla
modalità che si sta trattando.
4. FREQUENZA CUMULATA RELATIVA (Fi)= sono le freq. relative
degli individui che presentano una modalità del carattere inferiore o
uguale alla modalità che si sta trattando.
5. DISTRIBUZIONE PER CLASSI: si può raggruppare in classi
quando il carattere è quantitativo discreto con numerose modalità o
caratteri quantitativi continui
6. DENSITA’ DI FREQUENZA (Hi)= sono calcolabili solo ed
esclusivamente per quei caratteri le cui modalità sono raggruppate in
classi. Indica il peso effettivo che hanno le singole modalità
all’interno della classe
7. DENSITA’ DI FREQUENZA RELATIVE (hi)= sono le frequenze
assolute/ampiezza della classe
μ
He
:
EEE.EE?ssiFehi--&:%cE-ss=Ea
2 º
MODULO
MISURE
DI CENTRALITÀ ✓
L'
elenco delle
modalità rilevate
sulle unità se
ordinano
in senso crescente . RANGO → indica
il
posto
che nella
graduatoria
ordinata
è occupato
da
una certa modalità . MEDIANA → è
quel
valore di centralità
valore intermedio
. non
inferiore
al
delle modalità
e non superiore al restante 50%
delle
modalità medesime
.
n .
numero di unità del collettivo Se n pare → è uguale alla semi somma delle due modalità di rango : ze E
Se n de spore → è l' unica
modalità
di rango :
→ Il valore della
Mediana
depende
solo da
quello
delle unità centrale .
..
" " " DIMOSTRAZIONE a FS - la MEDIANA
corrisponde
alla
freq . con ieel ,
uguale
o
immediatamente
e superiore a
calcolo mediano nelle
distribuzioni
per
classe
-g_ E I
_
estremo
inferiore
di modalità
. Es .
. estremo
superiore Fli freq . com .
rel della classe
precedente a
quella
mediana FS.
freq
. com.
Tel
della classe mediana
i È | Ò . 5 es > Ti AB : BD = Ac : ce → AB
BD
Age ↓ ¥
AB
_ Ne
Aci
es
ed Me
e i -10,
Fi ) . § Me = ei + (
Fi) . (es BD= ( 0,
Fi)
ce (FS
Fi
( FS
Fi )
PECULARIETÀ
DELLA MEDIANA
Il valore dello re
dipende
solo da
quelle
delle
unità centrale
Siano
% , &. . . . . yn
le
modalità ordinate e ( y ,
Me
ya
Me)
yn
Me )
gli
scarti o scostamenti dalla mediana . I & I i " E.lyi.me/-lyi- Allora È Iyi
= minimo cioè , per C
qualsiasi
se ha sempre
la
sommatoria
degli scarti in
valore
assoluto è un minimo , rispetto alla somma degli scarti
considerati
in
valore assolto
da
una qualsiasi
costante C
→
Dimostrazione
Consideriamo Yee Yn . Affinché C Merumeci
y ,
CI + I yn
c) (
la somma
degli
scarti in
valore assoluto
) deve essere y« « yn ( interno all' intervallo
Infatti
Se % « < yn segue
che
:
yé CI +
yn
c / = ¢ 41
Yn
È yn
Ye
Se ce %. < yn segue
che
: sostituendo C con y , avremo :
la
CI
yn
CI
_
Yi
c + Yn
È >
YnÈ Yn
Ye
Se yea yn < C segue
che
: sostituendo c con yn avremo : / YI
CI +
yn
- CI
= c- yntc - >
È
Yet k¥-
Ye
La somma degli
scarti in
valore
assoluto è minima
quando
c è interna all'intervallo .
PROPRIETÀ DEWA MEDIANA →
ha
la
proprietà di nnmmiezarelasommadeglscartidallamedeanainval reassolF
ALTRI
INDICI Di posizione
QUARTI
LI
✓ I Quarti le = Q .
quel
valore tale che il sesto
delle unità statistiche hanno
una modalità ≤ e
il
restante
≥
Qe
I
Quarti
le
Me
☐
quel
valore tale che il
50%
delle unità statistiche hanno
una modalità ≤ Qa e il
restante
50%
≥
Qa
Quarti le = Qs →
quel
valore tale che
il
7590 delle unità
statistiche hanno
una modalità
≤ Qs
e il restante
25%
≥ Q
% T.EE/=ET-E = la 1 º freq
. com.
nel immediatamente ≥ 0.
Qz.
. la 1 º
freq
. com.
nel immediatamente ≥ 0.
Qs :
la 1 º freq . com. nel immediatamente ≥ 0.
E ' in classe = E le
es ,
E le
. 0,
FI , FSàF è uguale
alle
freq .
relativa
della classe
Me = ei
0,
FI )
.
es
E I )
FS
Fi )
Qs
= E i >
( es ; e
FI , FS ; F Is
PERCENTILE
☐ la generalizzazione del concetto di quarti le a qualsiasi
percentuale
definisce
il
percentile . è quel valore tale l' ✗ % delle unità delcollettivo
hanno
una modalità ≤
E
e
lo (
e
× )
hanno invece
modalità
≥ E EX . È = E i
es
ed
0,
FI FS
FI
Moda (
Md )
= è
la
modalità che presenta
la
frequenza più
alta
CLASSE MODALE :
nella distribuzione divisa
in classe , se può individuare
quella
cui
compete
la frequenza
maggiore
.
DISTRIBUZIONE UNIMODALE / PLURIMODALE = Se la distribuzione è
rappresentata
da una curva di frequenze , la moda si identifica con
il
massimo di
tale
curva . Se
la
curva ha 1 MASSIMO = DISTRIBUZIONE UNITODALE , 1- 1- MASSIMO i DISTRIBUZIONE PLURI MODALE
MEDIA ARITMETICA indice di posizione
centrale che
depende
da
tutte
le modalità
è sensibile ai valori estremi
anomale E Si ottiene sommando
tutte le modalità
rilevate dividendo per
il
numero
totale delle modalità
Nella distribuzione di frequenza : → Media ponderata ↓
con le freq
. assolute M
_ LE
✗ i ◦ Mi
con
le
freq .
relative =D M
= E le ◦ fa ( nel caso in cui ne sono
ignote
)
Nella distribuzione di frequenza per classe
di modalità
→ M.
. & E
vini ,
M
= E il • &
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
=D Se un
collettivo di
n
unità
viene suddiviso in tl gruppi , ciascuno
contiene
nì unità G- -1, .
...
, H
, allora la Medea
aritmetica delle medie delle modalità de
ciascun gruppo , che indichiamo
con Mi
i
-1. .
...
. H ) ponderata con le ni è pari alla
media aritmetica M
calcolata su tutte le modalità del collettivo . =D
M
=L ÈÉ Mi
Mi ✓
MEDIA GEOMETRICA =D In alcune cose
la
media aritmetica non è idonea per sapere
l'
accrescimento o
il decremento di
un
fenomeno,
quello
più .
adatto
è
la media
geometrica
purché le
modalità
siano tutte
positive
e non
nulle
SERIE STORICA →
carattere le cui
manifestazioni vengono rilevate al
variare del
tempo
.
Posso
descrivere
com' è cambiato al dato nel tempo
(E)
gode della seguente proprietà = quel
valore che sostituito
a tutte
le modalità ne
lascia invariato il prodotto ✗ i
Xa .
... -
Xn = G. G .
....
G = EX
. *
si sottrae 1 perché indica , nessuna variazione t ✗ AI % (NI
100 NI = numero indice = il
rapporto
tra il dato ad un certo istante e il dato all'istante
precedente
1 X ,
%
Variazioni
percentuali
periodiche
NI E)
100 2 Xa EH
✗
ake
100 Dc
= Variazione
complessiva
= (
,
100 → considerare il
periodo
dal 1° istante d' osservazione f- 1 xt- xt
NE
È
-1ha
◦ 100
all' ultimo t è xtxt
At
◦ 100 Le consideriamo la Variazione complessiva come esito delle \ e ' , i i. ' : singole variazioni
periodo
dopo periodo abbiamo :
: : i #= ¥
... - - - - ¥
XT ✗ the
1-
✗
txt
e)
100
Xe XÈ
÷ ' le dobbiamo può essere ottenuto facendo il prodotto di tutti i n° inde a
confrontare
con 1 = 1 nessuna variazione senza
tener conto di
una variazione diversa periodo dopo periodo , ma una variazione > 1- variazione crescita costante uguale periodo dopo periodo , che però mi assicuri la stessa variazione
complessiva
< 1- decremento avremo : MEDIA GEOMETRICA =D
Mg
.
Mg
Mg
↓ ≤ è tale che , moltiplicata mi restituisce il
rapporto
tra il dato Per vedere come un
dato al
primo istante e l'
ultimo istante
, ovvero quello che me . si evolve nel
tempo
determina la variazione
complessiva
Descriviamo l' evoluzione del
fenomeno
nel tempo
...
NÉ
¥ , Ms fÈ -1% periodiche
...
Istante per
istante
Dc % →...
complessivamente
Dn %
☐
.. . mediamente
M
= Variazione media = (
Ng
100 ↓
descriviamo l'
evoluzione
del fenomeno nel tempo mediamente
Dopo aver studiato i valori medi, i quali sintetizzano l’insieme dei dati osservati in un unico valore numerico, è necessario affiancare altri indice
che possono fornire informazioni sulla dispersione, cioè l’ attitudine di un carattere a presentarsi con modalità differenziate. Queste misure di dispersione: assumano valore zero solo se è nulla la variabilità (tutti i valori osservati risultano uguali tra loro), all’aumentare della variabilità tali indici assumeranno valori sempre maggiori; tanto minore è la distanza delle osservazioni dal centro tanto maggiore sarà la rappresentatività e l’affidabilità del valore medio e infine permette di fare un confronto fra le distribuzioni. Dipende fortemente dagli eventuali valori abnormi, l’unità di misura è espressa al quadrato rispetto a quella dei dati ed è una misura assoluta di variabilità (non permette di fare confronti). Per risolvere questi difetti, ci sono le alternative:
3 º
MODULO DISPERSIONE O VARIABILITÀ
✓
MISURE DI DISPERSIONE
CAMPO DI VARIAZIONE =D differenza tra
il
valore massimo e il valore minimo dei dati rilevati ↓ È =D a me
rappresenta
l' intervallo del 100% da dati
osservate
misura grossolana =
yn
ya
DISTANZA INTERQUARTILICA =D differenza tra il IIQuartile e il Ì Quarti le ↓ ¥ =D e me rappresenta
l' intervallo centrale
,
nel
quale
cade il 50% delle modalità eileoate . misura più raffinata
D. I
= Qs
Qe
VARIANZA
la media
degli
scarti al
quadrato
dalla
media
della distribuzione
→
la
Variabilità è nulla solo
se tutti i valori osservati
risultano
uguali tra loro
v (e) =
fÈM⊖ → distribuzione unitaria momento premo ≥ momento secondo me dà aritmetica la media delle xi
✓ (e)
=L
È , × ? ne
ti
→ distribuzione
di
frequenze ✓
(e)
= In È , Cf . ne
distribuzione per classe
Difetti DELLA VARIANZA ( la Varianza se misura nel
quadrato
dell' unità di misura delle
modalità)
SCARTO QUADRATICO MEDIO SQM
= TV
( è espresso nella stessa unità di misura da dati ) ci dice di
quanto
in media ogni valore si discosta dalla Media
COEFFICIENTE di VARIAZIONE → CV = 501 → è ADIMENSIONALE ( comparare
la
variabilità in distribuzioni diverse oppure
collettivi
diverse
M
SCARTO SEMPLICE MEDIANO → SSM e i ÈÉ lken-Me-l.in i g. → ci
dice di
quanto mediamente i dati si discostano
dalla
mediana
SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO → SM = È . 1%
hi
D ci
dice di
quanto mediamente i dati si discostano dalla Medea
Ste
= ÈÉ lcin-Me-l.ru SM
È
. kin-M-l.ru
.
TRASFORMAZIONI LINEARI
Siano
le
✗ e
le
modalità diverse del carattere ✗ con frequenze ni per ( i = 1 .
.. _
, K
; se ( costruiamo una nuova variabile E) ←
TRASLAZIONE
Élite
→ costante (
perché
non è indicizzata da ie quindi assume sempre lo stesso valore
avremo :
DIMOSTRAZIONE PER REDIA
A COSA È UGUALE LA MEDIA Di =L in funzione
della
media di
× ? ) K
MI
M
(E)
È . Ei . Mi =
I
È , ti+
c)
ni sommatoria di una somma algebrica = somma algebrica
delle
una
sommatoria
E-pEerata-ama-T.co
no ↓ 1 ÈI .
✗ e
ne
+ Coni )
uguale
Xi
- C e- delle z , ↓ è una costante
può
essere scritta fuori il
segno
06 sommatoria
=L
( Èixini
E
Éeni ) = Ndo
≤
↓ NÈ = n .
perché
la MG
.
NG
) + c
somma delle
frequenze
= h
1-n-c.tk
E
avremo
quindi
:
✓
ftp.MK
=D
Dimostrazione M¥ 0
Media
TÈ¥jm¥
nella
trasformazione
lineare
M
(e) = attore
)
segno opposto
DIMOSTRAZIONE VARIANZA
nella
trasformazione
lineare
☐
"
=
fai
?
✓ (e)
= 1
K¥
.
. batte)
- DISTRIBUZIONI SIMMETRICHE
=D
Sono
distribuzioni simmetriche
perché
individuiamo
un asse
di
simmetria tale
che l'
immagine
a
dx
è
speculare
di
quella
a sx
DI SIMMETRIA
=D Siano le ×
,
le
modalità
diverse
lqui
spaziale
del carattere ✗ (o se
la distribuzione
è
divisa
in
classe ed esse siano
di
uguale
È
frequenze
nn
per
(
i =
1
,
...
K) allora :
D
-Ì
per
1=
,
...
,
K
"
la
[email protected]
M = Me
=
Md
±
media on
Étienne
Inada
DISTRIBUZIONE
UNI MODALE ASIMMETRICA
A volte nell’elenco delle modalità rilevate, abbiamo n coppie, la prima che rappresenta un carattere e la seconda un altro carattere e
riassumiamo il tutto in una tabella a doppia entrata.
Possono essere caratteri quantitativi e qualitativi.
4 º
MODULO •
DstRBUZ0NiBWARA
✓
:
Ho
→
All' interno della
Tabella
troviamo le
Frequenze congiunte
&
✗
eh
; Lys
=
&
(Xi ;
_
his
÷
E
nej :(
i.
1
.
...
,
r
;
g-
=
1
.
...
.
s)
"
ha
.
noi
All'
esterno della
Tabella troviamo
le
Frequenze
Marginali
totale delle
frequenze
)
S
fr
X
_
✗
e)
=
file
= Mi
. È
na
È
1
.
...
.
»
41
E
fr
( 7-
g)
fr
(%-)
= n.
Idem
,
G-
=
1
.
.. - is)
Y )
e ≥ ≥
e
TOTALE COMPLESSIVO DELLE FREQUENZE
→
N
=
hij
=
È
n°
=
&
,
Me
.
I
◦
Se
dividiamo
per
il totale delle
frequenze
otteniamo
le
freq
.
relative
...
Freq
.
relative
congiunte
:
@
i. b)
=
Mij
=
gli ]
(
e
E
.. -
it
;
.. .
.
,
s
Freq
.
relative
marginali
:
f
✗
e)
=
ng
=
gli
i.
1
.
..
.ie
8-
=
nj-if.sk
.
±...
.
s)
r S
NATURALMENTE
→
È
È flxe
, yo
= 1 →
la
somma
delle
freq
.
relative
congiunte
= 1
S
"
§,
f-(a)
= 1
→
freq
. relative
ftp..it marginali
;
r r
r
→
MK
)
=L È
tini .
_
È!
8-
gqaq.gg
,
VALORI MK) -
£ È
ni
.
= =
È [
"
È
)
}
freq
.
relax ,
S S
centra
ma
.
£ :[
vc.n.ge
È.tk
È
M
y)
=L
È,
Yin
.
g-
=
È
.
4-
varianze MARGINALI
✓G)
=L ÈIKIMKI
]
ni
.
=
È
≥
È
Mk)
]}
"
}
freq
.
relative
✓ (4)
=L
È
,
[ys.MN?n.,-
=
È .
È
MINÀ
.
]
r
'
G)
=L
È
,
[ci
ni
.
MKT
]
=
È
.
[
ci
.fi
.
MKÌ
)
VALORICEILAKLVH-1.EE
.
n.s.MN
÷
:[
ci
:&, .mg
≥
}
}
"
?
"
Se X è indipendente da Y allora tutte le distribuzioni di X condizionate ad Y sono uguali tra loro ed uguali alla distribuzione marginale relativa
di X, ma ciò implica anche che tutte le distribuzioni di Y condizionate ad X siamo uguali tra loro ed uguali alla distribuzione marginale di Y e quindi che Y sia indipendente da X. Pertanto, condizione necessaria e sufficiente affinché X ed Y siano indipendenti è che:
✓ {
= ?
...
. e)
CONDIZIONE D' INDIPENDENZA
È=M•n! G- = 1 .
..
. .
s)
↓
Se
nisi
Me .
n°
}
i caratteri sono statisticamente
dipendente
. Per verificare se esiste dipendenza
tra i
2 carattere
FREQUENZE
CONGIUNTE D' INDIPENDENZA =D N' È = m.Y
CONTINGENZE =D
Cig
= Me ]
Nis
frequenze congiunte
frequenze congiunte d' indipendenza
INDICE CHI
QUADRO
DI PEARSON
→ valutare il grado della dipendenza
×?
È È
ciè
dove → 4s =
neo
n' y
☐ M' ij = Me . . no J i.
N' ij n
Proprietà di
X
☐ per cui non ada l' idea dell'odine di
grandezza
X è una misura assoluta di dipendenze per ✗ ed
carattere quantitativi ex qualitativi) ed
il
suo calcolo non se
basa
ne sulle modalità di ✗ ne so quello di Y .
Se ✗ e Y sono INDIPENDENTI allora ✗ 2= Se ✗ e Y NON sono INDIPENDENTI × ≥ > 0 , ed è .
Tanto
più grande quanto più
le
nej se differenziano
dalle
Nes
DIMOSTRAZIONE ALTERNATIVA r s ÈÈ ✗ ≤ ÈE È , nè = È È÷m → " scendo Guadato
2 S Tolgo = ÈE È ( nè -20min: >
n'
È
) la sommatoria di una somma
algebrica
= somma
algebrica
delle sommatoria
E
nega { ostante ' [ neri
È [ n' È = È ¥ 1 Mio → È
i. 15= ¥ = È [ ' MI iii. n' →
ÈÌÈ
.ms
ÈÌÈ , n' es = → freq . d' indipendenza = n ↓
freq . congiunte la somma delle
frequenze
= n È È È = i. 1 Meg -2M + n = È È NÉ. ti 1 je È
N
oppure
: È [ ' MI
n ✗ % € 1 Me .
Mi =D
conoscere la
modalità di
un
carattere
a
indica immediatamente
qual'
è la modalità
dell'
altro
MASSIMA DIPENDENZA
la
dipendenza è massima se
per
ogni
colonna
e per ogni
ago
non più di una frequenza congiunta
è diversa da zero
◦ È punto di vista
grafico
INDICE RELATIVO DI DIPENDENZA
DI CRAMER :
41
Yz 43
È = ✗
2 ✗ E MI 0
@
È
con ◦ ≤ « ≤ 1- Max ✗ 2
[
T
n ] = 1 MASSIMA DIPENDENZA , perchè Hogg unge il suo mal Xz 0
ha
0 % 4 Quadro
dimensione tabella
= 0
quando ✗ 2= ) c'È INDIPENDENZA ,
le
G. ,
sono nulle
0
ns
} ↓ {
F-
m' ntas }
perchè
sono
date
.fr?s--ni,--- se ✗ 3
valutare il
grado
della c' è
indipendenza queste
freq . ↓
ne
dipendenza
. sono
uguali
. quindi
le
differenze
_
O il ×
è nullo
Scelta un' unità
a caso tra
queste n , osservando la y
sappiamo
che ✗ sarà
per forza te , perché non ci sono
unità
per cui la Ye è congiuntamente osservata con ≤ e × } ,
l'
unica coppia
che si
osserva è Xie NON C' È DIPENDENZA
L'
INDIPENDENZA è PIÙ FORTE DELLA
fNCORRELAZONE-t.LI
NEARE
Se i due caratteri quantitativi risultano dipendenti, possiamo ipotizzare che essi sono legati da una relazione lineare, cioè
Se X ed Y sono concordi sono prevalenti i punti che cadono nel II° e III° quadrante, a tali punti corrispondono scarti di X e di Y che hanno,
rispettivamente, lo stesso segno e che producono prodotti di scarti positivi. Covarianza-> essendo pari alla media dei prodotti degli scarti,
sarà POSITIVA.
Se X ed Y sono discordi, i punti del diagramma scatter cadranno nel I° e IV° quadrante, quindi corrispondono scarti di X e di Y che hanno
segno opposto, producendo pertanto prodotti di scarti negativi. Covarianza-> sarà NEGATIVA.
✓
MISURE
DI
DIPENDENZA LINEARE
O EORRELA
ZIONE
S0%coppeedcoratrQUANTHN
g.
perchè
una
retta
la
possiamo
disegnare
soltanto
se
✗
e Y sono
numeri
y
= a
bx
Ì
"
coefficiente angolare
= a
dice
la
pendenza
della retta e se
la retta è crescente
o
decrescente
intercetta -
.
ci
dice
cosa
accade ad
y , quando
la ✗
è nulla
Per
verificare
questa ipotesi.
misureremo
la
strettezza della
dipendenza
lineare
,
ovvero
,
misurando
il
grado
di correlazione
tra ✗ e Y
mettiamo le
coppie
( li
,
y
sul
per
notare il
tipo
di relazione
g
↓
NUVOLA DEI PUNTI
☐
TREND LINEARE
(
al crescere
di
una variabile
cresce
anche
l'altro
,
ma
deve
crescere in un
modo
che
sia
rappresentabile
attraverso una retta
)
o
la retta a serve
a
fare
Previsione e
Controllo
7
\
MISURE DI strettezza DELLA
RELAZIONE LINEARE
O DI
CORRELAZIONE
TRA ✗
e Y
È
COVARIANZA
→
è la media dei
prodotti degli
scarti dalle
rispettive
medie di ✗ e
7
:
↓
[email protected] _-EEE.Y.tQ
di correlazione
S
non a
de l'idea dell'ordine di
grandezza
COVARIANZA
POSITIVA
00
Ì QUADRANTE
E
°
QUADRANTE
NEGATIVO
POSITIVO
COVARIANZA NEGATIVA
°
QUADRANTE
N°
QUADRANTE
POSITIVO
NEGATIVO
La COVARIANZA è una misura della correlazione o strettezza della relazione lineare tra X ed Y perché se non c’è correlazione (ovvero, sono
perfettamente indipendenti) la COVARIANZA è nulla [COV(X,Y)=0];
Se la correlazione è massima, tra X ed Y c’è una perfetta relazione lineare (sono dipendenti) [Y=a+bx], allora la COVARIANZA è massima in
valore assoluto (| maxCov(X,Y)|=
CHE VALORI PUÒ ASSUMERE
LA COVARIANZA
?
Consegue
che :
La covarianza
può
assumere
tutti
i
possibili
valori
,
nVHVLYIE.GOV/X,Y)--Vk)V#
→
la
COV
può
assumere
valore
comprese
solo
comprese
tra
Taja
FÉ
colui ≤ ÈH
SQMK
.
e) ≤ Cork
.
≤
SQMK.ee)
✓
IN
sintesi
V
) V
) )
DELLA COVARIANZA
DIMOSTRAZCONECOVK.Y.LI
È
,
[
×
.
]
[
yi
MIA
}
=
In
ÌÉ
,
[ Kyi
KEH
Yi
Mk
)
}
→
sommatoria di
una somma
algebrica
= somma
algebrica
delle sommatoria
ostante che
¥
Istante
.
che sommate n
volte
rivolte la
costante medesime
non
dipende
dai
n
=
In
[
È
✗
i Yi
Èexi
MKIÈ
,
yi
a
MIYIMKI
È
n
Y-Mthadx-redeadiy~fi-n.fi?zxeyi-MlYIM(x)-M&x
) +
MYKA
da cui
COVK.net?Exeyi-MklMlQ
%
④
ENTO PRIMO MISTO
- Prodotto DEI MOMENTI PRIMI
→
Se
y
,
=
le
→
la COV= Vale cento
Se
i dati
sono
organizzati
in una
tabella a
doppia
entrata avremo
:
COVEY
=
£ È
,
È
,
xiyjne,
MANLY)
↓
distribuzioni
per
classi
,
valore
cqtral.nu
]
INDICE RELATIVO
DI
DIPENDENZA LINEARE
O CORRELAZIONE
8 ª
tendenza
lineare
)
☐ r
" "
| maca
_ rHY
COV
(
×
,
Y
=
COVE
.
Y
μ,
, μ,
[email protected]
Bravas
. persone
.
.de#aoaaueee.aaaanma.a
differenza
di
quest'
Éa
"
"
7 (
×
,
Y
è una misura
relativa di correlazione
Dimostrazioni
gm
,
gg
,
,
game
gg
,
gag
, away,
@ , penne ,
TÈ
Cokie) ≤ ÈH
VKI V )
TVKIVIYT
TVÉTY
)
QUINDI
↓
verso
1
. > È
ÈENe
_ 1 ≤r
verso
7=0 INCORRELAZONE .
allora →
→ COVK
,
= 0
→ 2=
ÈQ7-
→
c'è
dipendenza
C' è in correlazione ma
può
esserci
dipendenza
,
diversa
da
quella
lineare
→
2=0,
CIO
se
c' è
indipendenza ,
allora c' è
[
"
"
"
"
"
"
"""
" "" " " "
" " " °
"
\
.
i.
:
"
"
.
,
:*:
Illazione
lineare
i
punti
stanno È
E- 1-
Fece
retta
Dopo aver verificato la dipendenza tra i caratteri quantitativi X e Y, determiniamo il legame di dipendenza tra X e Y
Le motivazioni che spingono alla ricerca di f sono :
PREVISIONE:
CONTROLLO:
Nella PREVISIONE ho un nuovo valore di X e voglio prevedere qual’è il corrispondente valore di Y.
Nel CONTROLLO mi chiedo, che valore devo dare alla X per ottenere un desiderato valore di Y
6 º
MODULO
LA
REGRESSIONE
✓
cioè :
f-
×)
nella
fase
di raccolta dei valori
osservati di ✗
✗
e. E ,
.
. .
,
✗
n
) sono
stati
rilevati
quelli
di Y
ya , ya ,
...
, yn)
.
Se
si osserva un nuovo
valore di
✗
;
✗
me
, possiamo prevedere
l'
ignoto
valore di Y con
yh+
=
flint
↓
per fare
la
previsione
,
devo conoscere
&
,
ovvero
la
relazione
tra
e
Y
.
dopo
aver
determinato
la
funzione
Y
=p
G)
ora
bisogna
individuare
quale
valore
incognito
l'
operatore
deve
dare alla ✗
per
ottenere un
desiderato valore
yo
della X
.
che
è
→
✗
◦
=
f-
1-
yo
) ,
cioè
quel
valore
di ✗
tale
che
flxd
=
yo
IN SINTESI
MODELLO
DI RELAZIONE PIÙ SEMPLICE
:
→
MODELLO LINEARE
ESEMPIO Di PEPRFEITA RELAZIONE LINEARE TRA ✗ ed Y
:
↓
Y
=
a + bx
a =
intercetta
D=
coefficiente
angolare
a-_ ci dice cosa
accade
ad
y
, quando
la
✗ è
nulla
b
=
è
la
variazione
di
y
in
seguito
a
una variazione
unitaria di ×
DETERMINARE LA
POLINOMIALE
Il
modo
più
semplicistico
per
determinare
"
f-
"
peì
idonea
a
rappresentare
il
legame
tra X
ed
Y
è
costituito
dalle
n
coppie
di
valore
( xiii
)
che
graficamente
se
possono
rappresentare
con n
punte
e
consiste
nello
scegliere
la
polinomiale
di
equazione 4=00+01×+9× 4
.
..
.
tane
che
passa
per
tutti
gli
n
punte
date
:
Difetti DELLA
POLINOMIALE
DI
GRADO (n
a)
non
opera
nessuna
sintesi
;
i dati
consistono in
n
coppie
×
. .
ye
e
lo
polinomiale
è individuata
da
n
parametri (
a
.
.
...
, an.
e)
b)
non
utilizzabile a causa
della sua
complessità
c) è
diversa
dalla
legge
che
lega
Y ad ✗
.
perché
genere
bbe dati
affette
da
un
certo
grado
di errore
.
SI OPERA MEGLIO se :
a)
si
ipotizza
un modello
semplice
di
relazione tra ✗ ed
Y
b) si determinano i valori
dei
parametri
del
modello minimizzando i residui
,
cioè
le
differenze
tra
i valori osservati
di
Y
ed i
valori
teoria di
Y
'
c)
se
giudica
la bontà di adattamento del modello
ai
dati sulla
base dell' andamento dei residui .
d) se
il modello
è
insoddisfacente
.
sulla base dei residui
,
si
sceglie
un nuovo
modello da
prendere
in considerazione .
ED ANCORA :
✓
INSINTESI.mn
☒
pendente
a- MIA
BMK)
a
Retta di
regressione
!
è + b
' naPENDENE
n
§
,
§
,
×
,
y
,
npy
, μ
,
☐ g
,
y
,
g, amo
per
n
,
numeratore e
Genoa ,
nappe
gy
y )
.
gyygy
È
×
ME
/
COVA
,
=
f.
ÈI
,
Hye
Mery
G¥÷
V4)
=L È
,
✗
i.
ME
↓
IN CASO CONTRARIO
i
d' = M
(
Y
×)
fremente
a
" dipendente
{
b.
COVK
.
Y
Vlx
) a =
RK)
btly
→
dove a e b sono
,
da
una parte ,
i
valori
da dare
ad aeb
per
minimizzare
5 e.
dall'
altra
,
sono
gli
stimatori
dell
'
intercetta
e
del D=
COVA ,
coefficiente
angolare
della REITA Di
REGRESSIONE
.
.
ottenute col metodo
VLY)
dei
MINIMI QUADRATI .
PROPRIETÀ
DELLA REITA DI
REGRESSIONE retta
di allineamento
1.)Se
tutte
le
coppie
di
dati osservati
(
n
. ye
soddisfano
la
relazione:
yeictdxi ,
¥
,
allora
i
punti
corrispondenti
sono
perfettamente
allineate
sulla
retta :
E- ctd
✗
che
coincide
esattamente
con
la
REITA DI REGRESSIONE
: E-
a
'
+ È
,
cioè :
b- _
C0¥¥_
=D e
a
'
.
M
(Y)
'
Mk
,
di
conseguenza
→
Y'
i.
,
ki e
VIY
'
= ✓(Y
p
÷
variabilità totale
DIMOSTRAZIONE
variabilità della
%)
regressione
( delle
y
:)
Date
le
n
coppie
✗ e.
g)
la REITA Di
REGRESSIONE avrà
equazione
:
Y'
i
àtb
'
✗ con
b-_
C0V÷
e
d' =
Rte
b'
Mk)
Ma :
cov
Kid
_
TÌÈÌKI
]
[[M se c. e. •
Gene lineare tra ✗ ed y
.
la stessa
relazione
a sarà
tra le medie
→ RM
« ddl
"
Not
=L
È
,
Eu
Mettete
IMKI
]
↓
Messo in
evidenza
=L
È
.ir#xi-MkY--d1-iiiE.-Lxe-MkD2--dVk
)
DA cui :-D
D=
Cork
,
=
b
'
V4)
INOLTRE :-D
C-
MH)
d
Mk
)
= M
(Y)
b Mk
) = è
INFINE
:
→
yì
= è
i-bki-ctdx-yi.tk
,
e VCY
'
Y)
la
retta
di
regressione
coincide
con la
retta
di allineamento
dei
dati
PROPRIETÀ
DI MINIMO
DEI Residui
Definiti
Residui le
differenze
tra
i valori
osservati
ya )
ed i valori teoria
( y
della Y cioè a
=
y
y
avremo
:
È
,
%
y
:)
minimo
a.
b)
dimostrazione
adgrlykia.LY
o
la
somma
da
quadrata
dei residui = memmo
yi
.
à +
bin
Ki
,
dove
à e
b
'
sono
tal
:/
È
,
(
ya
bid
minimo ma
=
È
(
yi
y
:)
?
minimo
I
=
la somma
dei
quadrati
dei residui
LA MEDIA
Dei RESIDUI È NULLA
MK)
= O
perché
BÈL
È
.
.
ci =
Èelye
y
DIMOSTRAZIONE
la
SOMMA
DEI RESIDUI è
nulla
n
n
n
alla
I°
equazione
normale
aÈe
.
_
Èia
inoltre →
È
.ie?Ia'+biu--E.yi
→
quindi
È
.
.
Ci
=
Èin
È yi
= 0
→
Me
= 0
E-
→
la
somma
delle
yì
teoriche =
la
somma
delle
ye
Osservate
n MOMENTO SECONDO n
(e) =
In § ,
lì
perché
la
varianza è uguale
al Momento
secondo -
Momentary? papà
la
Media
dei
residui = 0
=D In È , et ✓
MISURA DELLA
BONTÀ
DELLA REGRESSIONE Dopo aver stimato
il
modello di relazione tra ✗ ed
Y affrontiamo il
problema
della bontà
dell'
adattamento
del
modello ottenuto
a date
rilevate
. aggiungo e sottraggo yì evitare È .in?I.-Lyi-MH+E- È DELLE yi il
nùmerotre
della varaanzattperhe se = È Kyi
y ;)
( Hi
M ( Y) ] Io risolviamo il quadrato di binomio Devoto per n Trovo la Voce anza 1 È
ek.MN
= È
yi
y
? È ( y ' i
MAI [
ZÈE
ye . y :)
y :
)
→ sommatoria di
una somma algebrica = somma
algebrica
delle sommatoria "
farà
→ il doppio prodotto è nullo
fra
la somma da residue è nulla = È , (ya
MH) ) ? È ( y :
(4) Ti È ( %
y:[
→ diviso MEMBRO A MEMBRO PER h : Ìo Ha desse μ devianza a-«e devianza dei Y ' i Residui , perché se divise per la → f-
È
≥ (Ye
y :) ≥ =
FÈ
et
DIMOSTRAZIONE
V (4)
=
V
' )
Ue
) =D
V
=
Variabilità
totale delle
ye
osservate
V
' ) =
Variabilità
della
Regressione
delle yì
teoriche
A ✓ (e) =
Variabilità Residua
degli ee Ordinate da
punta
che
rappresentano
i nostri dati
. . ÷ . .
..
.. . commettendo approssimando la nuvola dei punti con la retta
verificheremo
se
l'
idea di una
dipendenza
lineare è
confermata
da dati , calcoliamo con r .
- scriviamo la retta di regressione .
andiamo a vedere
se questa
retta è un buon modello per i nostri dati , calcoliamo con
R?
ci
VLYÌ è
grande , migliore sarà l' adattamento della retta ai dati maggiore V '
, minore sarà V ) , la retta ha. catturato al
meglio
le
informazioni
È la V '
) ≤ V
perché
V
(4)
V
' )
Nel
|
i
