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Rosetta Zan, I PROBLEMI DI MATEMATICA Difficoltà di comprensione e formulazione del testo RIASSUNTO Capitolo 1 Il problema nella pratica didattica La risoluzione dei problemi , nell’insegnamento della matematica, è una pratica didattica diffusa e ritenuta molto importante. Spesso gli studenti hanno un ricordo negativo dei problemi vissuti durante l’esperienza scolastica: la parola stessa problema si associa a qualcosa di negativo. Anche l’insegnante, talvolta, vive con disagio l’attività in classe con i problemi, poiché gli allievi manifestano comportamenti sui quali è difficile intervenire. Un esempio emblematico è il problema dell’età del capitano , proposto per la prima volta in Francia, che dimostra come la maggior parte degli alunni di scuola primaria risolva il quesito con una risposta numerica. Altro esempio è il problema dei soldati sul camion dell’esercito o quello della temperatura dell’acqua in un recipiente : se si mescola una caraffa a 80° con una a 40°, la maggior parte dei bambini di quinta primaria risponde sommando i dati numerici. Queste risposte hanno sollecitato molti studiosi a fare ricerca per comprendere tali fenomeni. Gli studi condotti hanno messo in evidenza due elementi molto importanti : la tipologia stereotipata dei problemi presenti nei libri di testo; le modalità con cui l’insegnante gestisce l’attività , legate al contratto didattico. Se lo studente non è abituato a problemi con soluzioni impossibili o dati mancanti , pensa che sia implicito che il problema debba avere sempre una soluzione numerica. Il testo del problema Un primo elemento da evidenziare è che l’allievo che risolve il problema è diverso da chi lo pone (l’insegnante) : è necessaria la mediazione di un testo. I problemi scolastici sono perlopiù verbali. Alcuni autori descrivono il testo del problema come un genere letterario , che presenta una situazione familiare al lettore e pone una domanda quantitativa la cui risposta si ottiene con operazioni matematiche. Struttura tipica del problema scolastico Il testo contiene tutti e soli i dati necessari , spesso numerici. È presente una domanda che richiede una risposta numerica. La risposta si ottiene combinando i dati numerici con un procedimento matematico. C’è un’unica soluzione. I dati numerici sono artificiosi , semplificati rispetto a una situazione reale. Nei libri di testo i problemi sono spesso suddivisi per capitoli, in base all’operazione aritmetica necessaria. Stereotipi e contratto didattico Se l’insegnante propone solo problemi stereotipati, l’allievo si convince che tali caratteristiche siano sempre presenti. Di fronte al problema dell’età del capitano , ( “Su una nave ci sono 26 pecore e 10
capre; quanti anni ha il capitano?”) il bambino pensa che ci debba essere per forza una soluzione numerica. Gli stereotipi si intrecciano con le norme implicite ed esplicite del contratto didattico. Una strategia diffusa è incoraggiare gli allievi a individuare nel testo le parole chiave che suggeriscono l’operazione: insieme → sommare; restano → sottrarre. Anche i libri di testo spesso suggeriscono questa modalità. Altre pratiche comuni: organizzare la soluzione scrivendo in ordine domanda, dati, operazione, risposta , aggiungendo un disegno o diagramma di flusso; illustrare agli allievi come si risolve una tipologia di problemi prima di proporli, riducendo così la possibilità di confronto diretto con la difficoltà. Il ruolo dell’insegnante Rosetta Zan sottolinea che il bisogno dell’insegnante di aiutare l’allievo a trovare la risposta giusta nasce dal fatto che i problemi sono spesso utilizzati per valutare conoscenze, abilità o competenze , piuttosto che per costruirle. L’insegnante tende quindi a semplificare le richieste, aumentando le probabilità di una risposta corretta. L’allievo impara che, indipendentemente dalla domanda, la vera richiesta è: “Dimostrami che lo sai fare”. Conseguenze sugli studenti Questa esperienza con problemi stereotipati e semplificati favorisce la ricerca di scorciatoie cognitive. L’allievo non cerca di comprendere il testo, ma individua indicatori che suggeriscono il processo risolutivo. Così pensa che: se l’insegnante assegna un problema, esiste sempre una soluzione ; il testo contiene tutti i dati necessari ; bisogna cercare nel testo le parole che suggeriscono l’operazione. Questa strategia funziona con problemi stereotipati, ma fallisce in contesti diversi, come le prove Invalsi. Esempi: Problema dei passi di Maria, Renata e Fabio: oltre il 50% ha risposto in modo errato. Problema del pulmino con 9 maschi, 10 femmine e due maestre: solo il 17% ha risposto correttamente. La difficoltà principale Gli studi, relativi sia alla scuola primaria sia alla secondaria, rivelano una carenza di comprensione del testo e, a monte, di abilità di lettura. Secondo Zan, è necessario un intervento metacognitivo che abbia come oggetto la lettura e comprensione del problema , non la sua soluzione. Comprensione e risoluzione La fase di comprensione del problema è fondamentale:
stato detto all’inizio attraverso un’ anafora ; oppure un termine detto antecedente viene ripreso nel seguito del discorso attraverso la ripetizione o attraverso sinonimi. In questi casi si parla di rapporto di coreferenza fra antecedente e ripresa anaforica. Enciclopedia e conoscenza del mondo Ogni testo presuppone che il lettore abbia una certa conoscenza del mondo , quella che alcuni studiosi chiamano enciclopedia o conoscenza enciclopedica. Per dirla con le parole di Umberto Eco , un testo è un tessuto di spazi bianchi da riempire, e solo se il lettore possiede una certa enciclopedia è in grado di collaborare con il testo e di riempire con le opportune inferenze gli spazi bianchi. Altrimenti il testo può apparire incoerente. Ad esempio, Rosetta Zan cita il problema: “Giovanni voleva comprare un regalino a Carlo, perciò andò a prendere il suo maialino. Lo agitò, ma non udì nessun rumore.” Per molti bambini di oggi il maialino non equivale all’immagine del salvadanaio di coccio , quindi il testo può risultare oscuro, perché viene attribuito un significato letterale diverso alla parola. La ricerca linguistica ha evidenziato che la conoscenza enciclopedica è organizzata in schemi più o meno complessi, collegati tra loro nella memoria a lungo termine. In letteratura questi schemi sono indicati come frames , scripts , plans. Umberto Eco li definisce sceneggiature. Poiché un problema si rivolge a bambini accomunati dall’età e dall’appartenenza a un certo contesto culturale, si tende a far riferimento a conoscenze culturalmente condivise , cioè sceneggiature comuni. Tuttavia, la conoscenza enciclopedica ha una natura culturale e sociale , e questo può rendere difficile la comprensione di un testo da parte di allievi provenienti da culture diverse, anche se hanno competenze linguistiche. Ad esempio, un problema che parla di rullino fotografico non sarebbe compreso dalla maggior parte dei bambini di oggi. Impliciti e non detto Un testo è intessuto di non detto , ma il non detto non è necessariamente implicito. Per esempio, se leggo che “Mario è salito sulla sua macchina”, è implicito che la macchina abbia un motore e quattro ruote, ma non è implicito che sia rossa. Nei problemi questa distinzione fra implicito e non detto spesso non viene colta dall’insegnante, dall’autore e quindi dall’allievo. In questo ambito dobbiamo fare riferimento alle regole del gioco dei problemi , ossia agli stereotipi che sono responsabili di quel processo di apparente sospensione di senso che caratterizza le risposte assurde riportate in alcuni problemi. La Zan ci invita a evitare di dare per scontate proprio quelle caratteristiche stereotipate che portano a incomprensioni. Una tipologia significativa di non detto assunto come implicito è il caso dei problemi di modellizzazione di una situazione reale. Essa è fatta a priori dall’autore, ma in genere non viene spiegato come. Inoltre, ciò che viene lasciato implicito o non detto a volte non è realistico, proprio per l’esigenza di generalizzare e focalizzare l’attenzione sul concetto matematico. I problemi realistici proposti a scuola sono in genere solo apparentemente tali e finiscono per favorire una dissociazione dalla realtà. Gli allievi si adattano e comprendono che il realismo proposto è solo una facciata. Ricapitolando Alcuni aspetti importanti per la comprensione del testo sono:
LESSICO
RIPRESE ANAFORICHE
ENCICLOPEDIA e SCENEGGIATURE COMUNI IMPLICITI e NON DETTO È necessario che l’ insegnante crei in classe un clima che permetta a tutti di esprimere il proprio punto di vista e le proprie difficoltà senza timore di essere valutati negativamente. Un testo che presenta ostacoli può diventare per l’insegnante una fonte preziosa di attività didattiche significative. Capitolo 3 Tipologie di problemi: problemi narrativi e problemi descrittivi Come abbiamo visto, il testo di un problema si presenta come un vero e proprio genere testuale. Possiamo riconoscere al suo interno la presenza di: CONTESTO , che in genere consiste nella descrizione verbale e sintetica di una situazione realistica, concreta o comunque ritenuta familiare all’allievo, in cui vengono date esplicitamente alcune informazioni quantitative; DOMANDA o richiesta , cui il lettore deve rispondere facendo uso esplicito ed esclusivo delle quantità date nel testo e delle relazioni matematiche fra tali quantità dedotte dal testo. Nella maggior parte dei casi contesto e domanda sono chiaramente riconoscibili. Ma non sempre la separazione fra contesto e domanda è così netta. A volte le informazioni necessarie per rispondere sono inserite nella domanda stessa, ad esempio attraverso l’espressione “sapendo che”. In realtà questo comporta una maggiore difficoltà nella comprensione, in quanto viene inserita una domanda che contiene inutilmente una subordinata. Talvolta c’è un uso improprio del “se” , in cui si sottintende un rapporto di causa-effetto tra due eventi che non hanno nessun legame. Un caso estremo di contiguità fra contesto si ha quando il problema è costituito solo dalla domanda. Dobbiamo ricordare che i problemi scolastici , a differenza di quelli reali, sono ETEROPOSTI , cioè chi pone il problema (l’insegnante o il libro) è persona diversa da chi poi lo risolve (l’allievo). Quindi, se si vuole ottenere un’azione dal lettore/allievo (la risoluzione del problema), è necessario che gli si comunichi esplicitamente una richiesta. Nei problemi standard la domanda appare in genere artificiosa, lontana dall’esperienza. La domanda in un problema standard può assumere diverse forme. In alcuni casi, invece della domanda, è presente una richiesta esplicita rivolta al lettore. Questa richiesta descrive il comportamento che l’insegnante si aspetta dall’allievo, cioè risolvere il problema. In altri casi è presente una domanda che contiene una richiesta implicita. È il caso di domande come “quanto…?” , “quali…?” , “come…?” , “chi…?” o altre forme che prevedono come risposta sì/no. Qui il lettore non è direttamente chiamato in causa, ma è l’interpretazione della situazione in cui il problema viene dato, cioè il contratto didattico , che completa la domanda con la richiesta implicita: “rispondi a questa domanda”. Se attraverso la domanda si comunica all’allievo l’ obiettivo da raggiungere, nel contesto si presentano le informazioni disponibili per la soluzione.
I bambini, fin da piccoli, interiorizzano uno schema delle storie , inteso come una sorta di conoscenza implicita costruita attraverso ripetute esposizioni alle storie. Dunque possiamo affermare che un testo narrativo presenta in genere meno difficoltà di comprensione rispetto ad altri, ad esempio di tipo descrittivo o argomentativo. Per quanto riguarda il sottogruppo in cui il contesto si presenta come un elenco di dati , il testo è di tipo descrittivo. A differenza dei testi narrativi, in cui c’è un legame temporale e causale, la coerenza di un testo descrittivo si limita al fatto che le sue parti fanno riferimento a un unico oggetto o situazione. In mancanza di legami temporali o causali, la comprensione di un’informazione non favorisce la comprensione delle altre. Di conseguenza, anche il legame tra contesto e domanda è molto debole: non c’è nesso causale o temporale, ma solo di argomento. L’esperienza ripetuta con questo tipo di problemi può portare l’allievo a non percepire l’assurdità di problemi come quello dell’ età del capitano , caratterizzati da una frattura logica fra contesto e domanda. Ricapitolando Esistono due sottogeneri di problemi: Problemi narrativi , in cui il contesto assume la forma di una storia ; Problemi descrittivi , in cui il contesto assume la forma di un elenco di dati. Questi sottogeneri rappresentano una parte importante dei problemi utilizzati nella pratica didattica, ma non li esauriscono. Infatti esistono anche problemi misti , che condividono caratteristiche dell’uno e dell’altro. Un ruolo cruciale è attribuito alle storie , sia in ambito linguistico che psicologico, poiché permettono di organizzare l’ esperienza a livello individuale e sociale. I bambini , fin da piccoli, interiorizzano uno schema delle storie , e questo rende un testo narrativo più facilmente comprensibile rispetto ad altri tipi di testo. I problemi narrativi sono quindi una risorsa didattica importante, perché la presenza di una storia — e non di una semplice situazione familiare — richiama schemi cognitivi in grado di evocare il vissuto dell’allievo e la sua conoscenza del mondo. Questo dovrebbe favorire la comprensione , almeno per quanto riguarda il contesto. All’estremo opposto ci sono i problemi descrittivi , che presentano molti limiti dal punto di vista didattico. Potremmo concludere che, in un problema narrativo , la presenza di una storia faciliti il processo di comprensione , rappresentazione ed eventualmente la soluzione. Tuttavia, la realtà è più complessa: la comprensibilità di una storia dipende da numerosi fattori, legati alla formulazione del testo. Inoltre, il problema non si riduce al contesto , ma comprende anche una domanda , che deve anch’essa essere compresa.
Capitolo 4 La comprensione della storia in un problema narrativo Una delle proprietà più importanti della storia è sicuramente la dimensione temporale , quella che Bruner definisce sequenzialità. La comprensione di un testo narrativo richiede innanzitutto la comprensione dei tempi degli avvenimenti narrati. Essa può risultare più o meno problematica a seconda della scelta del narratore, che può disporre gli eventi in ordine naturale oppure no , e quindi toccherà al lettore ricostruirne la sequenza attraverso gli indicatori temporali presenti nel testo. A tal proposito dobbiamo fare riferimento alla distinzione importante tra fabula e intreccio. La fabula è la materia prima del racconto, gli eventi di cui è composta la storia; l’ intreccio rappresenta il modo e l’ordine in cui il lettore diviene consapevole di ciò che è accaduto (vedi Bruner). Altro elemento importante in un testo narrativo è che le varie parti del testo sono legate da rapporti di causalità che bisogna riconoscere ai fini della comprensione. Ma per capire il nesso causale bisogna comprendere i motivi delle azioni dei protagonisti , ossia l’ intenzionalità , come la definisce Bruner. La comprensione di una storia quindi mette in gioco un tipo di pensiero in grado di comprendere le persone, le loro intenzioni e i loro sentimenti: è quello che Bruner definisce PENSIERO NARRATIVO , distinguendolo dal pensiero paradigmatico o logico-scientifico. Il pensiero logico si occupa di categorizzare la realtà, ma non è sufficiente per mettere in relazione e cogliere il significato di sentimenti, convinzioni, desideri, ecc. Il pensiero narrativo invece permette di interpretare i fatti umani. Anche se, come sottolinea Bruner, questi due tipi di pensiero sono irriducibili l’uno all’altro, questo non significa che il pensiero narrativo sia da ostacolo per la risoluzione di un problema o, più in generale, per l’apprendimento della matematica. Anzi, può essere una risorsa e non un elemento di disturbo. Non c’è nessuna contrapposizione a priori tra pensiero narrativo e soluzione dei problemi; anzi narrazioni e problemi sono collegati. Ad esempio, nel famoso problema “L’età del capitano” è proprio il pensiero narrativo che ci aiuta a dare un senso a una situazione che apparentemente non ne ha. Inoltre c’è un altro legame tra storie e problemi: una storia presenta sempre una situazione problematica.
Nel caso in cui il narratore del problema sia a focalizzazione zero o esterna, si notano elementi di artificiosità. La Zan definisce questo narratore come “perverso” o “reticente” : non si capisce il suo punto di vista e perché ciò che racconta è così artificioso; non dà le informazioni necessarie per risolvere il problema, oppure le dà in modo contorto o ne omette alcune. Quindi, gli elementi di artificiosità sono: artificiosità delle informazioni rilevanti per la soluzione scelta artificiosa delle informazioni rilevanti per la soluzione (narratore reticente) modo artificioso di dare tali informazioni (narratore perverso) Nei problemi descrittivi possiamo riconoscere un descrittore reticente , che tace informazioni che conosce in modo molto artificioso.
Capitolo 5
Dalla comprensione della storia alla comprensione del problema
Nel caso dei problemi scolastici può accadere che la comprensione della storia ostacoli invece che aiutare il processo risolutivo, poiché l’allievo si perde nei dettagli narrativi, perdendo di vista gli aspetti matematici rilevanti per la soluzione. Per comprendere un problema non è sufficiente comprendere la storia: è necessario farsi carico della domanda , comprenderla e poi attivare i processi risolutivi necessari. Ma se domanda e contesto non sono sufficientemente legati , un testo ricco di dettagli narrativi può far perdere di vista la richiesta del problema. Nel suo libro Come ragionano i bambini , la studiosa Donaldson discute alcune classiche prove di Jean Piaget , criticando l’interpretazione che di solito viene data delle risposte dei bambini, poiché considerate indicatori di difficoltà di ragionamento. Lei sottolinea che spesso i bambini non capivano le domande dello sperimentatore. La Donaldson ritiene che la formulazione del compito abbia una grande responsabilità nel dirigere il bambino verso una domanda diversa da quella effettivamente posta. Nella prova di Piaget finalizzata a verificare la capacità del bambino di rendersi conto del punto di vista di un altro , viene usato un modello costituito da tre montagne diverse tra loro. Il modello è posto su un tavolo, il bambino siede da una parte e lo sperimentatore mette una bambola in una posizione diversa. Al bambino viene chiesto che cosa vede la bambola , scegliendo fra alcune raffigurazioni. In genere i bambini di otto anni rispondono scorrettamente, poiché scelgono la figura che rappresenta il proprio punto di vista e non quello della bambola.
Piaget interpreta questo come incapacità del bambino di considerare il proprio punto di vista come uno dei tanti possibili. La Donaldson critica questa conclusione, sostenendo che una modifica del contesto può dare risposte diverse. Utilizza un’altra storia (tre pupazzi, due poliziotti e un bambino: si chiede al bambino di nascondere il pupazzo ai poliziotti) e i risultati migliorano: quasi il 90% risponde correttamente. Questo perché la richiesta è comprensibile , ha uno scopo chiaro , è coerente , e il compito richiede schemi basati sulla logica delle azioni. Nel caso dei problemi in cui vi è una storia, è importante che la domanda sia legata al contesto e faccia riferimento agli elementi cruciali della storia; altrimenti il problema appare spezzato in due parti: si crea una FRATTURA NARRATIVA fra storia e domanda. Ciò può avere conseguenze importanti sui processi risolutivi attivati dall’allievo. Nei problemi standard anche quando la domanda richiama un personaggio della storia, questo richiamo appare spesso di facciata , non collegato da nessi temporali o causali. Conoscere la risposta alla domanda non serve a un personaggio per raggiungere uno scopo che abbia “senso umano”. Se vogliamo che la comprensione della storia narrata sostenga la comprensione della domanda e quindi del problema nel suo complesso, possiamo formulare il testo in modo che ricalchi lo schema di storia che i bambini hanno interiorizzato. In un problema narrativo in cui vi è un forte legame tra storia e domanda, la storia si presenta come aperta , e la domanda chiede di completarla , trovando un modo per raggiungere uno scopo. Se la storia è già chiusa , cioè descrive fatti già accaduti, ogni domanda sarà percepita dall’allievo come artificiosa.
Ricapitolando, ci sono due tipi di frattura narrativa:
- Nella domanda non c’è riferimento ad alcun personaggio della storia.
- La domanda non emerge narrativamente dalla storia : non è una domanda che si pone o si potrebbe porre un personaggio, ma una domanda sulla storia.
Due test di continuità narrativa:
Primo test: nella domanda si fa riferimento ai personaggi della storia? Secondo test: a quale personaggio della storia serve conoscere la risposta alla domanda per raggiungere un suo scopo?
Problemi indiretti: il modello Sfinge
Una tipologia molto diffusa in cui la storia ha uno o più protagonisti che devono superare una prova per raggiungere uno scopo. La prova consiste proprio nel problema matematico su cui si vuole far lavorare gli allievi.
irrilevanti o, se necessario, rinunciare alla storia. In alcuni casi vale la pena riformulare in profondità , soprattutto quando si vogliono introdurre concetti significativi come la proporzionalità , l’ area , le frazioni o le operazioni. Da qui nasce la distinzione tra problemi “a righe” e problemi “a quadretti”. I primi sono caratterizzati da una forte integrazione tra narrazione e matematica : i dettagli della storia sono funzionali alla comprensione e la lettura selettiva non basta. Nei secondi, invece, l’attenzione è limitata alla struttura matematica , con il rischio di scollegarsi dal senso narrativo e dal vissuto dell’allievo. I problemi a righe riducono la frattura tra scuola e realtà , rendendo l’attività matematica più significativa. Naturalmente, testi più lunghi e complessi possono inizialmente abbassare la performance degli studenti , abituati a cercare solo numeri e parole-chiave. Ma l’ obiettivo dell’educazione non è ottenere risposte immediate e corrette , bensì promuovere comprensione e crescita. La capacità di cogliere i dati essenziali in testi complessi non è un prerequisito , ma un traguardo da raggiungere. Per questo è indispensabile curare le competenze linguistiche , così da superare la frattura tra matematica e lingua naturale. I problemi a righe devono trovare spazio nella pratica didattica fin dalla scuola primaria. Essi permettono di introdurre la risoluzione di problemi attraverso storie che sono problemi , trasmettendo agli studenti un messaggio di continuità tra scuola e realtà. Solo così la matematica può recuperare senso e diventare un’ occasione autentica di crescita.
