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Zusammenfassung: Induktion
Induktion durch Bewegung eines Leiters in einem Magnetfeld Erster Grundversuch zur Induktion:
Ein Stab bewegt sich auf zwei parallelen Schienen, die den Abstand d haben, mit der Geschwindigkeit v nach rechts. Zwischen den
Schienen ist ein homogenes Magnetfeld der Flussdichte B , dessen Feldlinien senkrecht zu den Schienen und senkrecht zur Bewegungsrichtung des Stabs verlaufen.
s
B
JG
v s
JG
d (^) U ind
F el
JJG
F L
JJG
Die Elektronen im Stab werden nach rechts bewegt und erfahren eine Lorentzkraft nach unten. Dadurch entsteht am unteren Ende des Stabs eine negative Überschussladung, und am oberen Ende des Stabs entsteht eine positive Überschussladung. Zwischen den Enden des Stabs bzw. zwischen den Schienen entsteht also eine Spannung, die Induktionsspannung U (^) ind.
Durch die Überschussladungen entsteht ein elektrisches Feld E
JG
, das auf die Elektronen eine Kraft nach oben bewirkt. Nach kurzer Zeit stellt sich ein stationärer Zustand ein, in dem sich die Lorentz-
kraft
JJ
und die elektrische Kraft
JJ
F L gegenseitig aufheben. Dann gilt
G
F el
G
el L s s ind s
ind s
F F
eE Bev E Bv U Bv d U Bdv
Diese Herleitung ist völlig analog zur Herleitung der Hallspannung.
Lässt man in obigem Beispiel die Schienen weg, dann kann man formulieren:
Wird ein gerades Leiterstück der Länge l mit der Geschwindigkeit v in einem homogenen Magnet-
feld der Flussdichte B so bewegt, dass
s J
G
- die Richtung des Leiterstücks und JG
- die Bewegungsrichtung v s
jeweils orthogonal zueinander sind, dann wird zwischen den Enden des Leiterstücks eine Spannung induziert, für deren Betrag gilt: U (^) ind = Blv s.
Die Polung dieser Spannung ergibt sich aus der Dreifingerregel der linken Hand für die Richtung der Lorentzkraft.
Bewegung einer Leiterschleife bzw. Spule durch ein Magnetfeld: a) Eintritt in das Magnetfeld:
B
JG
v s
JG
Induktionsspannung
b) Bewegung im Magnetfeld:
B
JG
v s
JG
keine Induktionsspannung
c) Austritt aus dem Magnetfeld:
B
JG
v s
JG
Induktionsspannung mit umgekehrter Polung wie bei a) Es ist üblich, die Induktionsspannung beim Eintritt in das Magnetfeld positiv zu rechnen; dann ist die Induktionsspannung beim Austritt aus dem Magnetfeld negativ. Ersetzt man die Leiterschleife durch eine Spule mit n Windungen, dann ver- n -facht sich die Spannung, da sich die Spannungen der einzelnen Windungen addieren.
Es wird also eine Spannung induziert, wenn sich die von dem Magnetfeld durchsetzte Fläche der Spule ändert. Dies führt zu folgender
Definition: Der magnetische Fluss Φ einer Fläche , die senkrecht von einem Magnetfeld der
Flussdichte B durchsetzt wird, ist das Produkt
A s
Φ = B ⋅ A s.
Einheit: 2 2 2 Vs m 1 m 1 Vs m
1 T ⋅ = ⋅ =
Für Experten: Diese Einheit heißt auch 1 Wb (Weber).
Den magnetischen Fluss kann man sich anschaulich vorstellen als die Anzahl der Feldlinien, die die Fläche durchsetzen. Streng genommen ist dies Unfug. Durch jeden Punkt eines Magnetfelds verläuft eine Feldlinie; es gibt also immer unendlich viele Feldlinien.
Mit diesem Begriff kann man formulieren: Zwischen den Enden einer Spule wird eine Spannung induziert, wenn sich der magnetische Fluss in der Spule ändert.
Änderungsrate von Größen
- Idee: Ändert sich eine Größe g im Lauf der Zeit t , dann ist die Änderungsrate von g die Änderung von g pro Zeiteinheit (üblicherweise pro Sekunde), also
Änderungsrate von
g g t
Die Einheit der Änderungsrate ist also Einheit von Zeiteinheit
g , also üblicherweise Einheit von s
g .
Beispiele:
- Durchschnittsgeschwindigkeit
s v t
bzw. Momentangeschwindigkeit v s
=
- Durchschnittsbeschleunigung
v a t
bzw. Momentanbeschleunigung a v s
W
P
t
bzw. Momentanleistung P W
=
Q
I
t
bzw. Momentanstromstärke I Q
=
Induktionsgesetz und Lenzsche Regel Wir haben oben gesehen, dass zwischen den Enden einer Spule eine Spanunng induziert wird, wenn sich der magnetische Fluss in der Spule ändert. Tatsächlich ist die Induktionsspannung (pro Windung) gerade die Änderungsrate des magnetischen Flusses:
Induktionsgesetz (ohne Vorzeichen): Ändert sich der magnetische Fluss Φ in einer Spule mit n Windungen, dann entsteht zwischen den Enden der Spule die Induktionsspannung
U ind n
= ⋅ Φ.
Nach der Produktregel ist
U (^) ind n n BA ( (^) s (^) ) n B A s (^) B A s (^) n B A s (^) nB A s.
v
Es gibt also zwei Ursachen für das Entstehen einer Induktionsspannung:
- Eine Änderung der magnetischen Flussdichte B.
- Eine Änderung der vom Magnetfeld durchsetzten Fläche A s.
Der zweite Fall tritt auf, wenn eine Leiterschleife bzw. Spule in ein Magnetfeld eintritt oder austritt. In dieser Situation kann man die Induktionsspannung auch mit Hilfe der Formel U ind (^) = Bl s
berechnen (was meistens einfacher ist).
Für Experten: Im zweiten Fall kann man die Aussage des Induktionsgesetzes aus dieser Formel für die Induktionsspannung herleiten, während man im ersten Fall die Aussage des Induktionsgesetzes nicht herleiten kann.
Zweiter Grundversuch zur Induktion: In einer langgestreckten Erregerspule der Länge l mit Windungen befindet sich eine achsen-
parallele Induktionsspule der Querschnittsfläche A mit Windungen. Wird von einem zeit-
lich veränderlichen Strom I durchflossen, dann entsteht zwischen den Enden von die Induktions-
spannung
S 1 n 1 S 2 n 2 S 1 S 2
ind 2 2 (^ )^2 2 0 1 01
n n n U n n BA n A B n A I l l
- • •
- = Φ = = ⋅ = (^) = ⋅
A
I
Ändert sich die Stromstärke im Zeitraum ∆ t gleichmäßig, dann entsteht die konstante Induktions- spannung
1 2 ind 0
n n A I U l t
Entsteht eine Induktionsspannung aufgrund der Bewegung eines Leiters in einem Magnetfeld, dann folgt die Polung der Induktionsspannung aus der Dreifingerregel für die Richtung der Lorentzkraft. Entsteht eine Induktionsspannung aufgrund der Änderung der magnetischen Flussdichte, dann kann man sich die Polung der Spannung folgendermaßen überlegen: Betrachte eine kurzgeschlossene Spule, in der die Flussdichte zunimmt. Aufgrund der Induktions- spannung fließt in der Spule ein Strom, der in der Spule ein Magnetfeld erzeugt. Dieses Magnetfeld muss dem äußeren anwachsenden Magnetfeld entgegengesetzt gerichtet sein: Wäre dieses Magnetfeld gleich gerichtet wie das äußere zunehmende Magnetfeld, dann würde die Flussdichte schneller anwachsen, also die Induktionsspannung und damit der Induktionsstrom zunehmen; also würde das Magnetfeld weiter verstärkt usw. und man hätte ein Perpetuum mobile.
Aus dieser Überlegung folgt die
Lenzsche Regel: Die Induktionsspannung ist so gepolt, dass der Induktionsstrom seiner Ursache entgegenwirkt.
Merke: Der Induktionsstrom wirkt seiner Ursache entgegen.
Ändert sich das Magnetfeld in einer Spule mit leitend verbundenen Anschlüssen, dann gibt es zwei Möglichkeiten:
- Wenn das Magnetfeld zunimmt, dann wirkt der Induktionsstrom der Zunahme entgegen, indem er ein entgegengesetzt gerichtetes Magnetfeld erzeugt;
- wenn das Magnetfeld abnimmt, dann wirkt der Induktionsstrom der Abnahme entgegen, indem er ein gleich gerichtetes Magnetfeld erzeugt.
Betrachte eine Spule, die an eine Spannung U angeschlossen ist. In der Spule ist also ein Magnet-
feld. Schiebt man einen Eisenkern in die Spule, dann wird die magnetische Flussdichte erhöht; also
ist und damit. Zwischen den Enden der Spule entsteht eine Induktionsspannung U.
Nach der Lenzschen Regel wirkt die Induktionsspannung ihrer Ursache entgegen; also ist U
entgegengesetzt gerichtet zu U. Diese Tatsache berücksichtigt man im
0
B 0
ind 0
Induktionsgesetz (mit Vorzeichen): Ändert sich der magnetische Fluss Φ in einer Spule mit n Windungen, dann entsteht zwischen den Enden der Spule die Induktionsspannung
U (^) ind n
= − ⋅ Φ (^).
Ändert sich Φ gleichmäßig, dann ist (^) ind n t
U
konstant.
Ändert sich Φ beliebig, dann ist
- die durchschnittliche Induktionsspannung (^) ind n t
U
die momentane Induktionsspannung U (^) ind ( ) t (^) n (^) ( ) t.
= − ⋅ Φ
Das Vorzeichen im Induktionsgesetz spielt nur dann eine Rolle, wenn an der Spule, zwischen deren Enden eine Spannung induziert wird, eine äußere Spannung U (^) 0 anliegt.
Elektrische Wirbelfelder und Wirbelströme Um ein sich änderndes Magnetfeld ist ein elektrisches Wirbelfeld, d. h. die Feldlinien bilden geschlossene Kreise. Es gibt keinen Pluspol und keinen Minuspol.
Zur Bestimmung der Richtung der elektrischen Feldlinien stellt man sich anstelle einer Feldlinie eine kreisförmige kurzgeschlossene Leiterschleife vor und verwendet die Lenzsche Regel. Achtung: Die Richtung der elektrischen Feldlinien ist definiert durch die Wirkung auf eine positive Probeladung.
Anwachsendes Magnetfeld:
B
JG
Abnehmendes Magnetfeld:
B
JG
E
JG
E
JG
Wenn ein massiver metallischer Körper teilweise von einem Magnetfeld durchsetzt wird und sich relativ zu dem Magnetfeld bewegt, dann fließen in dem Körper Wirbelströme. Diese wirken nach der Lenzschen Regel ihrer Ursache, also der Bewegung des Körpers relativ zum Magnetfeld, entgegen.
Selbstinduktion Ändert sich die Stromstärke in einer Spule und damit das Magnetfeld im Innern der Spule, dann wird zwischen den Enden der Spule eine Spannung induziert. Dieser Vorgang heißt Selbstinduktion.
Anschaulich: Eine Spule „widersetzt sich“ jeder Änderung der Stromstärke.
Betrachte eine langgestreckte Spule mit n Windungen, der Länge l und der Querschnittsfläche A ,
deren Inneres mit einem Stoff der Permeabilitätszahl μ rgefüllt ist. Wird die Spule von einem zeit-
lich veränderlichen Strom der Stärke I durchflossen, dann gilt für die zwischen den Spulenenden induzierte Spannung U (^) ind:
( )
2 ind 0 r 0 r 0 r
n n U n n BA nA B nA I nA I l l
- • • •
- = − ⋅ Φ = − = − ⋅ = − (^) = − ⋅ ⋅ = − ⋅
n A I l
Also ist U (^) ind proportional zu I
− , d. h. es gilt
U ind (^) Proportionalitätsfaktor I
= − ⋅.
Definition: Dieser Proportionalitätsfaktor heißt die Induktivität L der Spule:
L U^ ind I
Einheit:
V
A A
s
Vs 1 H (Henry)
Anschaulich: Die Induktivität ist ein Maß dafür, „wie stark“ sich eine Spule einer Änderung der Stromstärke „widersetzt“.
Aus obiger Rechnung folgt mit den obigen Bezeichnungen:
Eine langgestreckte Spule hat die Induktivität 2 0 r
n A L l
Für Experten: Die Tatsache, dass die induzierte Spannung proportional zur Änderungsrate der
Stromstärke ist, gilt für eine beliebige Spule; also ist die Induktivität ind
U
L
I
= − (^) • für eine beliebige
Spule definiert. Dagegen gilt die Formel
2 0 r
n A L l
= μ μ nur für eine langgestreckte Spule.
- Einschaltvorgang Legt man an eine Spule die (konstante) Spannung U an,
dann beginnt in der Spule ein Strom zu fließen, und im Innern der Spule entsteht ein Magnetfeld. Nach der Lenz- schen Regel ist die Induktionsspannung so gepolt, dass sie dem Anwachsen des Magnetfelds bzw. dem Anstieg der Stromstärke entgegenwirkt. Also ist die Selbstinduktions- spannung U entgegengesetzt gerichtet zur äußeren
Spannung U , und die Stromstärke steigt nur verzögert
0
ind 0 an. Erst nach einiger Zeit (streng genommen erst für t ) erreicht die Stromstärke ihren Maximalwert
I max.
t ein
L , R L
U 0
I
: Spule mit Eisenkern
Der Anstieg der Stromstärke wird umso stärker verzögert, je größer die Induktivität L der Spule ist.
Hat die Spule den ohmschen Widerstand R L , dann
ist die Maximalstromstärke
0 max L
U
I
R
sie hängt nicht von der Induktivität der Spule ab.
L klein L groß
I max
t
I
t ein
Während des Einschaltvorgangs liegt an der Spule die Spannung
U ( ) t = U (^) 0 + U (^) ind( t ) ( *).
Zum Einschaltzeitpunkt t ein ist die Stromstärke
I t ( (^) ein (^) )= 0.
Daraus folgt U (^) ( t ein (^) )= 0 ,
und einsetzen in (*) ergibt
U (^) ind ( t ein (^) )= − U 0.
Anschließend nimmt der Betrag von U ab, bis er nach einiger Zeit (streng genommen erst für
) Null wird.
ind t → ∞
Daraus folgt
ind (^ aus )^ (^ L 1 )^ (^ aus )^ (^ L 1 )^ max (^ L 1 )^0 L^10 L L 1
U R R
U t R R I t R R I R R U R R
Im Moment des Ausschaltens ist die Induktionsspannung also größer als die ursprüngliche Spannung U (^) 0!
Anschließend nimmt die Induktionsspannung ab, bis sie nach einiger Zeit (streng genommen erst für t → ∞) Null wird. Ersetzt man den Widerstand R 1 durch eine Glimmlampe (und wählt die Spannung U kleiner als
die Zündspannung der Glimmlampe), dann leuchtet die Glimmlampe beim Ausschalten kurzzeitig auf.
0
Energie von Magnetfeldern Ohne Herleitung: Die Energie des Magnetfelds einer Spule der Induktivität L , die von einem Strom der Stärke I durchflossen wird, beträgt
2 mag
W = LI.
Für die räumliche Energiedichte
mag mag
W
V
eines homogenen Magnetfelds der Flussdichte B gilt (Betrachte für die Herleitung das Magnetfeld einer langgestreckten Spule): 2 2 2 2 2 2 2 mag 0 r^2 0 r^22 2 mag 0 r (^2) 0 r 0 r
n A n W LI I I l n^ l B I V Al Al l
also 2 mag (^20) r
B
Rotation einer Spule in einem Magnetfeld Definition: Die Winkelgeschwindigkeit (oder Kreisfrequenz) ω einer gleichförmigen Kreis-
bewegung ist der Quotient aus dem überstrichenen Winkel ϕ (im Bogenmaß) und der dafür
benötigten Zeit t :
t
Einheit:
s
(nicht Hz)
Berechung von ω für eine Kreisbewegung mit der Periodendauer T bzw. der Frequenz
f T
Nach einem vollen Umlauf ist ϕ = 2 π und t = T , also
2 2 2 1
f t T f
Merke:
2 f T
Eine Spule mit n Windungen und der Querschnittsfläche A rotiere mit der Periodendauer T bzw. der Frequenz f bzw. der Winkelgeschwin- digkeit ω in einem homogenen Magnetfeld der Flussdichte B , wobei die Drehachse senkrecht zu den Feldlinien stehe. Zum Zeitpunkt werde die Spulenfläche senkrecht von den Feldlinien durchsetzt.
t = 0
B
JG
Nach der Zeit t hat sich die Spule um den Winkel
α =ω t
gedreht.
α
- Herleitung mit dem Induktionsgesetz
Hat sich die Spule um den Winkel α gedreht, dann gilt für
die Fläche , die senkrecht vom Magnetfeld durchsetzt
wird:
A s
A s (^) cos A
= α,
also
A s = A ⋅ cos α= A ⋅ cos ( ω t ).
A α
A s
B
JG
A s A
Nach dem Induktionsgesetz ist
ind s s cos^ sin sin.
U n n BA nB A nB A t nBA t nBA t
- (^) • • (^) • = − ⋅ Φ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ = − ⋅ − ⋅ = ⋅
Also ist die induzierte Spannung eine sinusförmige Wechselspannung
U ( ) t = U l^ ⋅sin( ω t )
mit dem Maximalwert (Scheitelwert)
U^ l = nBA ω.
- Herleitung mit Lorentzkraft
Rotiert die rechteckige Leiterschleife bzw. Spule um die gestrichelt gezeichnete Drehachse, dann wird nur in den beiden achsenparallelen Leiter- stücken eine Spannung zwischen den Enden der Leiterabschnitte induziert.
r
r
d
Die Spannung zwischen den Enden eines solchen Leiterabschnitts ist U (^) ind = Bdv s.
