Zastosowanie logarytmów, Prezentacje z Konstruktywizm

Pobierz Zastosowanie logarytmów i więcej Prezentacje w PDF z Konstruktywizm tylko na Docsity! Zastosowanie logarytmów ». Wprowadzenie » Przeczytaj » Animacja » Sprawdź się » Dla nauczyciela Kiedy w 1614 r. John Napier opublikował swoją słynną pracę Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio, nie opisał w niej popularnych obecnie logarytmów dziesiętnych, ale zamieścił informacje o logarytmach tzw. naturalnych. Dopiero później weszły do powszechnego użycia logarytmy o podstawie . Logarytmy naturalne, oznaczane zwykle symbolem , często zwane dzisiaj logarytmami Napiera, to logarytmy o podstawie oznaczonej literą . Liczba ta, to znana Ci na pewno stała matematyczna, wykorzystywana w obliczeniach z fizyki i innych dziedzin wiedzy. Źródło: dostępny w internecie: pixabay.com, domena publiczna. 10 ln e e = 2, 71828. . . Zastosowanie logarytmów John Napier (1550 - 1617) - wynalazca logarytmów Źródło: dostępny w internecie: commons.wikimedia.org, domena publiczna. - co oznacza, że funkcja jest nieparzysta. W zastosowaniach praktycznych często zachodzi konieczność porównywania logarytmów. W takich przypadkach korzystamy z monotoniczności funkcji logarytmicznej. Jeśli podstawa logarytmu jest większa od , to funkcja logarytmiczna jest rosnąca.                                                                                        dla Jeśli podstawa logarytmu jest większa od , ale mniejsza od , to funkcja logarytmiczna jest malejąca.    dla Przykład 2 Określimy, dla jakich liczb rzeczywistych spełniona jest nierówność . Oznaczmy: , pamiętając, że . Rozpatrywana nierówność przybiera postać . Stąd lub . Wynika z tego, że lub . Podstawa logarytmu jest mniejsza od , więc Odpowiedź: . Umiejętność analizowania nierówności logarytmicznych może przydać się też w rozwiązywaniu równań kwadratowych. Przykład 3 Określimy, dla jakich wartości parametru równanie ma dwa różne pierwiastki. f(−x) = log 1 − log( √ 1 + x 2 − x) = 0 − log( √ 1 + x 2 − x) f(−x) = − log( √ 1 + x 2 − x) f(−x) = −f(x) f a 1 log a x < log a y  ⇔  x < y a > 1 a 0 1 log a x < log a y  ⇔  x > y 0 < a < 1 x (log 0,5 x) 2 > 100 log 0,5 x = t x > 0 t 2 > 100 t > 10 t < −10 log 0,5 x > 10 log 0,5 x < −10 1 log 0,5 x > 10 ⇔ 0 < x < (0, 5) 10 log 0,5 x < −10 ⇔ x > (0, 5) −10 x ∈ (0;  0, 5 10 ) ∪ (0, 5 −10 ;  ∞) k x 2 − 2x+ log 0,1 k = 0 Na podstawie definicji logarytmu wiemy, że . Równanie kwadratowe ma dwa różne pierwiastki, gdy . Rozwiązujemy nierówność. Podstawa logarytmu jest liczbą mniejszą od . Funkcja jest malejąca. Zatem . Liczba musi więc spełniać koniunkcję nierówności i  , stąd . Odpowiedź: . Udowodnimy teraz twierdzenie, które często jest pomocne przy upraszczaniu wyrażeń logarytmicznych. Twierdzenie: O logarytmie potęg Jeżeli , to . Dowód Przekształcamy lewą stronę dowodzonej równości, korzystając ze wzoru na zmianę podstawy logarytmu i ze wzoru na logarytm potęgi. Otrzymujemy prawą stronę dowodzonej równości, co kończy dowód. Przykład 4 Obliczymy wartość wyrażenia , korzystając z twierdzenia o logarytmie potęg. k > 0 Δ > 0 Δ = 2 2 − 4 log 0,1 k 4 − 4 log 0,1 k > 0 1 − log 0,1 k > 0 log 0,1 k < 1 ⇔ log 0,1 k < log 0,1 0, 1 1 y = log 0,1 x k > 0, 1 k k > 0 k > 0, 1 k > 0, 1 k ∈ (0, 1;  ∞) a > 0, a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, k ∈ R, k ≠ 0, p ∈ R log a k b p = p k log a b log a k b p = log b p log a k = p log b k log a = p k log a b W = log 3 4 9 6 + log 10 −2 10 5 W = log 3 4 9 6 + log 10 −2 10 5 W = 6 4 log 3 9 + 5 −2 log 10 10 = 3 2 ⋅ 2 − 2, 5 ⋅ 1 = 3 − 2, 5 = 0, 5 Logarytmy często wplatane są do zadań o ciągach liczbowych. Poniżej przykład takiego zadania. Przykład 5 Liczby dodatnie  tworzą ciąg geometryczny rosnący. Suma tych liczb jest równa , a suma ich logarytmów dziesiętnych jest równa . Znajdź te liczby. Oznaczmy: – iloraz rozpatrywanego ciągu. Liczby tworzą ciąg geometryczny, zatem możemy zapisać: – pierwszy wyraz ciągu, – drugi wyraz ciągu, – trzeci wyraz ciągu. Suma logarytmów dziesiętnych wyrazów ciągu  jest równa , zatem . Korzystamy z twierdzenia o logarytmie iloczynu. Korzystamy z twierdzenia o logarytmie potęgi. Stąd ( , bo ciąg jest rosnący). Wiemy też, że suma wyrazów ciągu jest równa . Podstawiamy do zapisanego równania w miejsce a wyznaczoną liczbę i rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe. (a,  b,  c) 62 3 q (a,  b,  c) a b = aq c = aq 2 3 log a+ log aq + log aq 2 = 3 log(a ⋅ aq ⋅ aq 2 ) = 3 log(aq) 3 = 3 3 log(aq) = 3/ : 3 log(aq) = 1 log(aq) = log 10 aq = 10 a = 10 q q ≠ 0 62 a+ aq + aq 2 = 62 10 q + 10 q ⋅ q + 10 q ⋅ q 2 = 62 Animacja Polecenie 1 Zapoznaj się z animacją. Znajdziesz w niej powtórzenie wszystkich poznanych do tej pory wzorów ułatwiających obliczenia logarytmiczne. Film dostępny pod adresem hps://zpe.gov.pl/a/D18hP9uDk Film nawiązujący do treści materiału Polecenie 2 Wykaż, że jeśli to .a ∈ (0, 1), b > 0 log a ( 2ab a+b ) ≥ log a (ab) Sprawdź się Pokaż ćwiczenia: 輸醙難 Ćwiczenie 1 Przyjmując, że określ ile cyfr ma w rozwinięciu dziesiętnym liczba .log 3 = 0, 4771 3 100 46 100 47 48 Ćwiczenie 2 Wiadomo, że , i . Wtedy: a > 0 a ≠ 1, b > 0, b ≠ 1, c > 0, c ≠ 1,x > 0 log a x = A, log b x = B,   log c x = C log abc x = ABC A−B−C log abc x = ABC AB+AC+BC log abc x = A+B+C ABC log abc x = A−B−C A+B+C         輸 輸 Ćwiczenie 3 Uzupełnij zdania, przeciągając odpowiednie wyrazy. Jeżeli dodatnia podstawa logarytmu jest od , to większej liczbie logarytmowanej odpowiada mniejsza wartość logarytmu. Jeśli dodatnia podstawa logarytmu jest od , to większej liczbie logarytmowanej odpowiada większa wartość logarytmu. Logarytm potęgi jest równy wykładnika potęgi przez logarytm podstawy potęgi. Logarytm przy danej podstawie iloczynu liczb dodatnich jest równy logarytmów tych liczb przy tej samej podstawie. 1 1 ilorazowi sumie równa mniejsza większa różnicy iloczynowi Ćwiczenie 4 Dane jest równanie . Zaznacz zdania prawdziwe. Równanie to można zapisać w postaci równoważnej jako . Rozwiązanie danego równania prowadzi do rozwiązania równania . Dziedziną tego równania jest zbiór . Rozwiązania równania to: , . 2 log 3 (x+ 4) − log 3 (2x− 1) − log 3 (x− 4) = 2 log 3 ( x−4 2x−1 ) = log 3 [9(x− 4)] 17x 2 − 89 x+ 20 = 0 (4,∞) x = 5 x = 4 14     醙 醙 buduje  model matematyczny problemu, uwzględniając  konieczne założenia i zastrzeżenia. Strategie nauczania: konstruktywizm. Metody i techniki nauczania: technika porównań binarnych, koszyk pomysłów. Formy zajęć: praca w parach, praca w grupach, praca całego zespołu klasowego. Środki dydaktyczne: komputery z dostępem do Internetu w takiej liczbie, żeby każdy uczeń miał do dyspozycji komputer, kartki, mazaki, koszyk. Przebieg lekcji Faza wprowadzająca: Uczniowie metodą koszyka pomysłów przygotowują kartki, na których zapisują związane z logarytmami poznane twierdzenia, wzory, przykłady rozwiązanych zadań, definicje, itp. Kartki wrzucają do kosza, z którego będzie można je pobierać, szukając inspiracji do rozwiązania zadań. Uczniowie na tym etapie powtarzania wiadomości mogą korzystać z zeszytów, komputera, książek. Powinna to być praca indywidualna – każdy uczeń przygotowuje w ten sposób co najmniej 5 karteczek. Nauczyciel podaje temat i cele zajęć, uczniowie ustalają kryteria sukcesu. Faza realizacyjna: Uczniowie pracują w parach. Ich zadaniem jest samodzielne rozwiązanie przykładów przedstawionych w sekcji Przeczytaj. Zatem uczniowie czytają  dane polecenie, próbują rozwiązać problem. W razie wątpliwości mogą zajrzeć do kosza pomysłów i odnaleźć potrzebne twierdzenie lub rozwiązanie zadania podobnego typu. Swoje rozwiązania porównują z tymi, zawartymi w sekcji Przeczytaj. Techniką porównań binarnych sporządzają do każdego zadania tabelę porównawczą, w której zapisują plusy lub minusy danego sposobu rozwiązania. Po zakończonej pracy uczniowie prezentują swoje tabele, jak również przedstawiają oryginalne rozwiązania, czy pomysły. Dyskusja – czy można wypracować  ramowy szablon rozwiązywania zadań z logarytmami. Faza podsumowująca: Wskazany przez nauczyciela uczeń przedstawia krótko  najważniejsze elementy zajęć, poznane wiadomości, ukształtowane umiejętności. Nauczyciel omawia przebieg zajęć, wskazuje mocne i słabe strony pracy uczniów, ocenia pracę par. Karteczki znajdujące się w „koszu pomysłów” warto zachować, gdyż mogą być w przydatne na następnych zajęciach poświęconych logarytmom. Praca domowa: Zadaniem uczniów jest zapoznanie się z animacją i, korzystając z podanych tam wzorów, rozwiązanie zadań interaktywnych zawartych w sekcji Ćwiczenia sprawdzające. Materiały pomocnicze: Działania na logarytmach Wskazówki metodyczne: Animacja omawia wzory przydatne w przekształceniach logarytmicznych, może być  zatem pomocna na kolejnych zajęciach poświęconych zastosowaniom logarytmów np. w fizyce i chemii.