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Chap 3 : Forces de poussées hydrostatiques
L’hydrostatique est l’étude de l’eau au repos, on s’intéressera dans cette partie à l’étude des forces de poussées sur les parois plane et courbées, leurs valeurs, directions et points d’application, ensuite on verra la flottabilité et à la fin l’équilibre relatif, qui met en évidence le comportement d’un liquide au repos soumis à une accélération rectiligne ou un mouvement rotationnel. 1- Pression : a- Définition de la notion de pression : La pression est définie comme étant une force exercée par unité de surface. b- Propriété de la pression en un point (fluidité parfaite) : Soit un repère arbitraire AX, AY, AZ. On coupe ce dernier par un plan ABC infiniment proche de A.
Posons : - Aire BCD= dw.
- Aire ACD= dwx=.
- Aire BDA= dwy=.
- Aire CAB = dwz =. , , sont respectivement les angles que fait la normale à BCD avec les trois axes. Soit la force pression exercée en tous points de la surface élémentaire dw.
- dFx=Pxdwx
- dFy=Pydwy
- dFz=Pzdwz dF, dFx,dFy,dFz sont normales aux faces du tétraèdre sur lesquelles elles s’appliquent. Suivant le principe d’Alembert, l’élément ABCD est en équilibre sous l’action des forces suivantes :
- Les forces de pression.
- Le poids.
- Les forces d’inertie s’il y a mouvement. Le poids est négligeable devant la pression, et puisqu’il n’ y a pas de mouvements relatifs, donc les seules forces présentes. Sur l’axe AX : -dFcos()+dFx=0 , ou Pdwcos()=Pxdwx , donc : P=Px De même pour AY et AZ : P=Py et P=Pz Rapprochons infiniment le plan BCD du point A, en le maintenant parallèle à lui-même jusqu’à ce qu’il contient A, Les pressions Px, Py , Pz et P sont égales entres elles, et elle deviennent les pression au point A dans quatre directions arbitraires.
Z
Y
X
D
B
A C
Théorème de Pascal : Dans un liquide de fluidité parfaite, en équilibre ou en mouvement, la pression en un point est la même dans toutes les directions autour de ce point.
N.B : La pression est une grandeur scalaire, elle ne dépend que de la position du point et non de l’orientation.
2- Equation générale de l’hydrostatique : Soit un parallélépipède fluide représenté dans un repère OX,OY ,OZ. Les arrêtes du parallélépipède sont : dx, dy, dz.
La masse du parallélipipéde est m = dxdydz
: est la masse volumique du fluide. Les forces qui agissent sur cet élément sont : b- Les forces extérieures. c- Les forces intérieures (forces de pression). Pour que cet élément soit en équilibre il faut que la somme des forces suivant toutes les directions soit nulle : a- Forces extérieures : Soit FX,FY,FZ les composantes par unité de masse des forces extérieures suivant OX,OY,OZ.
Soit F
la résultantes des forces extérieures, qui a une unité d’accélération :
(III,1)
b- Forces de pression : La somme des forces de pression exercées suivant OX est égale à la somme des forces de pression exercées sur la face perpendiculaire à OX, soit ABCD et EFGH. Soit P la pression exercée en A, dx est la distance entre A et E, donc la pression en E
sera : dx x
P
P
La somme algébrique de ces deux pressions est donc : La force de pression serait :
On trouve de même pour l’axe OY :
Et pour OZ :
La condition d’équilibre suivant OX s’écrit :
A^ B
X
Y
Z
D C
E F
O H G
Fig( ) : parallélépipède fluide
1- Unités de la pression: La pression est homogène au quotient d’une force par unité de surface, son équation aux
dimensions est : 1 2
2
²
− −
− = ML T L
MLT
Les unités usuelles de la pression sont :
- Le bar : Kgf/cm²
- Le pascal : N/m²
- Le barye : dyne/cm²
- L’atmosphère : 1 atm=1,0134 bar
- ….etc 2- Mesure de la pression : La mesure de la pression se fait par le manomètre pour les pression relatives (manométriques) positives (pression absolue au dessus de la pression atmosphérique), et par le vacuomètre pour les pressions relatives négatives (pressions vacuomètriques).
Fig( ) : Manomètre type bourdon. Il y’ a entre autre divers types d’instrument de mesures de la pression, dont : a- Le piézomètre : Le piézomètre est l’instrument de mesure de la pression le plus simple, c’est un tube raccordé au point ou on veut déterminer la pression, celle-ci n’est autre que la hauteur d’eau qui monte dans ce tube.
Fig( ) : piézomètres verticale et incliné.
Le piézomètre est souvent vertical, la pression en un point est équivalente à : P = ϖ h
Si le piézomètre est incliné : P = ϖ h = ϖ L sin( α)
b- Piézomètre en U : Il consiste en un tube en U dont une extrémité est raccordée au point de mesure et l’autre à l’aire libre, le tube contient soit du mercure ou autre liquide plus dense que le fluide dont la
h
L
pression est à mesurer pour la mesure des pression manométriques, ou contient un liquide plus léger (moins dense que le liquide dont on veut mesurer la pression) pour le cas des mesures de la pression vacuomètrique.
Pour une pression manométrique (1er^ cas) : PA = ρ^2 gh 2 −^ ρ 1 gh 1
Pour une pression vacuométrique (2em cas) : PA =−( ρ 2 gh 2 + ρ 1 gh 1 )
N.B : Le plan horizontale, qui passe par un seul liquide continu, est un plan d’égale pression (ou isobare, isopiéze…etc). c- Manomètre différentiel : C’est un tube raccordé entre deux point où en veut déterminer la différence de pression ou hauteur piézomètrique, il peut être à un seul liquide avec valve d’entrer d’air, ou à deux liquides.
A
h 1
h 2
A
h 1 h 2
h
Valve d’entrée d’air
h
h^ ²^ dS =^ I^0 : C’est le moment d’inertie de la surface par rapport à la surface libre. Fh (^) C = ϖ I 0 , et F^ =^ ϖ hGS
h S
I
h
h Sh I
G
C
G C 0
0
ϖ = ϖ (III,8)
Suivant le théorème des axes parallèles : 2 I (^) 0 = IG + ShG , IG : est le moment d’inertie par rapport à un axe passant par le centre de gravité. Si on remplace, on trouve :
G
G G G
G G C Sh
I
h Sh
I Sh h = +
2 (III,9)
On remarque que la position du centre de poussée est indépendante du poids volumique du liquide. 6-3- Cas d’une plaque incliné : Soit une plaque de forme quelconque immergée et inclinée d’un angle .
On procède de la même manière que le cas verticale, sauf que l’axe des moments passe par le point « O ». a- Force de poussée : La pression sur l’élément « dY » est (^) P = ϖ h
dF = PbdY = ϖ hbdY , h = Y sin( θ)
dS= bdY. YdS^ =^ YGS
G
CP
b
dY
YG
YC
hC hG h
Fig( ) : Plaque plane inclinée
O
F = ϖsin( θ) YG S , hG = YG sin( θ)
F = ϖ hG S (III,10)
C’est la même expression que (III,7). b- Centre de poussée :
La force de poussée exercée sur un élément dY : dF = ϖ hbdY = ϖ Y sin( θ) dS
Le moment de la force par rapport à l’axe « O ».
dM = dFY = ϖ Y ²sin( θ) dS
M = ϖsin(θ ) Y ² dS =ϖsin(θ) Y ² dS =ϖsin( θ) I 0
0
0 sin( ) sin( )
sin( ) Y SY I
M FY I
G C
C
G G
G G
C Y
Y S
I
Y S
I
Y =^0 = + (III,11)
sin( )
sin(θ) θ
G G
C C
h Y
h Y = =
On trouve donc : (^) G G
G C h h S
I
h = +
sin²( θ )
(III,12)
C’est la même expression que (III,9) 6-4- Cas d’une surface courbée : Soit une surface courbée totalement immergée :
La surface élémentaire « dS » est situé à une profondeur de « h », la pression qui s’ y exerce
est : P = ϖ h
Donc la force élémentaire sera : dF = ϖ hdS F = ϖ hdS (III,13)
La dernière intégrale n’est pas possible dans tous les cas, car la force F change de direction () sur la paroi, ce problème peut être dépassé par l’adoption de deux composante « dFx et dFy », suivant les deux axes X et Y.
dF dF h dS
dF dF h dS
y
x cos( ) cos( )
sin( ) sin( )
Après intégration on obtient :
dS dS cos()
dS sin()
F
E G
A
B
F
Fx^
Fy
Fig( ) : Force de poussée sur paroi courbée.
