Download Maths exercises for students and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
Разбор всех типов задач 1-5 ОГЭ
КВАРТИРЫ
Для объектов, указанных в таблице, определите, какими цифрами они обозначены на плане. Заполните таблицу, в ответ запишите последовательность четырёх цифр. Владелец собирается провести ремонт своей квартиры. На плане изображена предполагаемая расстановка мебели и бытовой техники на кухне после ремонта. Сторона каждой клетки равна 0,3 м. Кухня имеет квадратную форму. Единственная дверь кухни деревянная, в стене напротив двери расположено окно. Справа от двери будут поставлены полки для посуды, слева от двери будет смонтирована раковина для мытья посуды. В углу слева от окна предполагается разместить газовую плиту. Между раковиной и плитой будет собран буфет, отмеченный цифрой 3. Площадь, занятая буфетом, по плану будет равна 0,72 м^2. В центре кухни планируется поставить обеденный стол. Кроме того, в угол кухни будет поставлен холодильник, занимающий 0,36 м^2 пола. Пол кухни (в том числе там, где будет стоять мебель и бытовая техника) планируется покрыть плиткой размером 30 см × 30 см. Кроме того, владелец квартиры планирует смонтировать на кухне электрический подогрев пола. Чтобы сэкономить, владелец не станет подводить обогрев под холодильник, плиту, буфет, раковину и полки для посуды, а также на участок площадью 0,18 м^2 между буфетом и плитой. Решение: Рассписываем все цифры исходя из условия задачи: 1 - плита 3 - буфет 5 - раковина 2 - холодильник 4 - стол 6 - полки для посуды И тогда ответ: Ответ: 4215 Объекты Стол Холодильник Плита Раковина Цифры Объекты Стол Холодильник Плита Раковина Цифры 4 2 1 5
Плитка для пола продаётся в упаковках по 5 штук. Сколько упаковок плитки нужно купить, чтобы покрыть пол кухни? Решение:
- (м) - одна сторона кухни;
- (м ) - площадь кухни;
- (м ) - площадь одной плитки;
- упаковки потребуется, но так как упаковки продаются целиком, тогда понадобится 17 упаковок Ответ: 17 № 3 Найдите площадь той части кухни, на которой будет смонтирован электрический подогрев пола. Ответ дайте в м^2. Решение:
- (м) - одна сторона кухни;
- (м ) - площадь кухни;
- (м ) - площадь места от плиты до раковины;
- (м ) - площадь холодильника;
- (м ) - площадь полки для посуды;
- (м ) - площадь той части кухни, на которой будет смонтирован электрический подогрев пола. Ответ: 5, № 4 Найдите расстояние (по прямой) между противоположными углами обеденного стола. Ответ дайте в метрах. Решение: Проводим диагональ в прямоугольнике, который является столом Находим по Теореме Пифагора: (м) Ответ: 1,
AC
AC = BC^2 + A B^2 = 1,2^2 + 0,9^2 = 2,25 = 1,
A B
C
При входе на участок справа от ворот находится баня, а слева— гараж, отмеченный на плане цифрой 7. Площадь, занятая гаражом, равна 32 кв.м. Жилой дом находится в глубине территории. Помимо гаража, жилого дома и бани, на участке имеется сарай (подсобное помещение), расположенный рядом с гаражом, и теплица, построенная на территории огорода (огород отмечен цифрой 2). Перед жилым домом имеются яблоневые посадки. Все дорожки внутри участка имеют ширину 1 м и вымощены тротуарной плиткой размером 1 м× 1 м. Между баней и гаражом имеется площадка площадью 64 кв.м, вымощенная такой же плиткой. К домохозяйству подведено электричество. Имеется магистральное газоснабжение. Решение: Рассписываем все цифры исходя из условия задачи: 1 - теплица 3 - жилой дом 5 - яблони 7 - гараж 2 - огород 4 - сарай 6 - баня И тогда ответ: Ответ: 3461 № 2 Тротуарная плитка продаётся в упаковках по 4 штуки. Сколько упаковок плитки понадобилось, чтобы выложить все дорожки и площадку перед гаражом? Решение: Сосчитаем количество плиток, выложенных на участке. Их 90 штук, тогда
- упаковки потребуется, но так как упаковки продаются целиком, тогда понадобится 23 упаковки Ответ: 23 № 3 Найдите площадь, которую занимает жилой дом. Ответ дайте в квадратных метрах. Решение: Разобьём дом на два прямоугольника и тогда площадь дома будет находиться как сумма площадей двух прямоугольников: (учитываем, что сторона клетки = 2 м) Объекты Жилой дом Сарай Баня Теплица Цифры 3 4 6 1
- (м ) - площадь дома. Ответ: 68 № 4 Найдите расстояние от жилого дома до гаража (расстояние между двумя ближайшими точками по прямой) в метрах. Решение: Проведём расстояние от жилого дома до гаража: Находим по Теореме Пифагора: Ответ: 10 № 5 Хозяин участка планирует устроить в жилом доме зимнее отопление. Он рассматривает два варианта: электрическое или газовое отопление. Цены на оборудование и стоимость его установки, данные о расходе газа, электроэнергии и их стоимости даны в таблице. Обдумав оба варианта, хозяин решил установить газовое оборудование. Через сколько часов непрерывной работы отопления экономия от использования газа вместо электричества компенсирует разность в стоимости покупки и установки газового и электрического отопления? Решение:
- (руб) - полная стоимость газового отопления;
- (руб) - полная стоимость электрического отопления;
- (руб) - разница в цене;
- (руб) - цена в час за газовое отопление;
- (руб) - цена в час за электрическое отопление;
AC
AC = BC^2 + A B^2 = 62 + 82 = 100 = 10
Нагреватель (котел) Прочее оборудование и монтаж Сред. расход газа / сред. потребл. мощность Стоимость газа / электро-энергии Газовое отопление 24 тыс. руб. 18 280 руб. 1,2 куб. м/ч 5,6^ руб./куб.^ м Электр. отопление 20 тыс. руб. 15 000 руб. 5,6 кВт 3,8 руб./(кВт· ч )
A B
C
1 - Антоновка 3 - Доломино 5 - Жилино 7 - Богданово 2 - Егорка 4 - Ванютино 6 - Горюново И тогда ответ: Ответ: 4625 № 2 Найдите расстояние от Антоновки до Егорки по шоссе. Ответ дайте в километрах. Решение: Расстояние от Антоновки до Доломино равно 12 км, от Доломино до Егорки — 4 км - исходя из этих условий можем найти расстояние от Антоновки до Егорки: (км). Ответ: 8 № 3 Найдите расстояние от Егорки до Жилино по прямой. Ответ дайте в километрах. Решение: Находим по Теореме Пифагора: (км) Ответ: 15 № 4 Сколько минут затратят на дорогу Таня с дедушкой из Антоновки в Богданово, если поедут мимо пруда через Горюново? Решение: Мы знаем, что от Антоновки до Горюново Таня с дедушкой поедут по просёлочной дороге, а от Горюново до Богданово по шоссе. Деревни Ванютино Горюново Егорка Жилино Цифры (^4 6 2 )
AC
AC = BC^2 + A B^2 = 92 + 122 = 225 = 15
B A
C
- Находим по Теореме Пифагора: (км)
- (ч) - время затраченное на движение от Антоновки до Горюново;
- (ч) - время затраченное на движение от Горюново до Богданово;
- (ч) - время затраченное на движение от Антоновки до Богданово;
- (ч) = (мин) - время затраченное на движение от Антоновки до Богданово в минутах. Ответ: 57, № 5 За какое наименьшее количество минут Таня с дедушкой могут добраться из Егорки в Жилино? Решение:
- Находим по Теореме Пифагора: (км)
- (ч) = (мин) - время затраченное на движение от Егоровки до Жилино по шоссе;
AC
AC = BC^2 + A B^2 = 152 + 202 = 625 = 25
AC
AC = BC^2 + A B^2 = 92 + 122 = 225 = 15
B A
C
B A
C
- пакет СМС, включающий 120 СМС в месяц;
- безлимитные бесплатные входящие вызовы. Стоимость минут, интернета и СМС сверх пакета тарифа указана в таблице. Абонент не пользовался услугами связи в роуминге. За весь год абонент отправил 110 СМС. Решение: Рассписываем все месяцы исходя из графика: 2,5 ГБ - январь (1 месяц) 3,25 Гб - октябрь (10 месяц) 3 Гб - июнь (6 месяц) 1 Гб - июль (7 месяц) И тогда ответ: Ответ: 16107 № 2 Пользуясь рисунком, поставьте в соответствие каждому из указанных периодов времени характеристику израсходованных минут и гигабайтов. ПЕРИОДЫ ХАРАКТЕРИСТИКИ а) январь-февраль 1) Расход минут увеличился, а расход гигабайтов уменьшился. б) февраль-март 2) Расход гигабайтов увеличился, а расход минут уменьшился. в) август-сентябрь 3) Расход минут увеличился, и расход минут гигабайтов увеличился. г) ноябрь-декабрь 4) Расход минут уменьшился, и расход гигабайтов уменьшился Запишите в ответ цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: Решение: Всё определяем по графику и заполняем таблицу: Исходящие вызовы 3 руб/мин Мобильный интернет (пакет) (^90) руб за 0,5 Гб СМС (^2) руб/шт Мобильный интернет 2,5 Гб 3 Гб 3,25 Гб 1 Гб Номер месяца 1 6 10 7 А Б В Г
Ответ: 3421 № 3 Сколько рублей потратил абонент на услуги связи в июне? Решение: Мы точно знаем, что абонент каждый месяц платил за тариф 350 рублей, значит это фиксированная сумма. Осталось выяснить, вышел ли он сверх пакета за какую-то из услуг. Июнь (6 месяц) мы видим, что он не вышел сверх пакета по интернету, но вышел сверх пакета по минутам разговора на 25 минут. С учётом того, что одна минута сверх пакета стоит 3 рубля получаем следующую сумму:
- (руб) Ответ: 425 № 4 Какое наименьшее количество минут исходящих вызовов за месяц было в 2019 году? Решение: Наименьшее количество минут было в марте (3 месяц) - 150 минут (определяем по графику) Ответ: 150 № 5 Абонент хочет приобрести новый смартфон. В трёх салонах сотовой связи этот смартфон продаётся в кредит (сначала делается первоначальный взнос, а потом ежемесячно в течение всего срока кредита вносятся платежи) на разных условиях. Условия приведены в таблице. Определите, в каком из салонов покупка обойдётся дешевле всего (с учётом переплаты). В ответ запишите эту сумму в рублях. Решение: Рассчитаем стоимость смартфона в каждом салоне: А Б В Г (^3 4 2 )
Салон Стоимость смартфона (руб.) Первоначальный взнос (в % от стоимости) Срок кредита (мес.) Ежемесячный платёж (руб.) А (^18 000 20 6 ) Б (^17 500 30 12 ) В (^17 600 25 12 )
Решение: Заполняем таблицу, исходя из рисунка и размеров: Ответ: 3421 № 2 Сколько листов формата А 3 получится из одного листа формата А2? Решение: Из рисунка чётко видим, что из одного листа формата А 2 получается два листа формата А3. Ответ: 2 № 3 Найдите площадь листа формата А1. Ответ дайте в квадратных сантиметрах. Решение: Площадь листа формата А 1 равна половине площади листа А0, тогда получаем
- (м )= (см ) Ответ: 5000 № 4 Найдите отношение длины меньшей стороны листа формата А 3 к большей. Ответ округлите до десятых. Решение: Исходя из № 1 знаем, что лист формата А 3 имеет длину 420 мм, и ширину 297 мм, тогда получаем отношение:
Ответ: 0, № 5 Бумагу формата А 5 упаковали в пачки по 500 листов. Найдите массу пачки, если масса бумаги площади 1 кв. м равна 80 г. Ответ дайте в граммах. Решение: Из рисунка видно, что в одном листе формата А0 - 32 листа формата А 5
- если переводить формат листов А 5 в формат А0;
- (гр) - масса 500 листов формата А5. Ответ: 1250 A0 A1 A3 A 3 4 2 1
SA 1 =
SA 0
ПЕЧИ
Найдите объём парного отделения строящейся бани. Ответ дайте в кубических метрах. Хозяин дачного участка строит баню с парным отделением. Парное отделение имеет размеры: длина 3,5 м, ширина 2,2 м, высота 2 м. Окон в парном отделении нет, для доступа внутрь планируется дверь шириной 60 см, высота дверного проёма 1,8 м. Для прогрева парного отделения можно использовать электрическую или дровяную печь. В таблице представлены характеристики трёх печей. Для установки дровяной печи дополнительных затрат не потребуется. Установка электрической печи потребует подведения специального кабеля, что обойдётся в 6500 руб. Решение: , где - длина, - ширина, - высота. (м ) Ответ: 15, № 2 Установите соответствие между объёмами помещения и номерами печей, для которых данный объём является наименьшим для отопления помещений. Заполните таблицу, в бланк ответов перенесите последовательность трёх цифр без пробелов, запятых и других дополнительных символов. Решение: Заполняем таблицу исходя из данных предыдущей таблицы: Ответ: 132 Номер печи Тип Объем помещения Масса Стоимость (^1) Дровяная 8-12 40 18 000 (^2) Дровяная 10-16 48 19 500 3 Электрическая 9-15,5 15 15 000
V = a ⋅ b ⋅ c a b c
V = 3,5 ⋅ 2,2 ⋅ 2 = 15,4 2
Объём 8 9 10 Номер печи Объём 8 9 10 Номер печи 1 3 2
понадобилось узнать радиус закругления арки R. Размеры кожуха в сантиметрах показаны на рисунке. Найдите радиус закругления арки в сантиметрах. Решение: По Теореме Пифагора находим радиус закругления арки: (см) Ответ: 50
ШИНЫ
Завод допускает установку шин с другими маркировками. В таблице показаны разрешённые размеры шин. Шины какой наименьшей ширины можно устанавливать на автомобиль, если диаметр диска равен 15 дюймам? Ответ дайте в миллиметрах. Автомобильное колесо, как правило, представляет собой металлический диск с установленной на него резиновой шиной. Диаметр диска совпадает с диаметром внутреннего отверстия в шине. Для маркировки автомобильных шин применяется единая система обозначений. Например, 195/65 R15 (рис.1). Первое число (число 195 в приведённом примере) обозначает ширину шины в миллиметрах (параметр B на рисунке 2). Второе число (число 65 в приведённом примере)— процентное отношение высоты боковины (параметр на рисунке 2) к ширине шины, то есть
R = 402 + 302 = 2500 = 50
Ширина шины (мм) Диаметр диска (дюймы) 13 14 15 165 165/70 165/65 — 175 175/65 175/65; 175/60 — 185 185/65; 185/60 185/60 185/ 195 195/60 195/55 195/55; 195/
Последующая буква обозначает тип конструкции шины. В данном примере буква R означает, что шина радиальная, то есть нити каркаса в боковине шины расположены вдоль радиусов колеса. На всех легковых автомобилях применяются шины радиальной конструкции. За обозначением типа конструкции шины идёт число, указывающее диаметр диска колеса d в дюймах (в одном дюйме 25,4мм). Таким образом, общий диаметр колеса D легко найти, зная диаметр диска и высоту боковины. Возможны дополнительные маркировки, обозначающие допустимую нагрузку на шину, сезонность использования, тип дорожного покрытия и другие параметры. Завод производит легковые автомобили определённой модели и устанавливает на них колёса с шинами маркировки 165/70 R13. Решение: Исходя из таблицы видим, что на автомобиль с диаметром диска 15 дюймов, можно установить шины с минимальной шириной 185 мм. Ответ: 185 № 2 На сколько миллиметров радиус колеса с шиной маркировки 205/55 R больше, чем радиус колеса с шиной маркировки 165/65 R14? Решение: Существует формула для быстрого нахождения диаметра колеса по данным показателям: (показатель) (показатель) + (показатель) Диаметр колеса с маркировкой 205/55 R14:
- (мм) Тогда радиус это диаметр пополам:
- (мм) Диаметр колеса с маркировкой 165/65 R14:
- (мм) Тогда радиус это диаметр пополам:
- (мм) Разница в радиусе:
- (мм) Ответ: 5,
D =
⋅ I ⋅ II III ⋅ 25,
D =
R =
D =
R =
Пробег увеличился на Ответ: 0,
ТЕПЛИЦЫ
Какое наименьшее количество дуг нужно заказать, чтобы расстояние между соседними дугами было не более 60 см? Алексей Юрьевич решил построить на дачном участке теплицу длиной NP =4,5 м. Для этого он сделал прямоугольный фундамент. Для каркаса теплицы Алексей Юрьевич заказывает металлические дуги в форме полуокружностей длиной 5,2м каждая и плёнку для обтяжки. В передней стенке планируется вход, показанный на рисунке прямоугольником ACDB. Точки A и B — середины отрезков MO и ON соответственно. Решение: Давайте решим эту задачу наглядно: Ответ: 9 № 2 Найдите примерную ширину MN теплицы в метрах. Число π возьмите равным 3,14. Результат округлите до десятых. Решение: Ширина это ничто иное как диаметр окружности, тогда воспользуемся формулой длины дуги: , где длина окружности находится как длина полуокружности, умноженная на число 2:
- (м) - длина окружности Выразим из первой формулы:
- (м)
MN
L = 2 πR = Dπ
L = 5,2 ⋅ 2 = 10,
D
D =
L
Ответ: 3, № 3 Найдите примерную площадь участка внутри теплицы в квадратных метрах. Ответ округлите до целых. Решение: Площадь участка внутри теплицы находится как площадь прямоугольника со сторонами и. Ширину мы нашли в прошлом номере м, длина дана по условию м.
- (м ) Ответ: 15 № 4 Сколько квадратных метров плёнки нужно купить для теплицы с учётом передней и задней стенок, включая дверь? Для крепежа плёнку нужно покупать с запасом 10 %. Число π возьмите равным 3,14. Ответ округлите до целых. Решение: Для начала необходимо посчитать площадь крыши теплицы. Она представляет собой прямоугольник со сторонами, равными 4,5 и 5,2.
- (м ) Остаётся посчитать площадь двух полуокружностей (перед и задняя часть теплицы). Вместе это одна окружность, значит, можно не считать площадь 2 раза.
- (м ) Общая площадь поверхности теплицы:
- (м )
- (м ) - 10 от общей площади Общая площадь поверхности теплицы с запасом 10 :
- (м ) Ответ: 35 № 5 Найдите примерную высоту входа в теплицу в метрах. Число π возьмите равным 3,14. Ответ округлите до десятых. Решение:
MN NP MN MN = 3,
NP NP = 4,
S = 4,5 ⋅ 3,3 = 14,85 ≈ 15 2
S = 4,5 ⋅ 5,2 = 23,4 2
S = π r^2 = 3,14 ⋅ 1,65^2 ≈ 8,548 ≈ 8,6 2
0, 1,
