Download 16 exercises for advantaged maths students and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Vòng I
ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)
SỐ BÁO DANH: Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1 ( 2.5 điểm) :
i i ph ng tr nh:
4n 2n * x x 2012 2012 (n ).
Câu 2 (2.5 điểm) :
Cho số (u )n ịnh ởi ng thứ :
1
(^1 )
n n n
u
u u n u
^
^
^
T nh: (^) lim un?
Câu 3 (1.5 điểm) :
Cho số thự ng , , z. Chứng minh rằng:
2 2 2 2 2 2
x y z 9 x y y z z x
Câu 4 :
Cho tam gi ó là trung iểm ạnh , là hân
ờng phân gi gó BAC. Đ ờng thẳng vu ng gó với tại ắt ờng thẳng
lần l ợt tại theo thứ tự ó. Đ ờng thẳng vu ng gó với tại
ắt tại . Chứng minh vu ng .
Câu 5 (1.5 điểm) :
T m nghiệm ngu ên ng ủa ph ng tr nh:
x 2 3 y z.
--------------------HẾT----------------------
SỞ GD&ĐT KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT
QUẢNG BÌNH NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn thi: Toán - Vòng I (Khóa ngày 11 tháng 10 năm 2012)
HƯỚNG DẪN CHẤM
(Đáp án, hướng dẫn này có 4 trang)
yªu cÇu chung
- Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic
chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.
- Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có
liên quan.
- Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần là 0,
điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.
Câu Nội dung Điểm
1
Ph ng tr nh:
4n 2n x x 2012 2012 (n N*) (1)
Đ t t =
2n 0, ph ng tr nh 1 trở thành: 2
2
2 2
2
t t 2012 2012
t t t 2012 t 2012 4 4
t t 2012 2 2
t 1 t 2012
t t 2011 0. (2)
i i ph ng tr nh 2 ta ợ :
t 2
thỏa m n iều iện
Ph ng tr nh ó 2 nghiệm:
2n 1
x 2
và 2 2n
x 2
, n *.
2,5 điểm
2
Theo ng thứ ịnh ( un ), ta ó
un 0; n.
Áp ụng t ẳng thứ C si, ta ó:
2 3 * (^1 2 2 )
n n n n n n n n
u u u u u n u u u
.
Do ó:
3 * un 3 ; n.
2,5 điểm
Chọn hệ trụ tọa ộ Nxy sao cho A, N nằm trên trụ hoành.
V AB h ng song song với trục tọa ộ nên ph ng tr nh ủa nó ó
dạng : y = ax + b ( a (^) 0. Khi ó : ;
b A a
, (^) P (0; ) b.
AC i qua A và ối xứng với AB qua trụ hoành nên ó ph ng tr nh :
y = - ax – b.
PO i qua P , vu ng gó với AB nên ó ph ng tr nh :
y x b a
O là giao iểm của PO và trụ hoành nên O ( ab ,0).
BC i qua gốc tọa ộ nên :
+) Nếu BC h ng nằm trên trụ tung th ph ng tr nh BC ó ạng y = cx
với c 0,c a v B, C h ng thuộc trụ hoành, BC h ng song song
với AB và AC ).
B là giao iểm của BC và AB nên tọa ộ B là nghiệm của hệ :
y ax b (^) b bc B y cx c a c a
^
^
^ ^ ^
C là giao iểm của BC và AC nên tọa ộ C là nghiệm của hệ :
y ax b (^) b bc C y cx c a c a
^
^ ^ ^
^ ^ ^
Do ó : 2 2 ; 2 2
ab abc M c a c a
^
, suy ra :
2 2 2 ; ( )
bc AM c a a c a
Từ ó ta ó ph ng tr nh ủa AM là :
2 a ab y x c c
Q là giao iểm của AM với trụ tung nên
ab Q QO ab c c
Do ó QO là một ve t ph p tu ến của BC nên QO vu ng gó BC.
+) Nếu BC nằm trên trụ tung th tam gi ABC ân tại A nên M N , do
ó O thuộc AN nên QO vu ng gó BC.
y
x
O
Q
P
N M
B C
A
i s (^) x y z , , là nghiệm ngu ên ng ủa ph ng tr nh. Ta ó:
2
2
x+2 3 2 z
( ) 2 z 2 3
( ) 4 8 3 z 12
y z y
x y z y
x y z yz y
yz x y z
x y z x y z yz
Nếu x ( y z ) th
2 ( ) 4 12 4 3 ( )
x y z yz
x y z
v lý.
Nếu x y z th
y
z yz x y
z
Th lại, ta th : (4; 3; 1) và (4; 1; 3) là nghiệm ủa ph ng tr nh.
V : nghiệm ngu ên ng ủa ph ng tr nh ho là (4; 3; 1) và (4; 1;
3).
1,5 điểm
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
Câu Ý Nội dung Điểm
1 a
T m m:
2 y x 2 mx 3 m và y 2 x 3 ắt nhau tại hai iểm
phân iệt và hoành ộ ng
Yêu ầu ài to n PT sau ó hai nghiệm ng phân iệt 2 2 x 2 mx 3 m 2 x 3 x 2( m 1) x 3 m 3 0
m
m
^
^ ^
m
m
^
Kết hợp nghiệm, ết lu n m 4 0,
b Gi^ i b^ t ph^ ng tr nh:
2 x 8 x 12 10 2 x 1,
TXĐ:
2 x 8 x 12 0 2 x 6 0,
Nếu 5 x 6 th
2 x 8 x 12 0 10 2 x , t ph ng tr nh
nghiệm úng với mọi : 5 x 6 0,
Nếu 2
x x x x
^ ^
^ ^ ^
t pt ho
2 2 x 8 x 12 4 x 40 x 100
2 28 5 48 112 0 4 5
x x x
Kết hợp nghiệm, tr ờng hợp nà ta ó: 4 x 5
T p nghiệm ủa pt ho: (4;6] 0,
2 a Gi^ i ph^ ng tr nh:
^ x^ ^ x^ ^ ^ x (1) 1,
Đ t
3 y 4 x x 3. 1 ó ạng:
3 3
3
y x I x x y
^ ^
Khi ó nghiệm
ủa 1 là ứng với ; là nghiệm ủa I
(I)
3 3
3 3
2 2 3
2 2 ( ) 0
y x
x y x y
(^) ^ ^ ^
3 3
2 2
y x
x y x xy y
^ ^ ^ ^
TH1: y = - ết hợp 2 , ó nghiệm ủa 1 :^3
x 0,
TH2:
2 2 2 (^2) x 2 xy 2 y 1 0; ' (^) x 2 3 y. Nếu ó nghiệm th^2 3
(^) y .
T ng tự ũng ó
x . Khi ó VT 2
3 2 8 2 4 3 3 3 3
^
Chứng tỏ TH2 v nghiệm. KL 1 ó 1 nghiệm^3
3
4
(^) x 0,
b (^) i i ph ng tr nh:
2 2 x 11 x 23 4 x 1 1,
ĐK: x 1.
2 (1) 2( x 6 x 9) ( x 1 4 x 1 4) 0 0,
2 2 2( x 3) ( x 1 2) 0 (*) 0,
Do
2 a 0( a )nên pt *
x
x
^ ^
^ ^
x 3. V pt ho ó 1 nghiệm =3 0,
3 a
M (1;4). Đg thẳng d qua M , d cắt trụ hoành tại A ; d cắt trục tung tại
B. T m gi trị nhỏ nh t của diện t h tam gi OAB ( xA ; yB 0 ) 1,
i s A a;0 ; B 0; , a>0; >0. PT ờng thẳng AB: 1
x y
a b
V AB qua M nên
a b ab ab
ab^ a
a b b
^
^ 0,
Diện t h tam gi vu ng OAB vu ng ở O là S
1 1
. 8 2 2
(^) OA OB ab .
V S nhỏ nh t ằng 8 hi d qua A(2;0), B(0;8)
b (^) (C) : ( x 2) 2 ( y 3)^2 9 ; A (1; 2). qua A , cắt (C) tại M và N.
T m gi trị nhỏ nh t của ộ ài oạn thẳng MN.
C ó tâm I 2;-3 , n nh R=3. Có A nằm trong ờng tròn C v 2 2 2 IA (1 2) ( 2 3) 2 9 0,
Kẻ IH vu ng gó với MN tại H ta ó 2 2 2 2 2 2 IH HN IN 9 MN 4 HN 4(9 IH ) 0,
Mà IH AH IH IA 2
2 MN 4(9 2) 28 MN 2 7 0,
V MN nhỏ nh t ằng 2 7 hi H trùng A ha MN vu ng gó với
IA tại A
4 a
Chứng minh rằng tứ gi lồi ABCD là h nh nh hành hi và hỉ hi 2 2 2 2 2 2 AB BC CD DA AC BD
Tứ gi lồi ABCD là h nh nh hành AB DC AB DC 0 0,
2 AB DC 0
2 2 AB DC 2 AB DC. 0 0,
2 2 AB DC 2 AB .( AC AD ) 0
2 2 2 2 2 2 2 2 AB DC ( AB AC BC ) ( AB AD BD ) 0 (*)
v
2 2 2 2 2 2 a b a 2. a b b 2. a b a b a b )
2 2 2 2 2 2 AB BC CD DA AC BD Đp m
( Chú ý : nếu chỉ làm được 1 chiều thì cho 0,75 đ)
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)
ĐỀ CHÍNH THỨC M n: TOÁN ( BẢNG A )
Thời gian: 180 phút không kể giao đề )
Ngà thi: 06/10/
Câu 1: ( 5,0 điểm )
a. i i ph ng tr nh sau:
2 2 3 4 4 x x 1 1 5 x 4 x 2 x x với x R.
b. i i ph ng tr nh:
2 2sin x 3 sin 2 x 1 3 cos x 3 sin x.
Câu 2: ( 5,0 điểm )
a. Cho tam gi ABC vu ng ân tại B , ạnh AB 2. Trong m t phẳng hứa tam gi
ABC l iểm M thỏa
2 2 2 MA MB MC. T m quỹ t h ủa iểm M.
b. Cho tam gi ABC ó hai trung tu ến BM và CN hợp với nhau một gó ằng
0 60 ,
BM 6, CN 9. T nh ộ ài trung tu ến òn lại ủa tam gi ABC.
Câu 3: ( 4,0 điểm )
Cho số (^) un ịnh ởi u 1 (^) 1 và
2 un (^) 1 3 u (^) n 2 với mọi n 1.
a. X ịnh số hạng tổng qu t ủa số (^) un .
b. T nh tổng
2 2 2 2 S u 1 (^) u 2 (^) u 3 (^) ... u 2011.
Câu 4: ( 3,0 điểm )
Cho a b c , , là a số thự h ng âm và thỏa m n iều iện
2 2 2 a b c 1.
T m gi trị lớn nh t ủa iểu thứ :
3 M a b c a b c 6 abc
Câu 5: ( 3,0 điểm )
T m m ể hệ ph ng tr nh sau ó nghiệm:
3 2
2
x y x xy m
x x y m
^ ^
với x y , là
số thự.
………………. Hết ……………….
Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh:……………………………………;Số báo danh:…………
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯỚNG DẪN CHẤM
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
LONG AN LỚP 12 THPT NĂM 2011 (VÒNG 1)
Môn: TOÁN ( BẢNG A ). Ngà thi: 06/10/
ĐỀ THI CHÍNH THỨC ( Hướng dẫn có 04 trang )
Nếu th sinh làm ài h ng theo h nêu trong h ớng ẫn h m mà vẫn úng th ho ủ iểm từng phần nh
h ớng ẫn qu ịnh.
Câu Đáp án Thang điểm
1
(5,0 điểm)
a. ( 3,0 điểm )
Đ t
2 3 1, 2
t x x t . Khi ó ph ng tr nh trở thành:
4 2 4 2 2 4 t t 7 t 5 t 6 t 9 t 4 t 4 0
0,
^ ^
2 2 2 2 2 t 3 t 2 0 t t 1 t t 5 0 (*)
0,
(*)
2
2
1 0
5 0
t t
t t
^ ^
0,
Với
3
2
t th
2 t t 1 0 ó một nghiệm là
1 5
2
t
Với
3
2
t th
2 t t 5 0 ó một nghiệm là
1 21
2
t
0,
Khi
1 5
2
t
th
2 2 1 5 2 1 2 2 1 5 0 2
x x x x
(^) (^)
1 3 2 5
2
x
ho
1 3 2 5
2
x
.
0,
Khi
1 21
2
t
th
2 2 1 21 2 1 2 2 9 21 0 2
x x x x
(^) (^)
1 19 2 21
2
x
ho
1 19 2 21
2
x
.
0,
b. ( 2,0 điểm )
Ph ng tr nh ho ợ viết lại:
2 2 3sin x 2 3 sin x cos x cos x 3 3 sin x cos x 0,
2 3 sin x cos x 3 3 sin x cos x 0 0,
3sin x cos x 0 ho 3sin x cos x 3 0,
(4,0 điểm) (^) Dễ th 0, * un n N
Từ
2 2 2 (^) un (^) 1 3 u (^) n 2 un (^) 1 3 u (^) n 2.
0,
Đ t
2 v n un th ó: vn (^) 1 3 v (^) n 2 vn (^) 1 1 (^3) vn (^1) . 0,
Đ t (^) xn vn 1 th ta ó:
xn (^) 1 3 xn^. Từ^ â^ su^ ra^ xn là^ p số nhân với^ x 1 (^) 2 ,^ ng^ ội
là 3.
0,
Nên:
1 1 1 2.3 2.3 1 2.3 1
n n n xn vn un
. 0,
b. 2,0 điểm
0 1 2 2010 S 2.3 2.3 2.3 ... 2.3 2011^ 0,
0 1 2 2010 2 3 3 3 ... 3 2011^ 0,
2011 2 3 1 2011 3 1
0,
2011 3 2012^ 0,
4
(3,0 điểm)
Chứng minh ợ : (^)
(^2 2 2 ) a b c 3 a b c 3 0,
Suy ra: a b c 3 và
3 a b c 3 a b c 0,
3 8 3 2 6 2 3 6 3 3
a b c M a b c abc
^ (^)
0,5 + 0,
V TLN ủa M là
8 3
3
0,
i trị nà ạt ợ hi
1
3
a b c .
0,
5
(3,0 điểm) Viết lại hệ:
^
2
2
2 2 3
2
x x x y m
x x x y m
(^) ^ ^ ^
0,
Đ t
2 u x 2 , x v x y. Dễ ó: u 1.
Hệ trở thành:
u v. 2 m 3
u v m
^ ^ ^
0,
Suy ra:
2 2 3 2 3 3 2 2
u u m u m u m u m u
(^) 0,
Xét hàm
2 3
2
u f u u
với (^) u 1.
2 / 2
4 3 0, 1 2
u u f u u u
0,
B ng iến thiên:
u 1
/ f u^ +
f (^) u
2
0,
Kết lu n : m 2. 0,
ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN
KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH
LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2011 – 2012
Câu Ý Nội dung Điểm
I 1 CM tam gi IAB ó iện t h h ng phụ thuộ vị tr iểm M 1,
2 ( ) ; , 1 1
a M C M a a a
2 2
y y a x a
Tiếp tu ến ủa C tại M ó pt 2
a y x a a a
Tiệm n ứng 1 ó ph ng tr nh x 1
Tiệm n ngang (^) 2 ó ph ng tr nh (^) y 1 I ( 1;1) 0,
1
a A A a
, 2 B B (^) 2 a 1;1 0,
IAB
a S IA IB a a a a
h ng
phụ thuộ vào a, p m
(^2) T m m ể hàm số
2 y 9 x m x 9 ó ự ại 1,
TXĐ: ,
2 2 2
mx m y y x x x
2 2 y ' 0 9 x 9 mx 0 9 x 9 mx
2 2 2 2 2
mx mx
x m x m x
^
^ ^ ^
(I)
TH 1.
2 2 m 81 9 m 9 m. x 9 x 9 x 9( x )nên
2
2
x mx y x
x
su ra hàm số ồng iến trên , h ng
ó ự trị.
TH 2. 1
2
m I x m
1 2 2 1
1 1
m y x x x x
là iểm ự tiểu m 9 loại 0,
TH 3. 2
2
m I x
m
2 2 2 2 2 2
m y x x
x x
là iểm ự ại.
V hàm số ó ự ại m 9
II 1 i i ph ng tr nh
2012 2012 1005
sin x cos x 2
Đ t
2 t sin x t , 0;1. 1 ó ạng:
1006 1006 1005
t t (2) (^) 0,
Xét hàm số
1006 1006 f t ( ) t (1 t ) , t 0;
1005 1005 f '( ) t 1006[ t (1 t ) ] ;
f t t 0,
(^1005) 0;1 1005
(0) (1) 1, min ( ) 2 2 2
f f f f t
V
(^) t 0,
hay (1)
sin cos 2 0 2 4 2
x x x k
( k Z ) 0,
2 i i hệ ph^ ng tr nh
2 2
2 2
x x y y
x y xy
^ ^
ĐK: y 1.
2 2 (1) x y y 1 x 1
2 2 2 2 2 2 x 2 xy y y 1 x 1 2 ( y 1)( x 1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 xy ( y 1)( x 1) x y x y y x 1 x y 1 0,
Kết hợp với 2 ta ợ
2 2 2 2 2
x y x x xy x y xy y^ x
^ ^ ^
^ ^
2 x 0 & (2) y 1 y 1
y x x x x y ^ 0,
Th lại ta ó x 0, y 1 và
x y thỏa m n hệ pt
V hệ ó 2 nghiệm nh trên
III 1 Chứng minh
tan sin ( 3 ), 0; 2 2 2
x x x x
Xét hàm số
( ) tan sin 2
f x x x x trên 0; 2
3 2 2
2 2 2
1 9 2cos 9cos 2 (2cos 1)(cos x 4cos 2) '( ) cos cos 2 2cos 2cos x
x x x x f x x x x
V
2 0; 0 cosx<1 (cos 2) 4cos 0 '( ) 2
x x x f x
ùng
u với 1 2cos x. B ng iến thiên ủa f ( ) x
x 0 3
f '( ) x - 0 +
f ( ) x 3 ( 3 ) 2
2 2
. ' ' 2 2 2 2 .
S AD C
S ADC
V SD SC SD SD SC SC SA SA
V SD SC SD SC SD SC
Do
3 2
..
S ABC S ADC
a V V a a 0,
Cộng 1 và 2 theo vế ta ợ
3 3
. ' '. ' ' 3 3.^ '^ '^ '
S AB C S AD C S AB C D
V V a a V a a
2 T m ma và min ủa thể t h hối hóp S.AMN 1,
H nh vẽ trang uối
.
V S AMN S (^) AMNa. Đ t BM x DN , y ; x y , 0; a
Trên tia ối ủa tia DC l iểm P sao ho DP BM x
ABM ADP AM AP BAM , DAP^ 0,
0 0 0 MAN 45 BAM DAN 45 NAP DAP DAN 45
1 1
. ( ) 2 2
MAN PAN S MAN S (^) PAN AD PN a x y (*)
Áp ụng ịnh l Pitago trong tam gi vu ng CMN ta ợ 2 2 2 2 2 2 MN MC CN ( x y ) ( a x ) ( a y )
2 2 2 2 2 2 2 x y 2 xy a x 2 ax a y 2 ay xy a x ( y ) a
2 a ax y x a
Thế vào * ta ợ
2 1 ( ) 2
MAN
a ax S a x x a
Đ t
2 2 2 2
2
a x a a x ax a f x f x x a x a
^
f '( ) x 0 x ( 2 1) a.
2
(0) ( ) 2
a f f a ,
2 f (( 2 1) ) a a ( 2 1)
2
0;
max ( ) a 2
a f x ,
2
0;
min ( ) ( 2 1) a
f x a
V
3
.
max 6
S AMN
a V khi
M B N C
M C N D
^ ^
^
3
.
min 3
S AMN
a V
khi MB ND a ( 2 1) 0,
V
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b bc c ca a b c
a ab c b bc a c ca b
x y , 0 ta^ ó
2 2 2 2 2 2 2 2
x x y xy x xy y x y y
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2
a ab a ab a ab a ab c
a ab c a^ ab^ c
^
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) 2
a b a c ab a b c a c
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 3 2 (10)( )
2 20
a b c a a a a a b b b c c
2 ( ) (^5 3 )
a a a a a b b b c c (^) a b c 0,
T ng tự, ộng lại ta ợ
2 2 2
2 2 2 2 2 2
a ab b bc c ca a b c
a ab c b bc a c ca b
Đẳng thứ ra
a b c 0,
x
y
x
450
A
D
B
C
M
P N
