Curve
Circonferenza: Luogo dei punti del piano aventi distanza fissata r da 𝑃, r>0
𝑥+𝑦+𝑎𝑥+𝑏𝑦+𝑐=0
𝑟=
+
−𝑐
𝑐:−
;−
calcolo equazione: dati dei punti(sostituire i valori x, y e risolvere il SLO), dati r e C (creare un SLO
uguagliando i valori alle formule).
Coniche: fissati un punto F (fuoco) del piano ed una retta d (direttrice) ed una costante e (eccentricità), una
Conica è il luogo dei punti del piano P(x, y) con la proprietà che
=𝑒
Ellisse: 0 <𝑒< 1 equazione canonica:
+
=1
Iperbole: 𝑒 >1 equazione canonica:
−
=1
Parabola: 𝑒 =1 equazione canonica: 𝑦 =
𝑥
Classificazione:
A= 𝒂𝟎𝟎 𝒂𝟎𝟏 𝒂𝟎𝟐
𝒂𝟎𝟏 𝒂𝟏𝟏 𝒂𝟏𝟐
𝒂𝟎𝟐 𝒂𝟏𝟐 𝒂𝟐𝟐
termine noto, metà coefficiente in x, metà coefficiente in y, coeff 𝑥, coeff 𝑦, metà coefficiente in xy
Se det≠0 e se (conica generale):
1)∝ > 0 la conica è un ellissi
2)∝ = 0 la conica è una parabola
3)∝ < 0 la conica è un iperbole
Se det=0 :
1) se rg=2 in base a ∝ abbiamo una conica degenere(una coppia di rette)
2) se rg=1 conica doppiamente degenere
Centro della conica: ∝
∝;∝
∝
Asintoti: Si prende x2 , y2 e xy con i propri coefficienti e si pone x=
l
e y=
m,
si risolve l’equazione
ponendo
m
= 1, e si trova
l
, si trovano cosi le due coppie di parametri direttori. Si pone l’equazione:
∝
∝
=∝
∝
Metodo degli Invarianti: per calcolare l’equazione della conica in forma canonica.
𝑨=𝑑𝑒𝑡𝐴,𝛼, 𝑰= 𝑇𝑟 𝐴
ellissi e iperbole: 𝑡+∝𝑰
𝑨𝑡+∝
𝑨 𝛼𝑥+𝛽𝑦=1
parabola: ∝ = ±−
∝ 𝑥+ 𝑦 =0
