Formelsammlung Mathematik (AHS), Skripte von Mathematik

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Stand: 23. September 2019

Formelsammlung

für die standardisierte kompetenzorientierte

schriftliche Reifeprüfung (SRP)

Mathematik (AHS)

Inhaltsverzeichnis

Rechenregeln

a, b ∈ ℝ{0}; r, s ∈ ℤ a, b ∈ ℝ 0 +; m, n, k ∈ ℕ{0} mit m, n ≥ 2 bzw. a, b ∈ ℝ+;^ r, s ∈ ℚ

a r^ ∙ a s^ = a r^ +^ s^

 n a · b =

 n a ∙

 n b a r a s^ =^ a^

r – s  n ak = ( n a)k

(a r)s^ = a r^ ∙^ s^ ab

 n (^) =

 n a n (^) b (b^ ≠ 0)

(a ∙ b)r^ = a r^ ∙ b r^  m (^) a

 n (^) = n · m (^) a

(

a b)

r = a^

r br

Binomische Formeln

a, b ∈ ℝ; n ∈ ℕ

(a + b)^2 = a^2 + 2 ∙ a ∙ b + b^2 (a + b)n^ = k = 0

∑

n ( )

n k ∙^ a^

n – k (^) ∙ b k

(a – b)^2 = a^2 – 2 ∙ a ∙ b + b^2 (a^ –^ b)n^ =^ k ∑= 0

n (–1)k^ ∙ (^) ( )nk ∙ a n^ –^ k^ ∙ b k

(a + b) ∙ (a – b) = a^2 – b^2

4 Logarithmen

a, b, c ∈ ℝ+^ mit a ≠ 1; x, r ∈ ℝ

x = loga(b) ⇔ a x^ = b

loga(b · c) = loga(b) + loga(c) loga(bc) = loga(b) – loga(c) loga(b r^ ) = r · loga(b)

loga(a x) = x loga(a) = 1 loga(1) = 0 loga(^1 a) = –

natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis ℯ): ln(b) = logℯ(b) dekadischer Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10): lg(b) = log 10 (b)

5 Quadratische Gleichungen

p, q ∈ ℝ a, b, c ∈ ℝ mit a ≠ 0

x^2 + p ∙ x + q = 0 a ∙ x^2 + b ∙ x + c = 0

x1, 2 = – p 2 ± (^) (p 2 )

2

• q

 x1, 2 = – b^ ±^

 b^2 – 4 · a · c 2 · a

Satz von Vieta

x 1 und x 2 sind genau dann die Lösungen der Gleichung x^2 + p ∙ x + q = 0, wenn gilt: x 1 + x 2 = –p x 1 ∙ x 2 = q

Zerlegung in Linearfaktoren: x^2 + p ∙ x + q = (x – x 1 ) ∙ (x – x 2 )

6 Ebene Figuren

A ... Flächeninhalt u ... Umfang

Dreieck

u = a + b + c

Allgemeines Dreieck

Rechtwinkeliges Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a, b

A =

a · ha 2 =^

b · hb 2 =^

c · hc 2 b

c

hb a

ha hc

A = a^2 ·^ b= c^ · 2 h c b

c

a h (^) c

Heron’sche Flächenformel Satz des Pythagoras

A =

 s · (s – a) · (s – b) · (s – c) mit s = a^ +^ b 2 +^ c a^2 + b^2 = c^2

Viereck

Quadrat

a a

a

a

Rechteck b b

a

a

A = a^2 A = a · b

u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b

Raute (Rhombus)

a

a a

e

a f ha

Parallelogramm

a

b b

a

A = a ∙ ha = (^) ha hb e · f 2 A^ =^ a^ ∙^ ha^ =^ b^ ∙^ hb u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b

Trapez

a

d b

c

h

Deltoid

A = (a^ +^2 c ) ·^ h A = e^2 ·^ f

u = a + b + c + d u = 2 ∙ a + 2 ∙ b

Kreis

Kreisbogen und Kreissektor

A = π ∙ r^2 = π ·^ d

2 4 M

r d = 2 · r

α im Gradmaß (°)

α M

r

b

r

A u = 2 ∙ π ∙ r = π ∙ d b^ = π ∙^ r^ · 180°^ α

A = π ∙ r^2 · 360°^ α = b^2 ·^ r

a a

b

f

b e

Trigonometrie im Einheitskreis

sin^2 ( α) + cos^2 ( α) = 1

tan( α) = (^) cos(sin(^ α α)) für cos( α) ≠ 0

1

0

1

–1 0 1

tan( )

α sin( )

α

cos( ) α

α

y

x

9 Vektoren

P, Q ... Punkte

Vektoren in ℝ^2 Vektoren in ℝn

Pfeil von P nach Q: Pfeil von P nach Q:

P = ( p 1 | p 2 ), Q = (q 1 | q 2 ) P = ( p 1 | p 2 | ... | pn), Q = ( q 1 | q 2 | ... | qn)

PQ = ( q q^1 –^ p^1 )

2 –^ p 2

PQ =

q 1 – p 1 q 2 – p 2 ... qn – pn

Rechenregeln in ℝ^2 Rechenregeln in ℝn

a = ( )

a 1

a 2 ,^ b^ =^ ( )

b 1

b 2 ,^ a^ ±^ b^ =^ (^ )

a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 a^ =

a 1 a 2 ... an

, b =

b 1 b 2 ... b (^) n

, a ± b =

a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 ... a (^) n ± bn

k · a = k · ( )

a 1

a 2 =^ (^ )

k · a 1

k · a 2 mit^ k^ ∈ ℝ^ k^ ·^ a^ =^ k · ( )

a 1 a 2 ... an

=

k · a 1 k · a 2 ... k · a (^) n

mit k ∈ ℝ

Skalarprodukt in ℝ^2 Skalarprodukt in ℝn

a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + an · bn

Betrag (Länge) eines Vektors in ℝ^2 Betrag (Länge) eines Vektors in ℝn

| a | =

 a 12 + a 22 | a | =

 a 12 + a 22 + ... + an^2

Normalvektoren zu a = ( )

a 1

a 2 in^ ℝ

2 Winkel φ zwischen a und b in ℝ 2 und ℝ 3

n = k · ( – aa^2 )

1

mit k ∈ ℝ{0} und | a | ≠ 0 cos(^ φ) =^ a^ ·^ b | a^ | · | b |

mit | a | ≠ 0; | b| ≠ 0

Orthogonalitätskriterium in ℝ^2 und ℝ^3 Parallelitätskriterium in ℝ^2 und ℝ^3

a · b = 0 ⇔ a ⊥ b mit | a | ≠ 0; | b| ≠ 0 a ∥ b ⇔ a = k · b mit k ∈ ℝ{0}

und | a | ≠ 0; | b| ≠ 0

10 Geraden

g ... Gerade g ... ein Richtungsvektor der Geraden g n ... ein Normalvektor der Geraden g X, P ... Punkte auf der Geraden g k ... Steigung der Geraden g α ... Steigungswinkel der Geraden g a, b, c, k, d ∈ ℝ

Parameterdarstellung einer Geraden g in ℝ^2 und ℝ^3

g: X = P + t ∙ g mit t ∈ ℝ

Gleichung einer Geraden g in ℝ^2

explizite Form der Geradengleichung: g: y = k ∙ x + d dabei gilt k = tan( α)

allgemeine Geradengleichung: g: a ∙ x + b ∙ y = c }

dabei gilt n ∥ (^) ( )

a b für^ ( )

a b ≠^ ( )

0

Normalvektordarstellung: g: n ∙ X = n ∙ P^0

11 Änderungsmaße

Für eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion f gilt:

Absolute Änderung von f in [a; b]

f(b) – f(a)

Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]

f(b) – f(a) f(a) mit^ f(a) ≠ 0

Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. [x; x + ∆x]

f(b) – f(a) b – a bzw.^

f(x + ∆x) – f(x) ∆x mit^ b^ ≠^ a^ bzw. ∆x^ ≠ 0

Differenzialquotient (lokale bzw. „momentane“ Änderungsrate) von f an der Stelle x

f′(x) = (^) x lim 1 → x

f(x 1 ) – f(x) x 1 – x bzw.^ f′(x) =^ ∆limx → 0

f(x + ∆x) – f(x) ∆x

14 Wahrscheinlichkeit

n ∈ ℕ{0}; k ∈ ℕ mit k ≤ n A, B ... Ereignisse ¬A bzw. A ... Gegenereignis von A A ∧ B bzw. A ∩ B ... A und B (sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B treten ein) A ∨ B bzw. A ∪ B ... A oder B (mindestens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein) P(A) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A P(A | B) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass B eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit)

Fakultät (Faktorielle) Binomialkoeffizient

n! = n ∙ (n – 1) · ... ∙ 1 0! = 1 1! = 1 (^) ( )n k =^

n! k! ∙ (n – k)!

Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch

P(A) = Anzahl der fürAnzahl der möglichen Ausgänge^ A^ günstigen Ausgänge

Elementare Regeln

P(¬A) = 1 – P(A) P(A ∧ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B) P(A ∧ B) = P(A) ∙ P(B) ... wenn A und B (stochastisch) unabhängig voneinander sind P(A ∨ B) = P(A) + P(B) – P(A ∧ B) P(A ∨ B) = P(A) + P(B) ... wenn A und B unvereinbar sind

Erwartungswert μ einer diskreten Zufallsvariablen X

mit den Werten x 1 , x 2 , ... , xn

μ = E(X) = x 1 ∙ P(X = x 1 ) + x 2 ∙ P(X = x 2 ) + ... + xn ∙ P(X = xn) = (^) i ∑= 1

n xi ∙ P(X = x (^) i )

Varianz σ^2 einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x 1 , x 2 , ... , xn

σ 2 = V(X ) = i = 1

∑

n (xi – μ)^2 ∙ P(X = x (^) i )

Standardabweichung σ

σ =

 V(X)

Binomialverteilung

n ∈ ℕ{0}; k ∈ ℕ; p ∈ ℝ mit k ≤ n und 0 ≤ p ≤ 1

Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p

P(X = k) = (^) ( )n k

∙ p k^ ∙ (1 – p)n^ –^ k

E(X ) = μ = n ∙ p

V(X ) = σ² = n ∙ p ∙ (1 – p)

Normalverteilung

μ, σ ∈ ℝ mit σ > 0 f ... Dichtefunktion φ ... Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ϕ ... Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung

Normalverteilung N( μ; σ ²): Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ bzw. der Varianz σ ²

P(X ≤ x 1 ) = ∫

x 1

–∞^ f(x)^ dx^ =^ ∫

x 1 –∞

1 σ ∙

 2 ∙ π

∙ ℯ–^12 ·^ (

x – σ μ )^2 dx

Wahrscheinlichkeiten für σ-Umgebungen P( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0, P( μ – 2 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 2 ∙ σ) ≈ 0, P( μ – 3 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 3 ∙ σ) ≈ 0,

Standardnormalverteilung N(0; 1)

z = x^ – σ^ μ

ϕ(z) = P(Z ≤ z) = ∫

z –∞^ φ(x)^ dx^ =^

 1 2 ∙ π

z –∞^ ℯ

• x (^22) dx

ϕ(–z) = 1 – ϕ(z)

P(–z ≤ Z ≤ z) = 2 ∙ ϕ(z) – 1

P(–z ≤ Z ≤ z) = 90 % = 95 % = 99 %

z ≈ 1,645 ≈ 1,960 ≈ 2,

Konfidenzintervall

h ... relative Häufigkeit in einer Stichprobe p ... unbekannter relativer Anteil in der Grundgesamtheit γ ... Konfidenzniveau (Vertrauensniveau)

γ-Konfidenzintervall für p (diejenigen Werte p, in deren γ-Schätzbereich der Wert h liegt):

[h^ –^ z^ ∙^

h ∙ (1 – h) n

 ; h + z ∙ h^ ∙ (1 – n^ h)

 ], wobei für^ z^ gilt:^ γ^ = 2 ∙^ ϕ(z) – 1

16 Physikalische Größen und Definitionen

Dichte^ ϱ^ =^ mV

Leistung P = ∆ ∆Et = ∆ ∆Wt P = d dWt

Kraft F = m ∙ a

Arbeit W = F ∙ s

W = ∫ F(s) ds F = d dWs

kinetische Energie Ekin =^12 ∙^ m^ ∙^ v^2

potenzielle Energie Epot = m ∙ g ∙ h

gleichförmige geradlinige Bewegung

v = st v = d dst v(t) = s′(t)

gleichmäßig beschleunigte geradlinige Bewegung

v = a ∙ t + v 0 a = d dvt = d^

(^2) s dt^2 a(t) =^ v′(t) =^ s″(t)

17 Finanzmathematische Grundlagen

Zinseszinsrechnung

K 0 ... Anfangskapital Kn ... Endkapital p ... Jahreszinssatz in Prozent

Kn = K 0 ∙ (1 + i )n^ mit i = 100 p

Kosten-Preis-Theorie

x ... produzierte, angebotene, nachgefragte bzw. verkaufte Menge (x ≥ 0)

variable Kosten Kv (x) Fixkosten Kf (Gesamt-)Kosten K(x) = Kv (x) + Kf Grenzkosten K′(x) Nachfragepreis p(x) Erlös / Ertrag E(x) = p(x) ∙ x Grenzerlös (^) E′(x) Gewinn G(x) = E(x) – K(x) Grenzgewinn G′(x) Break-even-Point / Gewinnschwelle E(x) = K(x) ... bei (erster) Nullstelle x der Gewinnfunktion

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