Download Calculus Exercises: Planintegrals and Iterated Integrals and more Exercises Calculus in PDF only on Docsity!
Calculus Ugesedel 7
Thorarinn Thorarinsson
18. oktober 2021
Udregn planintegralet (^) ∫ ∫
R
(x^2 + y^2 ) dA
n˚ar R er rektanglet R = [0, a] × [0, b].
Vi indsætter vores grænser og beregner det itererede integral som vi plejer. ∫ ∫
R
(x^2 + y^2 ) dA =
∫ (^) a
0
∫ (^) b
0
(x^2 + y^2 ) dydx =
∫ (^) a
0
[
x^2 y +
y^3
]b
0
dx
∫ (^) a
0
bx^2 + b^3 3 dx =
[
b 3 x^3 + b^3 3 x
]a
0
(ba^3 + b^3 a)
Udregn planintegralet ∫ ∫
R
sin(x) + cos(y) dA
n˚ar R er kvadratet R =
[
0 , π 2
]
×
[
0 , π 2
]
Vi indsætter vores grænser og beregner det itererede integral som vi plejer. ∫ ∫
R
sin(x) + cos(y) dA =
∫ π 2
0
∫ π 2
0
sin(x) + cos(y) dydx
∫ π 2
0
[sin(x)y + sin(y)]
π 2 0 dx^ =
∫ π 2
0
π 2
sin(x) + 1 dx
[
π 2 cos(x) + x
]π 2 0
π 2 cos( π 2
π 2
π 2 cos(0) − 0 = π
Lad h : R −→ R og k : R −→ R være kontinuerte funktioner, og R = [a, b] × [c, d] et lukket rektangel i R^2. Definer f : R −→ R s˚a:
f (x, y) = h(x)k(y)
Gør rede for, at
∫ ∫
R
f (x, y) dA =
(∫ (^) b
a
h(x) dx
) (∫ (^) d
c
k(x) dx
Vi starter med at indsætte vores grænser for det itererede integral: ∫ ∫
R
f (x, y) dA =
∫ (^) b
a
∫ (^) d
c
h(x)k(y) dydx
Bemærk at funktionen h(x) afhænger ikke af y og dermed betragtes som en konstant i det indre integral, og kan dermed trækkes udenfor integralet:
∫ (^) b
a
h(x)
(∫ (^) d
c
k(y) dy
dx
Bemærk at det indre integral er nu en funktion der kun afhænger af y, og der- med betragtes som en konstant i det ydre integral. Dermed kan den trækkes udenfor det ydre integral:
(∫ (^) b
a
h(x) dx
) (∫ (^) d
c
k(y) dy
Nu n˚ar de to integraler er uaffhængige af hinanden m˚a vi gerne skifte y variablen til x, og dermed har vi vist det ønskede resultat.
(∫ (^) b
a
h(x) dx
) (∫ (^) d
c
k(x) dx
Udregn herefter flg. planintegraler:
a
R
7 x^7 y^4 dA n˚ar R = [0, 1] × [0, 1]
Her bruger vi Sætning 4.11 som siger:
V (M ) =
∫ π 2
0
∫ π 2
0
sin(x) cos(y) dydx
Hvilket er et integral som vi har arbejded med før i den forrige opgave, vi skal bare indsætte de rigtige grænseværdier:
=
sin
(π 2
− sin(0)
− cos
(π 2
Udregn planintegralet
D x
(^3) y (^2) dA, n˚ar:
D = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 2 , −x ≤ y ≤ x}
D er en mængde af type I og x^3 y^2 er en kontinuert funktion, s˚a har vi pr. Sætning 4.23 at følgende lighed gælder: ∫ ∫
D
x^3 y^2 dA =
0
∫ (^) x
−x
x^3 y^2 dydx
Vi udregner nu dette itererede integral:
=
0
[
x^3 y^3
]x
−x
dx =
0
x^6 dx =
Udregn planintegralet
D x^ cos(y)^ dA, n˚ar^ D^ er omr˚adet i^ R
(^2) begrænset af
linjerne y = 0, x = 0, x = 1 og parablen y = x^2.
Vi kan skrive D som en mængde af type I:
D = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x^2 }
Idet x cos(y) er en kontinuert funktion, s˚a har vi pr. Sætning 4.23 at følgende lighed gælder: ∫ ∫
D
x cos(y) dA =
0
∫ (^) x 2
0
x cos(y) dydx
Vi udregner nu dette itererede integral:
=
0
[x sin(y)]x 2 0 dx^ =
0
x sin(x^2 ) dx
Vi omskriver integralet s˚a vi kan bruge integration ved substitution:
0
2 x sin(x^2 ) dx =
02
sin(t) dt
(− cos(1) + cos(0)) =
(− cos(1) + 1)
Udregn planintegralet
D(x^ +^ y)^ dA, n˚ar D = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ y ≤ 1 , y^2 ≤ x ≤
y}
Er D et omr˚ade af type I?
D er ikke et omr˚ade af type I, det er et omr˚ade af type II idet x variab- len er begrænset af funktioner af y. Og da x + y er en kontinuert funktion, s˚a har vi pr. Sætning 4.31 at følgende lighed gælder: ∫ ∫
D
(x + y) dA =
0
∫ √y
y^2
(x + y) dxdy
Vi udregner nu dette itererede integral:
0
[
x^2 + yx
]√y
y^2
dy =
0
y + y (^32) −
y^4 − y^3 dy
[
y^2 +
y
(^52) −
y^5 −
y^4
] 1
0
Lad D = {(x, y) ∈ R^2 : 0 ≤ x ≤ 1 ,
x ≤ y ≤ 1 }
Find rumfanget V (M ) n˚ar
M = {(x, y, z) ∈ R^3 : (x, y) ∈ D, 0 ≤ z ≤ ey 3 }
For x = 1 f˚ar vi at y =
3, hvilket betyder at:
tan(θ) =
⇒ θ = tan−^1 (
π 3 Dermed kan vi omskrive S s˚aledes: S = {(r cos(θ), r sin(θ)) ∈ R^2 : 0 ≤ r ≤ 2 , 0 ≤ θ ≤ π 3
Da funktionen x + y er kontinuert s˚a har vi pr. Sætning 4.46 at følgende lighed gælder: ∫ ∫
S
x + y dA =
0
∫ π 3
0
(r cos(θ) + r sin(θ))r dθdr
Vi udregner nu dette itererede integral:
=
0
∫ π 3
0
(cos(θ) + sin(θ))r^2 dθdr
0
r^2 dr
) (∫ π 3
0
cos(θ) + sin(θ) dθ
sin
(π 3
− cos
(π 3
− sin(0) + cos(1)
Udregn rumintegralet (^) ∫ ∫ ∫
B
xy^2 + z^3 dV
n˚ar B = [0, 1] × [0, 2] × [0, 3].
Vi indsætter vores grænser og beregner det itererede integral som vi plejer. ∫ ∫ ∫
B
xy^2 + z^3 dV =
0
0
0
xy^2 + z^3 dzdydx
0
0
3 xy^2 +
dydx
0
23 x +
dx = 2^2 +
U
Lad D betegne omr˚adet i planen begrænset af to cirkler med centrum i (0, 0) og radier 2 og 3 samt koordinater x, y ≥ 0.
a
Tegn en skitse af omr˚adet D.
Det gider jeg ikke, men jeg kan beskrive omr˚adet. Det er en kvart annulus skive med centrum (0, 0) i første kvadrant. (Svar mulighed 3).
b
Beskriv D i polære koordinater.
Idet vores mængde kun er defineret i første kvadrant, s˚a kan vores vinkel løbe imellem 0 og den vinkel y aksen danner med x aksen, hvilket er π 2.
{(r, θ) | 0 ≤ θ ≤ π 2 , 2 ≤ r ≤ 3 }
c
Opstil et itereret integral til beregning af dobbeltintegralet ∫ ∫
D
(x + y) dA
Vi bliver nødt til at omskrive vores x og y s˚a at de er polære koordinater, og s˚a indsætter vi vores grænser:
∫ (^3)
2
∫ π 2
0
(r cos(θ) + r sin(θ))r dθdr
d
Beregn værdien af det partielle integral: ∫ (^3)
2
r^2 dr
