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Inhaltsverzeichnis
- 1 Mengen Kapitel Seite
- 2 Vorsilben
- 3 Potenzen
- 4 Logarithmen
- 5 Quadratische Gleichungen
- 6 Ebene Figuren
- 7 Körper
- 8 Trigonometrie
- 9 Komplexe Zahlen
- 10 Vektoren
- 11 Geraden
- 12 Matrizen
- 13 Folgen und Reihen
- 14 Änderungsmaße
- 15 Wachstums- und Abnahmeprozesse
- 16 Ableitung und Integral
- 17 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
- 18 Statistik
- 19 Wahrscheinlichkeit
- 20 Lineare Regression
- 21 Finanzmathematik
- 22 Investitionsrechnung
- 23 Kosten- und Preistheorie
- 24 Technisch-naturwissenschaftliche Grundlagen - Index
Rechenregeln
a, b ∈ ℝ{0}; r, s ∈ ℤ a, b ∈ ℝ 0 +^ ; m, n, k ∈ ℕ{0}^ mit m, n ≥ 2 bzw. a, b ∈ ℝ+; r, s ∈ ℚ
a r^ ∙ a s^ = a r^ +^ s^
n a · b =
n a ∙
n b a r a s^ =^ a^
r – s n ak^ = (
n
a)k
(a r)s^ = a r^ ∙^ s^ ab
n (^) =
n a n (^) b (b^ ≠ 0)
(a ∙ b)r^ = a r^ ∙ b r^ m (^) a
n (^) = n · m (^) a
(
a b)
r = a^
r br
Binomische Formeln
a, b ∈ ℝ; n ∈ ℕ
(a + b)^2 = a^2 + 2 ∙ a ∙ b + b^2 (a^ +^ b)n^ =^ k ∑= 0
n (
n k)^
∙ a n^ –^ k^ ∙ b k
(a – b)^2 = a^2 – 2 ∙ a ∙ b + b^2 (a^ –^ b)n^ =^ k ∑= 0
n (–1)k^ ∙ (^) (n k)^
∙ a n^ –^ k^ ∙ b k
(a + b) ∙ (a – b) = a^2 – b^2
4 Logarithmen
a, b, c ∈ ℝ+^ mit a ≠ 1; x, r ∈ ℝ
x = loga(b) ⇔ a x^ = b
loga(b · c) = loga(b) + loga(c) loga(bc) = loga(b) – loga(c) loga(b r^ ) = r · loga(b)
loga(a x) = x loga(a) = 1 loga(1) = 0 loga(^1 a) = –1 aloga(b)^ = b
natürlicher Logarithmus (Logarithmus zur Basis ℯ): ln(b) = logℯ(b) dekadischer Logarithmus (Logarithmus zur Basis 10): lg(b) = log 10 (b)
5 Quadratische Gleichungen
p, q ∈ ℝ a, b, c ∈ ℝ mit a ≠ 0
x^2 + p ∙ x + q = 0 a ∙ x² + b ∙ x + c = 0
x1, 2 = – p 2 ± (^) (p 2 )
2
- q
x1, 2 = – b^ ±^
b^2 – 4 · a · c 2 · a
Satz von Vieta x 1 und x 2 sind genau dann die Lösungen der Gleichung x^2 + p ∙ x + q = 0, wenn gilt: x 1 + x 2 = –p x 1 ∙ x 2 = q
Zerlegung in Linearfaktoren x^2 + p ∙ x + q = (x – x 1 ) ∙ (x – x 2 )
6 Ebene Figuren
A ... Flächeninhalt u ... Umfang
Dreieck
Allgemeines Dreieck
Rechtwinkeliges Dreieck mit Hypotenuse c und Katheten a, b
A =
a · ha 2 =^
b · hb 2 =^
c · hc 2 u = a + b + c b
c
hb a
ha hc
A = a^2 ·^ b= c^ · 2 hc hc^2 = p · q a^2 = c · p b^2 = c · q
b
c
a h (^) c q p
Heron’sche Flächenformel Satz des Pythagoras
A =
s · (s – a) · (s – b) · (s – c) mit s = a^ +^ b 2 +^ c a^2 + b^2 = c^2
Ähnlichkeit und Strahlensatz Gleichseitiges Dreieck a a 1 =^
b b 1 =^
c c 1 b
c 1
a 1 a
b 1
c
A = a
2 4 ·^
3 = a^2 ·^ h
h = a 2 ·
3 a^ h a
a
60°
60° 60°
Viereck
Quadrat
a a
a
a
Rechteck b b
a
a
A = a^2 A = a · b
u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
Raute (Rhombus)
a
a a
e
a f ha
Parallelogramm
a
b b
a
A = a ∙ ha = (^) ha hb e · f 2 A^ =^ a^ ∙^ ha^ =^ b^ ∙^ hb u = 4 · a u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
Trapez
a
d b
c
h
Deltoid
A = (a^ +^2 c ) ·^ h A = e^2 ·^ f
u = a + b + c + d u = 2 ∙ a + 2 ∙ b
a a
b
f
b e
8 Trigonometrie
Umrechnung zwischen
Gradmaß und Bogenmaß
Winkel im Bogenmaß (rad)
Winkel im Gradmaß (°)
180° · π
π ·180°
Trigonometrie im rechtwinkeligen Dreieck
Sinus: sin( α) = Gegenkathete von Hypotenuse^ α
Cosinus: cos( α) = Ankathete von Hypotenuse^ α
Tangens: tan( α) = Gegenkathete von Ankathete von α^ α
1
1
1
tan( ) α sin( )
α cos( ) α
α α
Gegenkathete von
Ankathete von^ α
α
Hypotenuse
Trigonometrie im Einheitskreis
sin^2 ( α) + cos^2 ( α) = 1
tan( α) = (^) cos(sin(^ α α)) für cos( α) ≠ 0
1
0
1
–1 0 1
tan( )
α sin( )
α
cos( ) α
α
y
x
Trigonometrie im allgemeinen Dreieck
Sinussatz: a sin( α)
= b sin( β)
= c sin( γ) b
c
a
γ
α β
Cosinussatz: a^2 = b^2 + c^2 – 2 ∙ b ∙ c ∙ cos( α) b^2 = a^2 + c^2 – 2 ∙ a ∙ c ∙ cos( β) c^2 = a^2 + b^2 – 2 ∙ a ∙ b ∙ cos( γ)
Trigonometrische Flächenformel:
A = 12 ∙ b ∙ c ∙ sin( α) = 12 ∙ a ∙ c ∙ sin( β) = 12 ∙ a ∙ b ∙ sin( γ)
Allgemeine Sinusfunktion (in Abhängigkeit von der Zeit t)
A ... Amplitude T ... Schwingungsdauer (Periodendauer) ω ... Kreisfrequenz f ... Frequenz φ ... Nullphasenwinkel
y(t) = A ∙ sin( ω ∙ t + φ)
T = 2 ∙ πω = (^1) f
t 0 = –ω^ φ
y(t)
t t 0 T
A
- A
9 Komplexe Zahlen
j bzw. i ... imaginäre Einheit mit j 2 = –1 bzw. i 2 = – a ... Realteil, a ∈ ℝ r ... Betrag, r ∈ ℝ 0 + b ... Imaginärteil, b ∈ ℝ φ ... Argument, φ ∈ ℝ
Komponentenform Polarformen
z = a + b ∙ j z = r ∙ [cos( φ) + j ∙ sin( φ)] = r ∙ ℯ j^ ∙^ φ^ = (r; φ) = r φ
imaginäre Achse
reelle Achse
b · j^ z^ =^ a^ +^ b^ ·^ j
0 a
0
r
φ
Umrechnungen
a = r ∙ cos( φ) r =
a^2 + b^2 b = r ∙ sin( φ) tan( φ) = ba
10 Vektoren
P, Q ... Punkte
Vektoren in ℝ^2 Vektoren in ℝn
Pfeil von P nach Q: Pfeil von P nach Q:
P = ( p 1 | p 2 ), Q = (q 1 | q 2 ) P = ( p 1 | p 2 | ... | pn), Q = ( q 1 | q 2 | ... | qn)
PQ = (^) (q q^1 –^ p^1 2 –^ p 2 )^ PQ^ = ( )
q 1 – p 1 q 2 – p 2 ... qn – pn
Rechenregeln in ℝ^2 Rechenregeln in ℝn
a = (^) (a a^1 2 )
, b = (^) (b b^1 2 )
, a ± b = (^) (a a^1 ±^ b^1 2 ±^ b 2 )^ a^ = ( )
a 1 a 2 ... an
, b = ( )
b 1 b 2 ... b (^) n
, a ± b = ( )
a 1 ± b 1 a 2 ± b 2 ... a (^) n ± bn
k · a = k · (^) (a a^1 2 )^
= (^) (k k^ ∙∙^ aa^1 2 )^
mit k ∈ ℝ (^) k · a = k · ( )
a 1 a 2 ... an
( )
k · a 1 k · a 2 ... k · a (^) n
mit k ∈ ℝ
Skalarprodukt in ℝ^2 Skalarprodukt in ℝn
a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 a · b = a 1 · b 1 + a 2 · b 2 + ... + an · bn
Betrag (Länge) eines Vektors in ℝ^2 Betrag (Länge) eines Vektors in ℝn
| a | =
a 12 + a 22 |^ a | =
a 12 + a 22 + ... + an^2
Normalvektoren n zu a = (^) ( )
a 1
a 2 in^ ℝ
2
n = k · (^) (–a a^2 1 )^
für |^ a | ≠ 0 und k ∈ ℝ{0}
12 Matrizen
aij, bij ∈ ℝ; i, j, m, n, p ∈ ℕ{0}; k ∈ ℝ
Addition/Subtraktion von Matrizen Multiplikation einer Matrix
mit einer Zahl k
a. 11 .... a. 1 n ... (^). .. am 1 ...^ a (^) mn
b. 11 .... b. 1 n ... (^). .. bm 1 ...^ b (^) mn
a 11 ±. b 11 .... a 1 n ±. b 1 n ... (^). .. a (^) m 1 ± b (^) m 1 ...^ amn ± bmn
k · ( )
a. 11 .... a. 1 n ... (^). .. am 1 ...^ a (^) mn
k ·. a (^11) .... k ·. a 1 n ... (^). .. k · am 1 ...^ k · a (^) mn
Multiplikation von Matrizen
A ... m × p-Matrix B ... p × n-Matrix C = A ∙ B ... m × n-Matrix
a. 11 .... a. 1 p ... (^). .. a. i 1 .... a.ip ... (^). .. am 1 ...^ amp
b. 11 ...^ b. 1 j ...^ b. 1 n .. .. .. bp 1 ...^ b (^) pj ...^ b (^) pn
c. 11 ...^ c. 1 j ...^ c. 1 n .. .. .. c. i 1 ...^ c. (^) ij ...^ c. (^) in .. .. .. cm 1 ...^ c (^) mj ...^ c (^) mn
mit cij = ai 1 ∙ b 1 j + ai 2 ∙ b 2 j + … + aip ∙ bpj
Einheitsmatrix E Transponierte Matrix AT^ Inverse Matrix A−1^ einer
quadratischen Matrix A
E =
1 0 ...^0 (^0). 1 ... ... .. ... ... 0 0 ...^0
A =
a 11 a 12 ...^ a 1 n a 21 a 22 ...^ a 2 n ... ... ... ... am 1 a (^) m 2 ...^ a (^) mn
AT^ =
a 11 a 21 ...^ a (^) m 1 a 12 a 22 ...^ a (^) m 2 ... ... ... ... a 1 n a 2 n ...^ a (^) mn
A ∙ A−1^ = A−1^ ∙ A = E
Lineare Gleichungssysteme in Matrizenschreibweise (n Gleichungen in n Variablen)
a 11 ∙ x 1 + a 12 ∙ x 2 + … + a 1 n ∙ xn = b 1 a 21 ∙ x 1 + a 22 ∙ x 2 + … + a 2 n ∙ xn = b 2 … an 1 ∙ x 1 + an 2 ∙ x 2 + … + ann ∙ xn = bn
a 11 a 12 ...^ a 1 n a 21 a 22 ...^ a 2 n ... ... ... ... a (^) n 1 an 2 ...^ a (^) nn
x 1 x 2 ... x (^) n
b 1 b 2 ... bn
A · x = b
Wenn die inverse Matrix A−1^ existiert, dann gilt: x = A−1^ ∙ b
Produktionsprozesse
A ... quadratische Verflechtungsmatrix E ... Einheitsmatrix x ... Produktionsvektor n ... Nachfragevektor
x = A ∙ x + n x = (E – A)−1^ · n n = (E – A) · x
13 Folgen und Reihen
Arithmetische Folge Geometrische Folge
(an) = (a 1 , a 2 , a 3 , ...) (b (^) n) = (b 1 , b 2 , b 3 , ...)
d = a (^) n + 1 – an q =
bn + 1 bn
Rekursives Bildungsgesetz Rekursives Bildungsgesetz
an + 1 = an + d und Angabe von a 1 bn + 1 = bn · q und Angabe von b 1
Explizites Bildungsgesetz Explizites Bildungsgesetz
an = a 1 + (n – 1) · d b (^) n = b 1 · q n^ –^1
Endliche arithmetische Reihe Endliche geometrische Reihe
Summe sn der ersten n Glieder Summe sn der ersten n Glieder
s (^) n = (^) i ∑= 1
n ai = a 1 + a 2 + ... + an – 1 + an sn = (^) i ∑= 1
n bi = b 1 + b 2 + ... + bn – 1 + bn
sn = n 2 ∙ (a 1 + an) = n 2 ∙ [2 ∙ a 1 + (n – 1) ∙ d] s (^) n = b 1 ∙ q^
n (^) – 1 q – 1 für^ q^ ≠ 1
Unendliche geometrische Reihe
n = 1
∑
∞ bn ist genau dann konvergent, wenn | q | < 1 s = (^) nlim → ∞ sn = (^) 1 –b^1 q für | q | < 1
14 Änderungsmaße
Für eine auf einem Intervall [a; b] definierte reelle Funktion f gilt:
Absolute Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a)
Relative (prozentuelle) Änderung von f in [a; b]
f(b) – f(a) f(a) für^ f(a) ≠ 0
Differenzenquotient (mittlere Änderungsrate) von f in [a; b] bzw. in [x; x + ∆x]
f(b) – f(a) b – a bzw.^
f(x + ∆x) – f(x) ∆x für^ b^ ≠^ a^ bzw. ∆x^ ≠ 0
Differenzialquotient (lokale bzw. „momentane“ Änderungsrate) von f an der Stelle x
f′(x) = (^) x lim 1 → x
f(x 1 ) – f(x) x 1 – x bzw.^ f′(x) =^ ∆limx → 0
f(x + ∆x) – f(x) ∆x
16 Ableitung und Integral
f, g, h ... auf ganz ℝ oder einem Intervall definierte differenzierbare Funktionen f′, g′, h′ ... Ableitungsfunktionen F, G, H ... Stammfunktionen C, k, q ∈ ℝ; a ∈ ℝ+^ {1}
Unbestimmtes Integral Bestimmtes Integral
∫ f(x)^ dx^ =^ F(x) +^ C^ mit^ F′^ =^ f^ ∫
b a^ f(x)^ dx^ =^ F(x) |^
b a^ =^ F(b) –^ F(a)
Funktion Ableitungsfunktion Stammfunktion
f(x) = k f′(x) = 0 F(x) = k ∙ x
f(x) = x q^ f′(x) = q ∙ x q^ –^1
F(x) = x^
q + 1 q + 1 für^ q^ ≠ – F(x) = ln(| x |) für q = –
f(x) = ℯx^ f′(x) = ℯx^ F(x) = ℯx
f(x) = a x^ f′(x) = ln(a) ∙ a x^ F(x) = a^
x ln(a)
f(x) = ln(x) f′(x) = (^1) x F(x) = x ∙ ln(x) – x
f(x) = loga(x) f′(x) = (^) x · ln(^1 a) F(x) = (^) ln(^1 a) ∙ (x · ln(x) – x)
f(x) = sin(x) (^) f′(x) = cos(x) F(x) = –cos(x)
f(x) = cos(x) f′(x) = –sin(x) F(x) = sin(x)
f(x) = tan(x) f′(x) = 1 + tan^2 (x) =^ cos^1 2 (x) F(x) = –ln(| cos(x) |)
g(x) = k ∙ f(x) g′(x) = k ∙ f′(x) G(x) = k ∙ F(x)
h(x) = f(x) ± g(x) (^) h′(x) = f′(x) ± g′(x) H(x) = F(x) ± G(x)
g(x) = f(k ∙ x) g′(x) = k ∙ f′(k ∙ x) G(x) =^1 k ·^ F(k^ ∙^ x)
Ableitungsregeln
Faktorregel (k ∙ f )′ = k ∙ f′
Summenregel (f ± g)′ = f′ ± g′
Produktregel (f ∙ g)′ = f′ ∙ g + f ∙ g′
Quotientenregel (^) ( (^) gf)′^ = f′^ ∙^ g^ g–²^ f ∙^ g′ für g(x) ≠ 0
Kettenregel h(x) = f(g(x)) ⇒ h′(x) = f′(g(x)) ∙ g′(x)
Integrationsmethode – lineare Substitution
∫ f(a^ ∙^ x^ +^ b)^ dx^ =^
F(a ∙ x + b) a +^ C
Volumen V von Rotationskörpern
Rotation des Graphen einer Funktion f mit y = f(x) um eine Koordinatenachse
Rotation um die x-Achse (a ≤ x ≤ b) Rotation um die y-Achse (c ≤ y ≤ d)
Vx = π ∙ ∫
b a^ y
(^2) dx V
y = π ∙^ ∫
d c^ x
(^2) dy
Bogenlänge s des Graphen einer Funktion f im Intervall [a; b]
s = ∫
b a
1 + (f′(x)) 2 dx
Linearer Mittelwert m einer Funktion f im Intervall [a; b]
m = b 1 – a · ∫
b a^ f(x)^ dx
17 Differenzialgleichungen 1. Ordnung
Differenzialgleichungen mit trennbaren Variablen
y′ = f(x) ∙ g( y) bzw. d dyx = f(x) ∙ g( y) mit y = y(x)
Lineare Differenzialgleichung 1. Ordnung mit konstanten Koeffizienten
y ... allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung yh ... allgemeine Lösung der homogenen Differenzialgleichung y′ + a ∙ y = 0 yp ... partikuläre (spezielle) Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung s ... Störfunktion
y′ + a ∙ y = s(x) mit a ∈ ℝ, y = y(x) y = yh + yp
19 Wahrscheinlichkeit
n ∈ ℕ{0}; k ∈ ℕ mit k ≤ n A, B ... Ereignisse A bzw. ¬A ... Gegenereignis von A A ∩ B bzw. A ∧ B ... A und B (sowohl das Ereignis A als auch das Ereignis B treten ein) A ∪ B bzw. A ∨ B ... A oder B (mindestens eines der beiden Ereignisse A und B tritt ein) P(A) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A P(A | B) ... Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses A unter der Voraussetzung, dass das Ereignis B eingetreten ist (bedingte Wahrscheinlichkeit)
Fakultät (Faktorielle) Binomialkoeffizient
n! = n ∙ (n – 1) · ... ∙ 1 0! = 1 1! = 1 (^) (nk) = (^) k! ∙ (nn! – k)!
Wahrscheinlichkeit bei einem Laplace-Versuch
P(A) = Anzahl der fürAnzahl der möglichen Ausgänge^ A^ günstigen Ausgänge
Elementare Regeln
P( A) = 1 – P(A) bzw. P(¬A) = 1 – P(A)
P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B) bzw. P(A ∧ B) = P(A) ∙ P(B | A) = P(B) ∙ P(A | B)
Wenn A und B (stochastisch) unabhängig voneinander sind: P(A ∩ B) = P(A) ∙ P(B) bzw. P(A ∧ B) = P(A) ∙ P(B)
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) bzw. P(A ∨ B) = P(A) + P(B) – P(A ∧ B)
Wenn A und B unvereinbar sind: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) bzw. P(A ∨ B) = P(A) + P(B)
Bedingte Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B
P(A | B) = P( PA^ (∩B)^ B) bzw. P(A | B) = P(A P^ (∧B)^ B)
Satz von Bayes
P(A | B) = P(A) ∙ P^ (PB(B) |^ A)= P(A) ∙^ P(B^ |^ A)
P(A) ∙ P(B | A) + P( A) ∙ P(B | A)
bzw.
P(A | B) = P(A) ∙ P^ (PB(B) |^ A)= P(A) ∙^ P(B^ |^ A) P(A) ∙ P(B | A) + P(¬A) ∙ P(B | ¬A)
Erwartungswert μ einer diskreten Zufallsvariablen X
mit den Werten x 1 , x 2 , ... , xn
μ = E(X) = x 1 ∙ P(X = x 1 ) + x 2 ∙ P(X = x 2 ) + ... + xn ∙ P(X = xn) = (^) i ∑= 1
n xi ∙ P(X = x (^) i )
Varianz σ^2 einer diskreten Zufallsvariablen X mit den Werten x 1 , x 2 , ... , xn
σ 2 = V(X ) = i = 1
∑
n (xi – μ)^2 ∙ P(X = x (^) i )
Standardabweichung σ
σ =
V(X)
Binomialverteilung
n ∈ ℕ{0}; k ∈ ℕ; p ∈ ℝ mit k ≤ n und 0 ≤ p ≤ 1
Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit den Parametern n und p
P(X = k) = (^) (nk) ∙ p k^ ∙ (1 – p)n^ –^ k
Erwartungswert: E(X ) = μ = n ∙ p Varianz: V(X ) = σ² = n ∙ p ∙ (1 – p)
Normalverteilung
μ, σ ∈ ℝ mit σ > 0 f ... Dichtefunktion F ... Verteilungsfunktion φ ... Dichtefunktion der Standardnormalverteilung ϕ ... Verteilungsfunktion der Standardnormalverteilung
Normalverteilung N( μ; σ ²): Zufallsvariable X ist normalverteilt mit dem Erwartungswert μ und der Standardabweichung σ bzw. der Varianz σ ²
P(X ≤ x 1 ) = F(x 1 ) = ∫
x 1
–∞^ f(x)^ dx^ =^ ∫
x 1 –∞
1 σ ∙
2 ∙ π
∙ ℯ–^
(^12) · ( x^ – σ^ μ )^2 dx
Wahrscheinlichkeiten für σ-Umgebungen P( μ – σ ≤ X ≤ μ + σ) ≈ 0, P( μ – 2 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 2 ∙ σ) ≈ 0, P( μ – 3 ∙ σ ≤ X ≤ μ + 3 ∙ σ) ≈ 0,
Standardnormalverteilung N(0; 1)
z = x^ – σ^ μ
ϕ(z) = P(Z ≤ z) = ∫
z –∞^ φ(x)^ dx^ =^
1 2 ∙ π
z –∞^ ℯ
- x (^22) dx
ϕ(–z) = 1 – ϕ(z)
P(–z ≤ Z ≤ z) = 2 ∙ ϕ(z) – 1
P(–z ≤ Z ≤ z) = 90 % = 95 % = 99 % z ≈ 1,645 ≈ 1,960 ≈ 2,
21 Finanzmathematik
Zinsen und Zinseszinsen
K 0 ... Anfangskapital Kn ... Endkapital nach n Jahren i ... Jahreszinssatz
einfache Verzinsung: Kn = K 0 ∙ (1 + i ∙ n) Zinseszinsen: K (^) n = K 0 ∙ (1 + i )n
Unterjährige Verzinsung
m ... Anzahl der Zinsperioden pro Jahr Für Zinsperioden gelten folgende Abkürzungen: p. a. ... pro Jahr p. s. ... pro Semester p. q. ... pro Quartal p. m. ... pro Monat
K (^) n = K 0 ∙ (1 + i (^) m)n^ ∙^ m
unterjähriger Zinssatz im äquivalente Zinssätze effektiver Jahreszinssatz i
i (^) m = m 1 + i – 1
i = (1 + i (^) m)m^ – 1
Rentenrechnung
R ... Ratenhöhe n ... Anzahl der Raten i ... Zinssatz q = 1 + i ... Aufzinsungsfaktor
Voraussetzung: Rentenperiode = Zinsperiode
nachschüssig vorschüssig
Endwert E Enach = R ∙ q^
n (^) – 1 q – 1 Evor^ =^ R^ ∙^
q n^ – 1 q – 1 ∙^ q Barwert B Bnach =^ R^ ∙^ q^
n (^) – 1 q – 1 ∙^
1 q n^ Bvor^ =^ R^ ∙^
q n^ – 1 q – 1 ∙^
1 q n^ –^1
Tilgungsplan
Zeitabschnitt Zinsanteil Tilgungsanteil Annuität Restschuld 0 K 0 1 K 0 ∙ i T 1 A 1 = K 0 ∙ i + T 1 K 1 = K 0 – T 1 ... ... ... ... ...
22 Investitionsrechnung
Et ... Einnahmen im Jahr t A (^) t ... Ausgaben im Jahr t A 0 ... Anschaffungskosten Rt ... Rückflüsse im Jahr t i ... kalkulatorischer Zinssatz (Jahreszinssatz) n ... Nutzungsdauer in Jahren iw ... Wiederveranlagungszinssatz (Jahreszinssatz) E ... Endwert der wiederveranlagten Rückflüsse
R (^) t = Et – At
Kapitalwert C 0
C 0 = –A 0 + (^) [ (^) (1 +R^1 i) + (^) (1 +R^2 i) 2 + ... + (^) (1 +Rn i)n]
Interner Zinssatz iintern
- A 0 + (^) [ (^) (1 +R i^1 intern )^
(^) (1 +R i^2 intern )^2
... + (^) (1 +R in intern )n]^
Modifizierter interner Zinssatz imod
A 0 ∙ (1 + imod )n^ = E mit E = R 1 ∙ (1 + iw )n^ –^1 + R 2 ∙ (1 + iw )n^ –^2 + … + Rn – 1 ∙ (1 + iw ) + Rn