Średnia geometryczna, Notatki z Matematyka

Pobierz Średnia geometryczna i więcej Notatki w PDF z Matematyka tylko na Docsity!

Średnia geometryczna

Wprowadzenie Przeczytaj Infografika Sprawdź się Dla nauczyciela

W tym materiale poznamy średnią geometryczną. Średnia ta zaliczana jest do miar wartości przeciętnej, które wskazują wartość typową dla badanej populacji. Jest to miara mianowana, a jej miano jest takie samo, jak to, które posiadają dane, z których jest obliczona. Średnia geometryczna ma zastosowanie przede wszystkim wtedy, gdy mamy do czynienia z wielkościami zmieniającymi się w postępie geometrycznym. Z takimi zjawiskami można spotkać się na przykład w demografii, w badaniach dotyczących wzrostu lub spadku dochodu narodowego. W systemach elektronicznych częstotliwość środkowa, w optyce powłoka antyrefleksyjna, w filmie współczynnik kształtu – te wielkości również wyrażane są za pomocą średniej geometrycznej.

My skoncentrujemy się głównie na zastosowaniach matematycznych tej średniej.

Twoje cele

Obliczysz średnią geometryczną danych liczb. Zinterpretujesz geometrycznie średnią geometryczną. Zastosujesz średnią geometryczną w obliczeniach z innych dziedzin wiedzy.

Źródło: dostępny w internecie: pikrepo.com, domena publiczna.

Średnia geometryczna

Zauważmy, że średnia geometryczna może być liczbą wymierną dodatnią, bądź niewymierną dodatnią. Nie może być zerem, ani liczbą ujemną, gdyż zakładamy, że określamy średnią geometryczną tylko dla wartości dodatnich (w przeciwieństwie np. do średniej arytmetycznej).

Definicję średniej geometrycznej można uogólnić, na przypadek liczb.

Definicja: Średnia geometryczna

Średnią geometryczną liczb dodatnich , , , , , gdzie nazywamy liczbę

W przypadku trzech liczb , , średnią geometryczną tych liczb można interpretować, jako długość krawędzi sześcianu, którego objętość jest równa objętości prostopadłościanu o długościach krawędzi , ,.

Przykład 2

Obliczymy średnią geometryczną:

liczb , , ,

,

liczb , , , , ,

.

W przypadku odliczania średniej geometrycznej dużej liczby danych, obliczanie pierwiastków wyższych stopni może sprawiać kłopot, zatem wygodniej jest korzystać wtedy z postaci zlogarytmowanej tej średniej.

Na przykład jeśli liczby , , są dodatnie i to

Z własności logarytmu potęgi i logarytmu iloczynu wynika, że

Zatem logarytm przekształca zależności zapisane za pomocą iloczynu w zależności zapisane za pomocą sumy. Zauważmy też, że liczby , , tworzą ciąg arytmetyczny.

¯xg = √2 ⋅ 3 = √ 6

n

n a 1 a 2 a 3... an n = 2, 3, 4,...

x¯g = √na 1 ⋅a 2 ⋅a 3 ⋅...⋅an

a b c

a b c

¯xg = √^4 2⋅2⋅4⋅16 = √^4 256 = 4

¯xg =^ √^6 4⋅5⋅6⋅10⋅11⋅13 =^ √^6 171600 ≈ 7, 45

a b c c = √ab

log c = log(√ab)

log c = log^ a+log 2 b

log a log b log c

Średnia geometryczna danych liczb dodatnich jest zawsze nie mniejsza od średniej harmonicznej tych liczb i nie większa od ich średniej arytmetycznej.

Twierdzenie: Nierówność między średnimi

Dla dodatnich liczb rzeczywistych , , , zachodzą następujące zależności

Średnia geometryczna a ciąg geometryczny

Przypomnimy teraz zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego.

Twierdzenie: Zależność między trzema kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego

Jeżeli ciąg jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, to każdy wyraz tego ciągu (za wyjątkiem wyrazu pierwszego i ostatniego – w przypadku ciągu skończonego) jest średnią geometryczną wyrazów z nim sąsiadujących.

dla.

Powyższą zależność można uogólnić:

Jeżeli jest ciągiem geometrycznym o wyrazach dodatnich, nie jest ani pierwszym wyrazem ciągu, ani ostatnim, to

dla , i.

Przykład 3

Liczby dodatnie , , , w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny. Znajdziemy wyrazy tego ciągu.

Liczby , , są liczbami dodatnimi, czyli:

i i.

Zatem.

Wiemy, że wyraz środkowy, czyli jest średnią geometryczną wyrazów skrajnych, czyli:

a 1 a 2... an

1 n a 1 +^ a^12 +...+^ an^1

≤ √na 1 ⋅a 2 ⋅...⋅an ≤ a^1 +a^2 +...+ n an

(an)

an = √an−1 ⋅ an+

n = {2, 3, 4,... }

(an) an

an = √an−k ⋅ an+k

n = {2, 3, 4,... } k = {1, 2, 3,... } k < n

x + 4 2x x − 15

x + 4 2x x − 15

x + 4 > 0 ⇒ x > −4 2 x > 0 ⇒ x > 0 x − 15 > 0 ⇒ x > 15

x > 15

2 x

2 x = √(x + 4)(x − 15 )

Mamy wykazać, że.

Oznaczmy:

• iloraz ciągu.

Wyrazy ciągu są dodatnie, zatem.

Przekształcimy każdą ze stron dowodzonej równości, zapisując wyrazy ciągu za pomocą wyrazu pierwszego i ilorazu.

Zaczniemy od lewej strony.

Korzystamy z własności iloczynu potęg o tych samych podstawach – wykładniki dodajemy.

Suma to suma kolejnych wyrazów ciągu arytmetycznego, zatem

Otrzymujemy:

Liczby i są dodatnie, więc

Teraz pora na przekształcenie prawej strony dowodzonej równości.

Zapisując pierwiastek w postaci potęgi o wykładniku ułamkowych, otrzymujemy

Zatem:

√^ na 1 ⋅a 2 ⋅a 3 ⋅...⋅an = √a 1 ⋅^ an

q

q > 0

L = √na 1 ⋅a 2 ⋅a 3 ⋅...⋅an

L = √na 1 ⋅a 1 ⋅q⋅a 1 ⋅q^2 ⋅...⋅a 1 ⋅qn−

L = √na 1 n⋅q1+2+3+...+n−

1 + 2 + 3+... +n − 1

1 + 2 + 3+... +n − 1 = 1+n 2 −1 ⋅ (n − 1) = n(n 2 −1)

L = √na 1 n⋅q

n(n−1) 2

a 1 q

L = a 1 ⋅ q

n−1 2

P = √a 1 ⋅ an

P = √a 1 ⋅ a 1 ⋅ qn−

P = √a 12 ⋅ qn−

P = (a 12 ⋅ qn−1)

(^12)

P = a 1 ⋅ q

n−1 2

, co kończy dowód.

Średnia geometryczna w statystyce

W statystyce średnia geometryczna znajduje zastosowanie przy badaniu średniego tempa zmian zjawisk, gdy zjawiska zmieniają się w ujęciu dynamicznym. Średnia geometryczna mówi o wzroście lub spadku wartości danej zmiennej w badanym okresie, co jest szczególnie przydatne przy analizie wyników inwestycyjnych. Średnią geometryczną często wtedy wyrażamy w procentach.

Przykład 5

Pan Kowalski zainwestował kwotę. W trzech kolejnych latach kapitał zainwestowany osiągnął następujące wartości: na koniec pierwszego roku, na koniec drugiego roku, na koniec trzeciego roku. Obliczymy średnią stopę zwrotu zainwestowanego kapitału na koniec rozważanego okresu.

Stopa zwrotu to wyrażony w procentach zwrot osiągnięty z inwestycji w danym roku w relacji do jej kosztu.

Aby obliczyć, czy inwestycja przynosi zysk czy straty w dłuższym okresie czasu, obliczamy średnią geometryczną tzw. indeksów. Indeks to miernik, który porządkuje wyniki pewnej liczby szczegółowych obserwacji, charakteryzuje zmiany w czasie. Indeks obliczymy jako iloraz kapitału w okresie przez kapitał w okresie.

Obliczenia zapiszemy w tabelce.

Odpowiedź:

Średnia stopa zwrotu to około.

Okres Wartość kapitału Indeks

Iloczyn indeksów Średnia geometryczna indeksów Średnia stopa zwrotu (średnia geometryczna indeksów ) Średnia stopa zwrotu wyrażona w procentach

P = L

100 zł

80 zł 50 zł

90 zł

n n − 1

√^3 0,9 ≈ 0, 9655

Jeżeli w trójkątach i boki i są równoległe oraz boki i są równoległe (patrz rysunek), to.

Przykład 8

Dane są odcinki o długościach i. Skonstruujemy odcinek , którego długość jest średnią geometryczną długości tych odcinków.

Rysujemy prostą, na której odkładamy odcinki i.

Kreślimy półokrąg o średnicy.

Przez punkt prowadzimy prostą prostopadłą do prostej.

Prosta ta przecina półokrąg w punkcie.

Odcinek.

ABD BCE AD BE BD CE

P△BED = √P△ABD ⋅ P△BCE

a b c

|OA| = a |AB| = b

OB

A OB

C

|CA| = √ab = c

Poprawność tej konstrukcji wynika z podobieństwa trójkątów , i.

W trójkącie kąt jest prosty (jako kąt oparty na półokręgu), trójkąty i są również prostokątne i ich kąty ostre są odpowiednio równe.

Zatem:

Przykład 9

Okrąg o środku i średnicy jest styczny zewnętrznie do okręgu o środku i średnicy , przy czym. Prosta jest wspólną styczną do tych okręgów, odpowiednio w punktach i. Wykażemy, że.

OBC OAC CAB

OBC OCB OAC

CAB

|CA|

a =^

b |CA|

|CA|^2 = ab

|CA| = √ab

O 1 a O 2

b a > b p

A B |AB| = √ab

średnią geometryczną dwóch liczb dodatnich a i b nazywamy taką liczbę dodatnią , żec

a c = c b

Infografika

Polecenie 1

Zapoznaj się z infografiką. Najpierw samodzielnie spróbuj rozwiązać zapisany w infografice problem.

Polecenie 2

Przez pięć lat badano liczebność pewnego owada w wybranym siedlisku.

Uzyskano następujące dane: w pierwszym roku sztuk owadów, w drugim roku sztuk, w trzecim roku sztuk w czwartym roku sztuk, w piątym roku sztuk. Oblicz średni współczynnik wzrostu populacji obserwowanego owada. Wynik zaokrąglij do części setnych.

20 40 20 20 80

Ćwiczenie 2

Przedstawione na rysunku poniżej trójkąty równoramienne i są podobne. Co z tego wynika?

BCD ACD

Zaznacz poprawną odpowiedź.

|BD| = √|CD| ⋅ |AD|

|AD| = √|BD| ⋅ |CD|

|CD| = √|BD| ⋅ |AD|

輸

Ćwiczenie 3

Uzupełnij obliczenia średniej geometrycznej, wpisując odpowiednie liczby.

Liczby Średnia geometryczna danych liczb

Ćwiczenie 4

Dane liczby, w podanej kolejności, tworzą ciąg geometryczny o wyrazach dodatnich. Połącz w pary wyrazy ciągu i odpowiadającą mu wartość liczby x.

x − √3, √13, x + √ 3 x^ = 1

1

3 ,^

1

x^ ,^

3

x+2 x^ = 2

3 − √x, √x + 3, 7 + √x x = 5

3

x^ ,^

x

3 ,^

125

27 x^ = 4

Ćwiczenie 5

Roczny procentowy przyrost przychodów pewnego przedsiębiorstwa w kolejnych czterech latach wynosił: , , ,. Oblicz średni przyrost dochodów w tym okresie. Skorzystaj ze średniej geometrycznej (wynik zaokrąglij do ), odpowiedź podaj w procentach.

醙

醙

醙

Ćwiczenie 7

Wśród prostokątów o przekątnej długości wskaż ten, który ma największe pole. Uzupełnij rozwiązanie zadania, przeciągnij odpowiednie wyrażenia.

Oznaczmy przez , długości boków. Na podstawie warunków zadania i twierdzenia Pitagorasa, zapisujemy:

Pole prostokąta jest równe:

Z zależności między średnią geometryczną a arytmetyczną wynika, że

Przy czym równość zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy , czyli gdy. Zatem:

Odpowiedź: Największe pole ma kwadrat o boku długości.

a b

a^2 + b^2 =

P = ab =

P = √a^2 ⋅ b^2 = 1002 = 50

a = b

P = ab = = 50

a = √50 =

100 5√ 2 a^2 = b^2 prostokąta ≤ a

(^2) +b 2

2 √a^2 ⋅^ b^2 a^ ⋅^ a

難

Ćwiczenie 8

Trójkąt jest trójkątem prostokątnym, w którym przeciwprostokątna ma długość. Odcinek jest wysokością tego trójkąta i. Wykaż, że.

ABC AC a

BD |DC| = b |BC| = √ab

難