komparator und addierer, Mitschriften von Entwerfen

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GTI – ÜBUNG 12

KOMPARATOR UND ADDIERER

Aufgabe 1 – Komparator

Beschreibung  Entwickeln Sie eine digitale Schaltung, die zwei Bits a und b miteinander vergleicht. Die Schaltung besitzt drei Ausgänge: ’<’ ist logisch ’1’, genau dann, wenn a’ genau dann ’1’, wenn a > b. Der Ausgang ’=’ soll genau dann eine ’1’ anzeigen, wenn a und b gleich sind.  Achten Sie darauf, dass stets genau einer der drei Ausgänge aktiv ist.  Hinweis: Beginnen Sie mit einer Funktionstabelle.

Aufgabe 1 – Komparator

 Schaltfunktionen 𝑓< = 𝑎𝑏 𝑓= = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑎⨂𝑏 = 𝑎 𝑥𝑛𝑜𝑟 𝑏 𝑓> = 𝑎𝑏 a b a < b a = b a > b 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0

Aufgabe 1 – Komparator

 Gatterumsetzung 𝑓< = 𝑎𝑏 𝑓= = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 𝑎⨂𝑏 = 𝑎 𝑥𝑛𝑜𝑟 𝑏 𝑓> = 𝑎𝑏 & & ≥ 1 a b a > b a < b a = b

Aufgabe 1 – Komparator

Blackbox:  Um wiederkehrende Bauelement nicht jedes Mal auf Grund auf neu implementieren zu müssen, fügt man eine abstrahierte Blackbox des Bauelementes in die Schaltung ein  Diese definiert sich nur noch über ihre Ein- und Ausgänge. Das Verhalten ist aus der Schaltung nicht mehr direkt ersichtlich.  Beispiele dieser Abstrahierung:  Flipflops  (De-) Multiplexer  Komparator  Schieberegister

Aufgabe 1 – Komparator

Blackbox des Komparators: Verhalten bei einer Zweibitzahl: A = a 1 a 0 und B = b 1 b 0 Der Wert der einzelnen Bits sinkt von links nach rechts, wobei jedes Bit vom Betrag her größer ist als alle seine rechten Nachbarn zusammen. Ist ein Bit von A kleiner als von B, so ist A auch insgesamt kleiner als B, wenn die Bits links von diesen identisch bzw. auch kleiner sind. a b b a (^) > < = a > b a < b a = b

Aufgabe 1 – Komparator

Blackbox des 2-Bit-Komparators: Verhalten bei einer Vierbitzahl: A = a 3 ... a 0 und B = b 3 ... b 0 Wir benutzen zwei 2-Bit-Komparatoren (a 32 , b 32 ) und (a 10 , b 10 ), da auch hier von links nach rechts verglichen werden muss. Somit gleicht die Auswertung der des 1-Bit- Komparators. > < = a > b a < b > a = b < = > < =

Aufgabe 1 – Komparator

Beschreibung  Die Schaltung aus a) und b) wird nun als ’Black-Box’ mit den Eingängen a und b und den Ausgängen ’<’, ’>’ und ’=’ betrachtet.  Entwerfen Sie ausschließlich mit diesen Komponenten einen Komparator für vorzeichenlose 4 - Bit-Binärzahlen. Welche Möglichkeiten gibt es, die Komponenten zusammenzuschalten, und welche Auswirkungen hat dies auf die benötigte Fläche und den kritischen Pfad?  Hinweis: wie würde man das schriftlich rechnen?

Aufgabe 1 – Komparator

Verhalten bei einer Vierbitzahl: Baumartige Lösung A = a 3 ... a 0 und B = b 3 ... b 0 a > b: (a 32 > b 32 ) oder (a 32 = b 32 ) (a 10 > b 10 ) a = b: (a 32 = b 32 ) und (a 10 = b 10 ) a < b: (a 32 < b 32 ) oder (a 32 = b 32 ) (a 10 < b 10 ) > < = > < = > < = > < = > < = > < = > < = > < = > < = a 0 b 0 b a (^) > < = a 1 b 1 b a (^) > < = a 2 b 2 b a (^) > < = a 3 b 3 b a > < = A > B A < B A = B

Aufgabe 1 – Komparator

 Welche Möglichkeiten gibt es, die Komponenten zusammenzuschalten, und welche Auswirkungen hat dies auf die benötigte Fläche und den kritischen Pfad? Lineares Zusammenschalten: o Allgemein n-1 Stufen o Kritischer Pfad steigt linear O(n) an Baumartiges Zusammenschalten: o Allgemein log 2 𝑛 Stufen o Kritischer Pfad steigt logarithmisch O(log n) an (VORTEIL!) Die Fläche der beiden Lösungen ist hingegen identisch!

Aufgabe 2 – Addierer/Subtrahierer

 Realisieren Sie einen Halbaddierer mit Hilfe von NAND-Gattern. Halbaddierer: a + b = s mit c o S: Summe der beiden Operanden o C: Carry, d.h. der Übertrag 𝑠 = 𝑎⨂𝑏 c = 𝑎𝑏 a b S c 0 + 0 = 0 0 0 + 1 = 1 0 1 + 0 = 1 0 1 + 1 = 0 1

Aufgabe 2 – Addierer/Subtrahierer

 Nandisierung der Funktionen 𝑠 = 𝑎⨂𝑏 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 | Doppelnegation = 𝑎𝑏 1 + 𝑎 1 𝑏 | De Morgan = 𝑎𝑏1 𝑎1𝑏 c = 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 1

Aufgabe 2 – Addierer/Subtrahierer

Gatteranzahl, Kritischer Pfad Momentan: 7 Gatter kritischer Pfad: 3 (Summe), 2 (Carry) 1 1 1 2 2 2 3 a b s c Kritischer Pfad: Größtmöglicher Anzahl Gatter auf einem Pfad bis zu dem bestimmten Ausgang. So beträgt der kritischer Pfad der Summe 3, da genau drei Gatter durchlaufen werden müssen, bis man zum Ausgang gelangt. Der kritische Pfad ist ein Maß der Zeit, welche die Schaltung zur Auswertung der Funktion benötigt.

Aufgabe 2 – Addierer/Subtrahierer

 Minimierung Wir haben Summe und Carry getrennt verschaltet. Wenn wir die beiden Schaltungen verschmelzen, können wir uns zwei Gatter sparen. 1 1 1 2 2 2 3 a b s c 1 2 2 2 3 a b s c