Zusammenfassung: Einf¨
uhrung in die QM und Statistik, SS2018 Woche 1: 10.04 und 13.04
Teil 1: Quantenmechanik
I. WELLENFUNKTION UND DIE SCHR ¨
ODINGER GLEICHUNG
1. Einige historisch wichtige Experimente
Physik um 1900: klassische Mechanik, Elektrodynamik, Thermodynamik. Anfang des 20-ten Jahrhunderts: zahlreiche
experimentelle Daten, die mit der klassischen Theorie nicht erkl¨
art werden k¨
onnen...
Hohlraumstrahlung
Experimente ergeben f¨
ur die spektrale Energiedichte ρT(ω):
ω→0 : ρT∝ω2,
ω→ ∞ :ρT∝ω3e−
αω
kBT,
wobei αeine Konstante ist. Klassische Berechnung (Anzahl der e.m. Mode ×die mittlere Energie kBTpro Mode):
ρT(ω) = kBT
π2c3ω2(Rayleigh-Jeans-Gesetz) – korrekte Beschreibung im IR Bereich, aber eine UV Katastrophe... Die
Annahme, dass die Energie nur in diskreten Quanten von ~ω=hν an die Strahlung abgegeben werden kann (Planck)
liefert
ρT(ω) = ~ω3
π2c3
1
e
~ω
kBT−1
in ¨
Ubereinstimmung mit experimentellen Daten. Fit an die Daten ergibt den Wert f¨
ur die Planck Konstante ~'
1.055 ·10−34 J s '6.582 ·10−16 eV s.
Photoeffekt
Erkl¨
arung durch Einstein: Licht besteht aus Teilchen (Pho-
tonen) mit der Energie E=~ω. Energieerhaltung: Ee=
~ω−~ωA, wobei ~ωAdie Austrittsarbeit ist.
Compton-Effekt
Streuung von R¨
ontgenstrahlung an Elektronen f¨
uhrt zur Verschiebung der Wel-
lenl¨
ange, die vom Streuwinkel θabhaengt. Erkl¨
arung (Compton): Energie-
Impulserhaltung f¨
ur Photon-Elektron Streuung liefert:
∆λ= 2λcsin2θ
2,
wobei λc≡h
mecdie Compton-Wellenl¨
ange ist. Diese gibt die L¨
angsskala an, unterhalb
der relativistische Effekte (Teilchenerzeugung) wichtig werden.
Emissionsspektrum des H-Atoms: Die Balmer-Serie
Empirische Beobachtung: ~ω'13.6 eV 1
n2
1
−1
n2
2,n1,2∈N. Versuch einer Erkl¨
arung von Bohr (Bohrsches Atom-
modell): man nimmt an, dass (i) sich e−auf Kreisbahnen bewegen und (ii) der Drehimpuls quantisiert ist: L=n~.
De Broglie erkennt 1924 in der Quantisierungsbedingung f¨
ur L¨
Ahnlichkeiten zu stehenden Wellen und stellt eine
Hypothese auf, dass einem freien Teilchen mit dem Impuls ~p und der Energie Eeine Welle mit dem Wellenwektor
~
k=~p
~bzw. mit der Wellenl¨
ange λ=h
pund der Frequenz ω=E
~entspricht. Die de-Broglie-Wellenl¨
ange λgibt eine
L¨
angsskala an, unterhalb der quantenmechanische Effekte wichtig werden.
Elektronen-Streuexperimente von Davisson, Germer, 1927
Die de-Broglie Hypothese wird in Elektronen-Streuexperimenten an Kristallen
best¨
atigt, bei denen man ein ¨
ahnliches Interferenzbild wie bei R¨
ontgenstrahlen
beobachtet (typische kinetische Energie der Elektronen Ekin ∼50 eV) mit Beu-
gungsmaxima bei nλ =dsin θ,n= 1,2,3, . . ..
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