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DEFINIZIONI STATISTICA TEORIA
STATISTICA DESCRITTIVA: ha lo scopo di raccogliere ed elaborare i dati per
descrivere fenomeni collettivi o di massa
UNITA’ STATISTICA: è l’entità che possiede il dato e sulla quale andiamo a rilevare
il fenomeno oggetto di studio
COLLETTIVO STATISTICO: l’insieme delle unità statistiche
CARATTERE: è il dato che si vuole rilevare sulle unità statistiche
MODALITA’: sono le manifestazioni del carattere--à MODALITA’ DEL
CARATTERE: sono quei attributi, numeri, attraverso il quale il carattere si manifesta
CARATTERE QUANTITATIVI: (numeri), si distinguono in continui , frutti di una
misurazione [infinite modalità], discreti , frutti di un conteggio [numero finito di
modalità.
CARATTERE QUALITATIVI: (parole, attributi, termini), si distinguono in
ordinabili , quando esiste un ordine fra le modalità, sconnessi , in cui le modalità non
hanno nessun ordine.
POPOLAZIONE STATISTICA: l’insieme di tutte le unità statistiche
CAMPIONE: una parte della popolazione, un numero limitato di unità
CENSIMENTO: un’indagine su tutta la popolazione
INDAGINE CAMPIONARIA: un’indagine su una piccola parte della popolazione
PIANO DEGLI ESPERIMENTI: sono indagini campionarie
FREQUENZE
Se i dati statistici esprimono il n° di volte in cui il fenomeno si è verificato
in relazione ad un determinato periodo di tempo, assumono la natura di
frequenza.
1. FREQUENZA ASSOLUTA (ni)= il n° di volte che una data modalità
si presenta nel collettivo statistico.
2. FREQUENZA RELATIVA (fi)= sono dei rapporti di composizione
che consentono una valutazione rapida del “peso” dell’importanza,
della singola modalità nell’ambito della distribuzione di frequenza.
MODULO
f-
¥
3. FREQUENZA CUMULATA (Ni)= hanno un significato appatto che
ci sia un ordine nelle modalità. Sono le freq. assolute degli individui
che presentano una modalità del carattere inferiore o uguale alla
modalità che si sta trattando.
4. FREQUENZA CUMULATA RELATIVA (Fi)= sono le freq. relative
degli individui che presentano una modalità del carattere inferiore o
uguale alla modalità che si sta trattando.
5. DISTRIBUZIONE PER CLASSI: si può raggruppare in classi
quando il carattere è quantitativo discreto con numerose modalità o
caratteri quantitativi continui
6. DENSITA’ DI FREQUENZA (Hi)= sono calcolabili solo ed
esclusivamente per quei caratteri le cui modalità sono raggruppate in
classi. Indica il peso effettivo che hanno le singole modalità
all’interno della classe
7. DENSITA’ DI FREQUENZA RELATIVE (hi)= sono le frequenze
assolute/ampiezza della classe
μ
He
:
EEE.EE?ssiFehi--&:%cE-ss=Ea
2 º
MODULO
MISURE
DI CENTRALITÀ ✓
L' elenco delle
modalità rilevate
sulle
unità
se
ordinano
in senso crescente . RANGO →
indica
il
posto
che nella
graduatoria ordinata è occupato
da
una
certa modalità
. MEDIANA → è quel
valore di centralità
valore intermedio
. non
inferiore
al
delle modalità
e non superiore
al restante
50%
delle
modalità medesime
.
n.
numero di
unità del
collettivo Se n pare → è uguale alla semi somma delle due modalità di rango :
ze
E
Se n de spore → è l' unica
modalità
di rango :
→ Il
valore della
Mediana
depende solo da
quello
delle
unità centrale .
..
" " " DIMOSTRAZIONE a FS
la MEDIANA
corrisponde
alla
freq . con ieel ,
uguale
o
immediatamente
e superiore a 0. calcolo mediano nelle
distribuzioni
per
classe
-g_ E I - _
estremo
inferiore
di modalità
. Es . .
estremo
superiore Fli freq. com.
rel della classe
precedente a
quella
mediana FS .
freq
. com.
Tel
della classe mediana
i
È
| Ò . 5 es > Ti AB : BD = Ac : ce → AB
Age ↓ ¥
AB
_ Ne
Aci
es
ed Me
e i -10,
Fi ) . § Me = ei + (
Fi ). (es BD= (0,
Fi)
ce (FS
Fi
( FS
Fi )
PECULARIETÀ
DELLA MEDIANA
Il valore dello re
dipende
solo
da
quelle
delle unità centrale
Siano
% , &. . . . . yn le modalità ordinate e
y ,
)
ya
Me )
yn
) gli
scarti
o scostamenti dalla mediana . I & I i " E.lyi.me/-lyi- Allora È Iyi
Me
= minimo cioè , per C
qualsiasi
se ha sempre
la
sommatoria
degli scarti in
valore assoluto è
un minimo , rispetto alla somma degli scarti
considerati
in
valore assolto
da
una qualsiasi
costante
C →
Dimostrazione
Consideriamo
Yee
Yn
. Affinché C Merumeci
y ,
CI
c) (
la somma
degli
scarti in valore assoluto ) deve essere y« « yn ( interno all'intervallo
Infatti
Se % «< yn segue
che
yé CI + / yn
c / =
¢ 41
Yn
È yn
Ye
Se ce % . < yn segue
che
: sostituendo C con y , avremo :
la
/ yn
CI _
Yi
c + Yn
È >
Yn È Yn
Ye
Se yea yn < C segue
che
: sostituendo c con yn avremo : / YI
CI +
yn
= c- yntc - >
È
Yet k¥-
Ye
La somma degli
scarti in
valore assoluto è minima
quando
c è interna all'intervallo .
PROPRIETÀ DEWA MEDIANA
→ ha la
proprietà di nnmmiezarelasommadeglscartidallamedeanainval reassolF
ALTRI
INDICI Di posizione
QUARTI
LI
✓ I Quarti le =
Q
.
quel
valore tale che il sesto
delle unità statistiche hanno
una modalità ≤ e
il
restante
≥
Qe
I
Quarti
le
= Me
quel
valore tale che il
50%
delle unità statistiche hanno
una modalità ≤ Qa e il restante
≥
Qa
Quarti le
= Qs →
quel
valore tale che
il
7590 delle unità
statistiche
hanno
una modalità ≤
Qs e
il
restante
25%
≥ Q
% T.EE/=ET-E = la 1 º freq
. com.
nel immediatamente
≥ 0.
Qz.
. la 1 º freq
. com.
nel immediatamente ≥ 0.
Qs :
la 1 º freq
. com.
nel
immediatamente
≥ 0.
E ' in
classe
= E le
es ,
E le
. 0,
FI , FSàF è uguale
alle
freq .
relativa della classe
Me = ei
0,
FI)
es
E I
FS
Fi )
Qs
= E i >
( es ;
e1)
FI , FS ; F Is
PERCENTILE
☐ la generalizzazione
del
concetto di quarti le a qualsiasi percentuale definisce
il
percentile . è quel valore tale l' ✗ % delle unità delcollettivo hanno una modalità ≤
E
e lo ( e
× )
hanno invece
modalità
≥ E EX . È = E i
es
ed
0,
FS
FI
Moda (
Md )
= è la
modalità
che
presenta
la frequenza più
alta
CLASSE MODALE :
nella distribuzione divisa
in classe , se può individuare
quella
cui
compete
la frequenza
maggiore
.
DISTRIBUZIONE UNIMODALE
PLURIMODALE = Se la distribuzione è
rappresentata
da
una curva di frequenze , la moda si identifica con
il
massimo di tale curva . Se
la
curva
ha
1 MASSIMO = DISTRIBUZIONE UNITODALE , 1- 1- MASSIMO i DISTRIBUZIONE PLURI MODALE
MEDIA ARITMETICA indice
di posizione
centrale che
depende
da
tutte
le modalità
è sensibile
ai valori estremi
/ anomale E Si ottiene sommando tutte le modalità rilevate dividendo per
il
numero
totale delle modalità
Nella distribuzione di
frequenza : → Media ponderata ↓
con le freq . assolute M
_ LE
✗ i ◦ Mi
con
le
freq .
relative
=D M
E le ◦ fa ( nel caso in cui ne sono
ignote
)
Nella distribuzione di
frequenza per
classe
di modalità
→ M.
.
& E
vini , M = E il • &
PROPRIETÀ ASSOCIATIVA
=D Se un
collettivo di
n
unità
viene suddiviso in tl gruppi , ciascuno contiene nì unità G- -1, .
..
. , H
, allora la Medea
aritmetica delle medie delle modalità de
ciascun gruppo , che indichiamo
con Mi
i
-1. .
...
. H )
ponderata
con le ni è pari alla media aritmetica M calcolata su tutte le modalità del collettivo . =D
M
=L ÈÉ Mi
Mi ✓
MEDIA GEOMETRICA =D In alcune cose la media aritmetica non è idonea per sapere l' accrescimento o
il decremento di
un fenomeno ,
quello
più .
adatto
è la media
geometrica
purché le
modalità
siano tutte
positive
e non nulle SERIE STORICA → carattere
le cui
manifestazioni vengono
rilevate al variare del
tempo
.
Posso
descrivere
com' è
cambiato al dato nel
tempo
(E)
gode della seguente proprietà = quel
valore che sostituito
a
tutte le
modalità ne
lascia invariato il
prodotto
✗ i
Xa .
... -
Xn = G. G . .
...
G = EX
. *
si sottrae 1 perché indica , nessuna variazione t ✗ AI % (NI
100 NI = numero indice = il
rapporto
tra il dato ad un certo
istante
e il dato all' istante precedente 1 X ,
= Variazioni
percentuali
periodiche
=
NI E)
100 2 Xa EH
( ✗
ake
100 Dc
= Variazione
complessiva
= (
,
100 → considerare il
periodo
dal 1°istante d' osservazione f- 1 xt-1 xt
NE È-1ha
◦ 100
all' ultimo t è xtxt- ④ At
◦
100 Le
consideriamo la Variazione complessiva come esito delle e ' , i i. ' : singole variazioni periodo dopo
periodo
abbiamo :
: : i #= ¥
... - - - - ¥
XT ✗ the
1-
✗
txt
e)
100 Xe XÈ
÷ ' le dobbiamo può essere ottenuto facendo il
prodotto
di tutti i n° inde a confrontare con 1 = 1 nessuna variazione senza tener
conto
di una variazione diversa periodo dopo periodo , ma una variazione > 1- variazione crescita costante
uguale
periodo dopo periodo , che però mi assicuri la stessa variazione complessiva < 1- decremento avremo : MEDIA GEOMETRICA =D
Mg
.
Mg
. _
Mg
≤ è tale che ,
moltiplicata mi
restituisce il
rapporto
tra il dato
Per
vedere come un
dato al
primo istante e l'
ultimo
istante , ovvero quello che me . si evolve nel
tempo
determina la variazione
complessiva
Descriviamo l' evoluzione del fenomeno nel tempo
...
NÉ
¥ ,
Ms
-1% fÈ
periodiche
...
Istante per istante Dc % →
...
complessivamente
Dn %
M %
= Variazione media = (
Ng
100 ↓
descriviamo l'evoluzione del
fenomeno
nel tempo mediamente
Dopo aver studiato i valori medi, i quali sintetizzano l’insieme dei dati osservati in un unico valore numerico, è necessario affiancare altri indice
che possono fornire informazioni sulla dispersione, cioè l’ attitudine di un carattere a presentarsi con modalità differenziate. Queste misure di dispersione: assumano valore zero solo se è nulla la variabilità (tutti i valori osservati risultano uguali tra loro), all’aumentare della variabilità tali indici assumeranno valori sempre maggiori; tanto minore è la distanza delle osservazioni dal centro tanto maggiore sarà la rappresentatività e l’affidabilità del valore medio e infine permette di fare un confronto fra le distribuzioni. Dipende fortemente dagli eventuali valori abnormi, l’unità di misura è espressa al quadrato rispetto a quella dei dati ed è una misura assoluta di variabilità (non permette di fare confronti). Per risolvere questi difetti, ci sono le alternative:
3 º
MODULO DISPERSIONE
O
VARIABILITÀ
✓
MISURE DI DISPERSIONE
CAMPO DI VARIAZIONE =D differenza tra
il
valore massimo e il
valore minimo
dei dati rilevati ↓ È =Da me
rappresenta
l'intervallo del 100% da dati
osservate
misura grossolana =
yn
ya )
DISTANZA INTERQUARTILICA =D differenza tra il IIQuartile e il Ì Quarti le ↓ ¥ =D e me
rappresenta
l' intervallo centrale
,
nel
quale
cade il 50% delle modalità eileoate . misura più raffinata
D. I
= Qs
Qe
VARIANZA
la media
degli
scarti
al
quadrato
dalla media della distribuzione
→
la
Variabilità è nulla solo
se tutti i valori osservati
risultano
uguali tra loro
v (e) =
fÈM⊖ → distribuzione unitaria
momento
premo ≥ momento secondo me dà
aritmetica
la
media delle xi
✓ (e)
=L È , × ? ne
ti
→ distribuzione di frequenze ✓
(e)
= In È , Cf . ne
Ma → distribuzione per classe
Difetti
DELLA VARIANZA ( la Varianza se misura nel
quadrato
dell' unità di misura delle
modalità)
SCARTO QUADRATICO
MEDIO SQM =
TV
( è espresso nella stessa unità di misura da dati ) ci dice di quanto in media ogni valore si discosta dalla Media
COEFFICIENTE di VARIAZIONE → CV = 501 → è ADIMENSIONALE ( comparare la variabilità in distribuzioni diverse oppure
collettivi
diverse
M
SCARTO SEMPLICE MEDIANO → SSM e i ÈÉ lken-Me-l.in i g. → ci dice di quanto mediamente i dati si discostano
dalla
mediana
SCOSTAMENTO SEMPLICE MEDIO → SM = È . 1%
hi - D ci dice di quanto mediamente i dati si discostano dalla Medea
Ste
= ÈÉ lcin-Me-l.ru SM
È
. kin-M-l.ru
.
TRASFORMAZIONI LINEARI
Siano
le
✗ e
le
modalità diverse del carattere ✗ con frequenze ni per (i = 1 .
.. _
,
K)
; se (costruiamo una nuova variabile E) ←
TRASLAZIONE
Élite
→ costante (
perché
non è indicizzata da ie quindi assume sempre lo stesso
valore)
avremo :
DIMOSTRAZIONE PER REDIA
A COSA È UGUALE LA MEDIA Di =L in funzione della
media di ×
?
K
MI
M
(E)
È . Ei . Mi =
I
È , ti
c) ni
sommatoria di una somma algebrica = somma algebrica
delle
una
sommatoria
E-pEerata-ama-T.cono
↓
ÈI .
✗ e
ne
+ Coni)
uguale
= Xi + C e- delle z , ↓
è una costante
può
essere scritta fuori il segno
06 sommatoria
=L
( Èixini E Éeni) = Ndo
≤
↓ NÈ = n .
perché
la
MG)
.
NG
c somma delle
frequenze
= h
1-n-c.tk
E
avremo
quindi
:
✓
ftp.MK
=D
Dimostrazione Media " = - M¥ 0
FEY-jmmu-g.ae
nella
trasformazione
lineare
M
(e) = attore)
segno opposto
DIMOSTRAZIONE VARIANZA
nella
trasformazione
lineare
☐
"
=
fai
?
✓ (e)
K¥
.
. batte
- DISTRIBUZIONI SIMMETRICHE
=D
Sono
distribuzioni simmetriche
perché individuiamo
un asse
di simmetria
tale
che l'
immagine
a
dx
è
speculare
di
quella
a sx
DI SIMMETRIA
=D Siano le ×
,
le
modalità
diverse
lqui
spaziale
del carattere ✗ (o se
la distribuzione
è divisa in
classe ed
esse siano
di
uguale
È
frequenze
nn
per
(
i =
1
,
...
K) allora :
D
-Ì
per
1=
,
...
,
K
"
lo
è
freq
.
ultimo
freq
lo
è
jleeq
: penultima
M
Me
=
Md
±
media on
Étienne Inada
DISTRIBUZIONE UNI MODALE ASIMMETRICA
A volte nell’elenco delle modalità rilevate, abbiamo n coppie, la prima che rappresenta un carattere e la seconda un altro carattere e
riassumiamo il tutto in una tabella a doppia entrata.
Possono essere caratteri quantitativi e qualitativi.
MODULO •
DstRBUZ0NiBWARA
✓
:
Ho
→
All' interno della
Tabella troviamo
le
Frequenze congiunte
&
✗
eh
;
Lys
=
& (
Xi
;
%-)
_
his
÷
E
nej
i.
1
.
...
,
r
;
g-
=
1
.
...
.
s
)
"
ha
.
noi
All'
esterno della
Tabella troviamo
le
Frequenze
Marginali
(totale delle
frequenze
)
S
fr
X
_
✗
e)
=
file
Mi
. È
na
È
1
.
...
.
» 41
E
fr
( 7-
g)
fr
(%-)
= n.
Idem
,
G-
=
1
.
.. - is
) (
Y)
e ≥ ≥ e
TOTALE COMPLESSIVO DELLE FREQUENZE
→
N
=
hij
=
È
n°
=
,
Me
.
I
◦
Se
dividiamo
per
il totale delle
frequenze
otteniamo
le
freq
.
relative
...
Freq
.
relative
congiunte
:
@
i. b)
=
Mij
=
gli ]
(
e
E
.. -
it
;
.. ..
,
s)
Freq
.
relative
marginali
:
f
✗
e)
=
ng
=
gli
i.
1
.
..
.ie
8-
=
nj-if.sk
.
±...
.
s)
r S
NATURALMENTE
→
È
È flxe
, yo
= 1 →
la somma
delle
freq
.
relative
congiunte
= 1
S
"
§ ,
f-
(a)
=
1
→
freq
.
relative
ftp..it marginali
;
r r
r
→
MK)
=L
È
tini
.
_
È!
8-
gqaq.gg
,
VALORI
MK
) -
£ È
#ni
.
= = È [
"
È
)
}
freq
.
relax ,
S
S
centra
ma
.
£ :[ vc.n.ge
È.tk
È
M
y
=L È ,
Yin
.
g-
=
È
.
4-
varianze MARGINALI
G)
=L ÈIKIMKI
]
ni
.
=
È
≥
È
Mk
]
}
"
}
freq
.
relative
✓ (4)
=L
È
,
[ys.MN?n.,-
=
È
.
È
MINÀ
.
]
r
'
G)
=L
È
,
[ci
ni
.
] =
È
.
[
ci
.fi
.
MKÌ )
VALORICEILAKLVH-1.EE
.
n.s.MN
÷
:[
ci
:&, .mg
≥
}
}
"
?
"
Se X è indipendente da Y allora tutte le distribuzioni di X condizionate ad Y sono uguali tra loro ed uguali alla distribuzione marginale relativa
di X, ma ciò implica anche che tutte le distribuzioni di Y condizionate ad X siamo uguali tra loro ed uguali alla distribuzione marginale di Y e quindi che Y sia indipendente da X. Pertanto, condizione necessaria e sufficiente affinché X ed Y siano indipendenti è che:
✓ {
= ? . . . . e)
CONDIZIONE D' INDIPENDENZA
È=M•n! G- = 1 .
..
. .
s)
↓
Se
nisi ≠ Me .
n°
}
i caratteri sono statisticamente
dipendente . Per verificare se esiste dipendenza
tra i
2 carattere
FREQUENZE CONGIUNTE
D' INDIPENDENZA =D
N'
È
m.Y
CONTINGENZE =D
Cig
= Me ]
Nis
frequenze congiunte
frequenze congiunte d'
indipendenza
INDICE CHI
QUADRO
DI PEARSON
→ valutare il grado della
dipendenza
×?
È È
ciè
dove
→ 4s =
neo
n' y
ij
Me . . no J i.
N' ij n
Proprietà di
X
☐ per cui non ada l' idea dell'odine di grandezza
X è una misura assoluta di dipendenze per ✗ ed
carattere quantitativi ex qualitativi) ed il suo calcolo non se
basa
ne sulle modalità di ✗ ne so quello di Y .
Se ✗ e Y sono INDIPENDENTI allora ✗ 2= Se ✗ e Y NON sono INDIPENDENTI × ≥ > 0 , ed è .
Tanto
più grande quanto più
le
nej se differenziano
dalle
Nes
DIMOSTRAZIONE ALTERNATIVA r s ÈÈ ✗ ≤ ÈE È , nè = È È÷m → " scendo Guadato
2 S Tolgo = ÈE È ( nè -20min: >
È
) la sommatoria di una somma
algebrica
= somma algebrica
delle sommatoria
E
nega { ostante ' [ neri
È [ n' È = È ¥ 1 Mio → È
i. 15= ¥ = È [ ' MI iii. n' →
ÈÌÈ
.ms
ÈÌÈ , n' es = → freq . d' indipendenza = n ↓
freq . congiunte
la
somma delle frequenze = n È È È = i. 1 Meg -2M + n = È È NÉ. ti 1 je È
N
oppure
: È [ ' MI
n ✗ % € 1 Me .
Mi =D conoscere
la
modalità di
un
carattere
a
indica immediatamente
qual'
è la modalità dell'altro
MASSIMA DIPENDENZA
la
dipendenza è massima se
per
ogni
colonna
e
per ogni ago
non più
di
una frequenza congiunta
è diversa da
zero ◦ È punto di vista grafico INDICE RELATIVO DI DIPENDENZA
DI CRAMER :
41
Yz 43
È
= ✗ 2 ✗ E MI 0
@
È
con ◦ ≤ « ≤ 1- Max ✗ 2
[
T
n ] = 1 MASSIMA DIPENDENZA , perchè
Hogg
unge il suo mal Xz 0
ha
0 % 4 Quadro
dimensione
tabella =
0 (quando ✗2= ) c' È INDIPENDENZA ,
le
G. ,
sono nulle
0
ns } ↓ {
F-
m' ntas }
perchè sono
date
.fr?s--ni,--- se ✗ 3
valutare il
grado
della c' è
indipendenza queste freq . ↓
ne
dipendenza
. sono
uguali
. quindi
le
differenze
_
O il ×
è nullo Scelta un'
unità
a caso
tra
queste n ,
osservando
la y
sappiamo
che ✗ sarà
per forza te, perché non ci sono
unità
per
cui la Ye è congiuntamente osservata con ≤ e × } ,
l'
unica coppia
che si
osserva è Xie NON C' È DIPENDENZA
L'
INDIPENDENZA è PIÙ FORTE DELLA
fNCORRELAZONE-t.LI
NEARE
Se i due caratteri quantitativi risultano dipendenti, possiamo ipotizzare che essi sono legati da una relazione lineare, cioè
Se X ed Y sono concordi sono prevalenti i punti che cadono nel II° e III° quadrante, a tali punti corrispondono scarti di X e di Y che hanno,
rispettivamente, lo stesso segno e che producono prodotti di scarti positivi. Covarianza-> essendo pari alla media dei prodotti degli scarti,
sarà POSITIVA.
Se X ed Y sono discordi, i punti del diagramma scatter cadranno nel I° e IV° quadrante, quindi corrispondono scarti di X e di Y che hanno
segno opposto, producendo pertanto prodotti di scarti negativi. Covarianza-> sarà NEGATIVA.
✓
MISURE
DI
DIPENDENZA LINEARE
O EORRELA
ZIONE
S0%coppeedcoratrQUANTHN
g. perchè
una
retta
la
possiamo
disegnare
soltanto se
✗ e Y sono
numeri
y
= a
bx
Ì
"
coefficiente
angolare
= a
dice
la
pendenza
della retta e se
la retta è
crescente o
decrescente
intercetta
.
ci
dice
cosa
accade ad
y ,
quando
la ✗ è
nulla
Per
verificare
questa ipotesi.
misureremo
la
strettezza della
dipendenza
lineare
,
ovvero
,
misurando
il
grado
di correlazione
tra
e Y
mettiamo
le
coppie
( li
,
y
sul
per
notare il
tipo
di relazione
g
↓
NUVOLA DEI
PUNTI
☐
TREND
LINEARE
(
al crescere
di
una
variabile
cresce
anche
l'altro
,
ma
deve
crescere in un
modo
che
sia
rappresentabile
attraverso una
retta
)
o
la retta a serve
a
fare
Previsione e
Controllo
7
\
MISURE DI strettezza DELLA RELAZIONE
LINEARE
O DI
CORRELAZIONE
TRA ✗
e Y
È
COVARIANZA
→
è la media dei
prodotti degli
scarti dalle
rispettive
medie di ✗ e
7
:
↓
[email protected]_-EEE.Y.tQ finestra
di correlazione
S
non
a
de l'idea
dell'ordine di
grandezza
COVARIANZA
POSITIVA
00
Ì QUADRANTE
E
°
QUADRANTE
NEGATIVO
POSITIVO
COVARIANZA NEGATIVA
°
QUADRANTE N° QUADRANTE
POSITIVO
NEGATIVO
La COVARIANZA è una misura della correlazione o strettezza della relazione lineare tra X ed Y perché se non c’è correlazione (ovvero, sono
perfettamente indipendenti) la COVARIANZA è nulla [COV(X,Y)=0];
Se la correlazione è massima, tra X ed Y c’è una perfetta relazione lineare (sono dipendenti) [Y=a+bx], allora la COVARIANZA è massima in
valore assoluto (| maxCov(X,Y)|=
CHE VALORI PUÒ ASSUMERE
LA COVARIANZA
?
Consegue
che :
La covarianza
può
assumere
tutti i
possibili
valori
,
nVHVLYIE.GOV/X,Y)--Vk)V#
→
la
COV
può
assumere
valore
comprese
solo
comprese
tra
Taja
FÉ
colui ≤
ÈH
SQMK
.
e) ≤ Cork
.
≤
SQMK.ee
✓
IN sintesi
V
) V
) )
DELLA COVARIANZA
DIMOSTRAZCONECOVK.Y.LI
È
,
[
×
.
Mk )
][
yi
MIA
=
In
ÌÉ
,
[ Kyi
KEH
Yi
Mk
)
MIYIMKI
}
→
sommatoria di una somma
algebrica
= somma
algebrica
delle
sommatoria
ostante che
¥
Istante
.
che sommate n
volte
rivolte la
costante medesime
non dipende
dai
n
=
In [
È
✗
i Yi
Èexi
MKIÈ
,
yi
aMIYIMKI
È
n
Y-Mthadx-redeadiy~fi-n.fi?zxeyi-MlYIM(x)-M&x
) +
MYKA
da cui
COVK.net?Exeyi-MklMlQ
%
④
ENTO
PRIMO MISTO
- Prodotto DEI MOMENTI PRIMI
→
Se
y
,
= le
→
la COV
= Vale cento
Se
i dati
sono
organizzati
in
una tabella a
doppia
entrata avremo
:
COVEY )
=
£ È
,
È
,
xiyjne,
MANLY
↓
distribuzioni
per
classi
,
valore
cqtral.nu
]
INDICE RELATIVO
DI
DIPENDENZA LINEARE
O CORRELAZIONE
8 ª
tendenza
lineare
)
" "
| maca ,
_ rHY
COV
(
×
,
Y
=
COVE
.
Y
μ ,
,μ,
[email protected]
Bravas
. persone
.
.de#aoaaueee.aaaanma.a
differenza
di
quest'
Éa
"
"
"
-. .
×
,
Y
è una misura
relativa di correlazione
Dimostrazioni
gm μ
,
gg
,
game
gg
,
gag
, away,
, penne ,
TÈ
Cokie) ≤
ÈH
VKI V )
TVKIVIYT
TVÉTY
)
QUINDI
↓
verso
1
. > È
ÈENe
_1≤r
verso
7=0 INCORRELAZONE .
allora →
→ COVK
,
= 0
→ 2= ÈQ7-
→
c'è
dipendenza
C' è incorrelazione ma
può
esserci
dipendenza
,
diversa da
quella
lineare
→
2=0,
CIO
se
c' è
indipendenza ,
allora c' è
[
"
"
"
"
"
"
"""
" "" " " "
" " "°
"
\
.
i.
:
"
"
.
,
:*
:
Illazione
lineare
i
punti
stanno È
E- 1-
Fece
retta
Dopo aver verificato la dipendenza tra i caratteri quantitativi X e Y, determiniamo il legame di dipendenza tra X e Y
Le motivazioni che spingono alla ricerca di f sono :
PREVISIONE:
CONTROLLO:
Nella PREVISIONE ho un nuovo valore di X e voglio prevedere qual’è il corrispondente valore di Y.
Nel CONTROLLO mi chiedo, che valore devo dare alla X per ottenere un desiderato valore di Y
6 º
MODULO
LA REGRESSIONE
✓
cioè :
%
f-
(
×)
nella
fase
di raccolta dei valori
osservati di
✗
e
. E , ...
,
✗
n
) sono
stati
rilevati
quelli
di Y
ya , ya ,
.
..
,
yn)
.
Se
si osserva un nuovo
valore di
;
✗
me
, possiamo prevedere
l'
ignoto
valore di Y con
yh+
=
flint
↓
per fare
la
previsione
,
devo
conoscere
&
,
ovvero
la
relazione
tra
e
Y
.
dopo
aver
determinato
la
funzione
Y
=p
G)
ora
bisogna
individuare
quale
valore
incognito
l'
operatore
deve dare
alla
✗
per
ottenere un
desiderato valore
yo
della X
.
che
è → ✗
◦
=
f-
1-
yo
,
cioè
quel
valore
di ✗
tale
che
flxd
=
yo
IN SINTESI
MODELLO
DI RELAZIONE PIÙ SEMPLICE
:
→
MODELLO LINEARE
ESEMPIO Di PEPRFEITA RELAZIONE LINEARE TRA ✗ ed Y
:
↓
Y
=
a
bx
a =
intercetta
D=
coefficiente angolare
a-_ ci dice cosa
accade
ad
y
, quando
la
✗ è nulla
b
=
è
la
variazione
di
y
in seguito
a
una variazione unitaria
di ×
DETERMINARE LA
POLINOMIALE
Il
modo
più
semplicistico
per
determinare
"
f-
"
peì
idonea
a
rappresentare
il
legame
tra X
ed Y
è
costituito
dalle
n
coppie
di
valore
(
xiii
)
che
graficamente
se
possono
rappresentare
con n
punte
e
consiste nello
scegliere
la
polinomiale
di
equazione
4=00+01×+9× 4
.
...
tane
che
passa
per
tutti
gli
n
punte
date :
Difetti DELLA
POLINOMIALE
DI
GRADO (n
a)
non
opera
nessuna
sintesi
;
i
dati
consistono in
n
coppie
×
. . ye
e
lo
polinomiale
è individuata
da
n
parametri (
a
.
.
...
, an . e)
b)
non
utilizzabile
a causa
della sua
complessità
c) è diversa
dalla
legge
che
lega
Y ad ✗
. perché
genere
bbe dati
affette
da
un
certo
grado
di errore
.
SI OPERA MEGLIO se :
a)
si
ipotizza
un
modello
semplice
di
relazione tra
ed
Y
b) si determinano i valori
dei
parametri
del
modello minimizzando i
residui
,
cioè
le
differenze
tra
i valori osservati
di
Y
ed i
valori teoria di
Y
'
c)
se
giudica
la bontà di adattamento del modello
ai
dati sulla base
dell'andamento dei residui
.
d)
se
il modello è
insoddisfacente
.
sulla base dei
residui
,
si
sceglie
un nuovo
modello da
prendere
in considerazione
.
ED ANCORA :
✓
INSINTESI.mn
☒
pendente
a- MIA
BMK)
a
regressione !
è +
b
' na PENDENE
n
§
, §
,
×
,
y
,
npy
,
μ
,
☐ g, y
,
g, amo
per
n
,
numeratore e Genoa, nappe
gy
y)
.
gyygy
È
×
ME
/
COVA
,
=
f.
ÈI
,
Hye
Mery
G¥÷
V
=L È
,
✗
i.
ME
↓
IN CASO CONTRARIO
i
d' = M
(
Y
×
fremente
a
" dipendente
{
b.
=
COVK
.
Y
Vlx
) a =
RK
btly
→
dove a e b sono
,
da
una parte ,
i
valori
da dare
ad aeb
per
minimizzare
5 e.
dall'
altra
,
sono
gli
stimatori
dell
'
intercetta e
del D=
COVA
,
coefficiente
angolare
della REITA Di
REGRESSIONE
.
.
ottenute col metodo
VLY)
dei
MINIMI
QUADRATI.
PROPRIETÀ
DELLA REITA
DI
REGRESSIONE
retta
di
allineamento
1.)
Se tutte
le
coppie
di dati
osservati
(
n
. ye
soddisfano
la
relazione:
yeictdxi ,
¥
,
allora i
punti
corrispondenti
sono
perfettamente
allineate
sulla
retta
:
E- ctd
✗
che
coincide
esattamente
con
la
REITA DI REGRESSIONE
: E-
a
'
+ È
,
cioè :
b-
_
C0¥¥_
=D e
a
'
.
M
(Y)
'
Mk
,
di
conseguenza
→
Y'
i.
,
ki e
VIY
'
= ✓(Y )
p
÷
variabilità totale
DIMOSTRAZIONE
variabilità della
%)
regressione
delle
y :)
Date
le
n
coppie
✗
e. g)
la REITA Di REGRESSIONE
avrà
equazione
:
Y' i àtb
'
✗ con
b-
_
C0V÷
e
d' = Rte)
b'
Mk)
Ma :
cov
Kid
_
TÌÈÌKI
M "
]
[[M
se c. e. •
Gene lineare tra ✗ ed y
.
la stessa
relazione
a sarà
tra le medie
→ RM
« ddl
"
Not
=L
È
,
Eu
Mettete
IMKI
]
↓
Messo in
evidenza
=L
È
.ir#xi-MkY--d1-iiiE.-Lxe-MkD2--dVk
)
DA cui :-D
D=
Cork
,
=
b
'
V4)
INOLTRE:-D
C-
MH)
Mk
)
= M
(Y)
b Mk
) = è
INFINE
: →
yì
= è
i-bki-ctdx-yi.tk
,
e VCY
'
Y)
la
retta
di
regressione
coincide
con
la retta
di allineamento
dei
dati
PROPRIETÀ
DI MINIMO
DEI Residui
Definiti
Residui le
differenze
tra
i valori
osservati
ya
ed i
valori
teoria
y
:) della
Y
cioè a =
y
y
avremo
:
È
,
(
%
y
:)
minimo
a.
b)
dimostrazione
adgrlykia.LY
o
la somma
da
quadrata
dei residui = memmo
yi
.
à +
bin
Ki
,
dove
à e
b
'
sono
tal
:/
È
,
(
ya
bid
minimo ma
=
È
(
yi
y
?
minimo
I
= la
somma
dei
quadrati
dei residui
LA MEDIA
Dei RESIDUI È NULLA
MK
= O
perché
BÈL
È
. .
ci = Èelye
y
DIMOSTRAZIONE
la
SOMMA
DEI RESIDUI è
nulla
n
n
n
alla
I°
equazione
normale
aÈe
.
_
Èia
inoltre
→
È .ie?Ia'+biu--E.yi
→
quindi
È
. .
Ci
=
Èin
È yi
= 0
→
Me
= 0
E-
→
la
somma
delle
yì
teoriche =
la
somma
delle
ye
Osservate
n MOMENTO SECONDO n
(e) =
In § ,
lì
perché la varianza è uguale
al Momento
secondo -
Momentary? papà
la
Media dei
residui = 0
=D In È , et ✓
MISURA DELLA BONTÀ DELLA REGRESSIONE Dopo aver stimato
il
modello di relazione tra ✗ ed
Y affrontiamo il
problema
della bontà
dell'
adattamento
del
modello ottenuto
a
date rilevate
. aggiungo e
sottraggo
yì evitare È .in?I.-Lyi-MH+E- È DELLE yi
il nùmerotre
della varaanzattperhe se = È Kyi
y ;)
(Hi
M ( Y ) ] Io risolviamo il quadrato di binomio Devoto per n Trovo la Voce anza 1 È ek.MN = È
yi
y
? È ( y ' i
MAI [
ZÈE
ye . y :)
y :
→ sommatoria di una somma
algebrica
= somma
algebrica
delle sommatoria "
farà
→ il
doppio
prodotto è nullo
fra
la somma da residue è nulla = È , (ya
MH
)) ? È ( y :
(4) Ti È ( %
y:[
diviso MEMBRO A MEMBRO PER h :
Ìo Ha
desse μ devianza a- « e devianza dei Y ' i Residui ,
perché
se divise per la → f-
È
≥ (Ye
y :) ≥ =
FÈ
et
DIMOSTRAZIONE
V (4)
=
V
'
+ Ue
) =D
V
) = Variabilità
totale delle
ye ( osservate
V
' ) = Variabilità della
Regressione
delle yì
teoriche
A ✓ (e) = Variabilità Residua degli ee Ordinate da
punta
che
rappresentano
i nostri dati
. . ÷ . .
..
. .. commettendo approssimando la nuvola dei punti con la retta
verificheremo se
l'
idea di una dipendenza lineare è
confermata
da dati , calcoliamo con r.
- scriviamo la retta di regressione .
andiamo a vedere se
questa
retta è un
buon
modello per i nostri dati , calcoliamo con
R?
ci
VLYÌ è
grande
, migliore sarà l' adattamento della retta ai dati
maggiore
V '
,
minore sarà V
) , la retta ha. catturato al
meglio
le
informazioni
È
la
V '
) ≤ V
perché
V
(4)
V
' )
Nel
|
i
