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Mathématiques

Maths

Prof : Habib Haj Salem

Lycée Pilote Médenine

Page 1

Lycée Pilote Médenine

Table de matière

Partie 1

Nombres complexes

Partie 2

Arithmétique

Partie 3

Probabilités et Statistiques

Partie 4

Isométries – Similitudes

Partie 5

Suites

Partie 6

Coniques

Partie 7

Ln et Exp

Partie 8

Géométrie dans l’espace

!!نحن هنا لكي نضع بصمتنا في هذا الكون، وإال ما فائدة مجيئنا إليه؟ ”

“ستيف جوبز ”

Révision Mathématique

Auteur : Habib Haj Salem

Section : Bac Mathématiques

c) Résoudre alors l’équation ( E).

d) Utiliser ce qui précède pour construire le point antécédent par f du point ’ d’affixe

2 2

' i

2 2

  

Exercice 4( bac 2013)

Dans le plan muni d'un repère orthonormé direct  

O,u,v

. on considère les points E et F d'affixes

respectives 1 et i. On désigne par C 1

et C 2

les cercles de centres respectifs E et F et de même rayon 1.

Soit un réel de l'intervalle [0,2 [, M le point d'affixe

i

1 e



 et N le point d'affixe i(

i

1 e



1. a) Calculer Aff

 

EM et Aff

 

FN

b) Montrer que, lorsque varie dans  

0,2 , M varie sur C

1

et N varie sur C 2

c) Montrer que les droites (EM) et (FN) sont perpendiculaires.

2. Soit P le point d'affixe z p

telle que Z P

 

i

1 i sin .e



a) Montrer que

 

 

Aff EP

sin cos

Aff EM

et calculer

 

 

Aff FP

Aff FN

b) Montrer que P est le point d'intersection des droites (EM) et (FN).

Exercice 5 :

1. Soit un réel appartenant a  0 , . On considère l`équation (



E ) :

2 2 sin 0

2

  





i

z z i e

On note z 1 et z 2 les solutions de ( 

E ).

a- Sans calculer z 1

et z 2,

montrer que      



 2

arg arg

1 2

z  z  

b – Résoudre dans IC l équation (



E ).

2)-Le plan complexe étant rapporte a un repère orthonormé direct  O , u , v ,on désigne par A,M et N les

points d`affixes respectives :

 i 

N

i

A M

z  2. z  1  e etz  1  e.

a- Ecrire

M N

z etz sous forme exponentielle.

b- Déterminer l` ensemble des points M lorsque  varie dans  0 , .

c- Donner la nature du quadrilatère OMAN.

d- Trouver  sachant que le quadrilatère OMAN est un carré

Exercice 6 :

Le plan est rapporté à un repère orthonormé direct  

O,u,v .On note A le point d'affixe - 2.

On considère l'équation (E) : 3z

3

• 2z

2

• 4z + 16 = 0.

Soit

 et M, N et P les points d'affixes respectives , 

2

et

1 ) Montrer que si

 IRalors les points M, N et P sont alignés.

Dans la suite de l'exercice on suppose que  n'appartient pas à IR.

2. Montrer que si MNAP est un parallélogramme, alors a est une solution de l'équation (E).

3. Dans cette question on prend

  1 i 3

a) Donner l'écriture exponentielle de chacun des nombres complexes ,

2

 et

Placer dans le repère  

O,u,v

les points A, M, N et P.

b) Donner l'écriture algébrique de chacun des nombres complexes 

2

et

Montrer que le quadrilatère MNAP est un parallélogramme.

4. a) Montrer que si est une solution de (E) alors est une solution de (E).

b) En déduire les affixes des points M pour lesquels MNAP est un parallélogramme.

Exercice 7 :

1. a- Résoudre dans , l’équation ( E ) : z

2

• 2z+4=0.

b- Déterminer une écriture exponentielle de chacune des solutions de ( E ).

2. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé direct

 

O,u,v

, on considère le cercle ( 

) de centre

O et de rayon 2 et le point A d’affixe 2.

Placer les points B et C d’affixes respectives

i

3

2e



et

i

3

2e





3. Soit  

   , et M le point du cercle ( ) d’affixe

i

2e



On désigne par N le point de ( ) tel que

 

 

OM,ON 2

 . Justifier que N a pour

i

3

2e

  



 

 

4. Soit r la rotation de centre A et d’angle

a) Vérifier que r a pour expression complexe :

i i

3 3

z' e z 2 2e

 

b) Soit F et K les milieux respectifs des segments [BM] et [CN]. Montrer que r(F)=K.

c) En déduire la nature du triangle AFK.

5. a) Montrer que AF

2

=4- 2 3 cos

b) En déduire l’affixe du point M pour la quelle AF est maximale et construire le triangle AFK

correspondant.

Exercice 8 :

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé (O, u



, v



1. Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que

z

z

soit réel.

2. On considère les points M, N et Q d’affixes respectives, z,

z

et

2

z

z

a) Vérifier que

Q M

N M

z z

z z

z

z

b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tel que M, N et Q soient alignés

3. Résoudre dans l’équation :

2 2i

z 2i z -(1-e )



 =0 ou’  ]0 , [

4. On pose M d’affixe z = i (1-

i

e



a) Ecrire z sous la forme exponentielle

b) Déterminer en fonction de , une mesure de l’angle orienté ( MN, MQ).

c) Déterminer alors pour que le triangle MNQ soit équilatéral

Exercice 1 :

1. Vérifier que : 13

1 ( mod 7 )

2. En déduire le reste modulo 7 de l’entier 13

2018

3. Soit n un entier, on pose a = 2n-3 et b = 3n-1.

a- Montrer que tout diviseur commun de a et b , divise 7.

b- En déduire les valeurs possibles de a b

c- Pour quelles valeurs de n, a-t-on a b = 7.

4. Pour a = 2.

2018

• 3 et b = 3.

2018

• 1. Trouver a

b.

Exercice 2:

On considère la suite 

n

u définie par :

0

1

5 2 , pour

n n

u

u u n IN



1°) a) Calculer

1

u ,

2

u ,

3

u , et

4

u.

b) Que peut-on dire à propos des deux derniers chiffres du terme

n

u

c) Montrer, par récurrence, que pour tout entier n ,  

n

u .

d) En déduire les deux derniers chiffres du terme

n

u

2°) Montrer que pour tout entier n ;

n

u et

n 1

u



sont des entiers premiers entre eux.

Exercice 3:

On considère l’équation dans x

, (E) : 36x - 25y =5 où (x,y) est le couple d’inconnues.

1. a) Déterminer une solution particulière de l’équation ( E’) : 36x-25y=

b)En déduire un couple (x 0 ,y 0 ) , solution particulière de E.

c) Résoudre alors E dans x.

2. Soit (x,y) un couple solution de E et d=x y

a) Montrer que d=1 ou d=5.

b) Déterminer les couples (x,y) , solutions de (E ) tels que x et y soient premiers entre eux.

Exercice 4 :

On considère l’équation (E) : 8x + 5y = 1 où x et y sont des entiers relatifs.

1. a) Citer le théorème permettant d’affirmer que l’équation (E) a des solutions.

b) Donner une solution particulière de (E).

c) Résoudre dans x

l’équation (E).

2. a) Résoudre dans : (S)

x 1(mod8)

x 2(mod5)

b) Dans le cas où x est un entier solution de (S), déterminer le reste de la division euclidienne de x par

3. On considère l’équation (E’) : 8x + 5y = 100.

a) Résoudre dans x l’équation (E’).

Partie

02

b) Un groupe de garçons et de filles a dépensé 100 dinars dans une excursion. Chaque garçon a dépensé

8 dinars et chaque fille a dépensée 5 dinars. Donner les répartitions des groupes possibles.

Exercice 5 :

1. a) Résoudre dans l’équation : x²

8 [41]

b) Etablir l’équivalence : x² – 19x – 10  

 0 mod41 ( x + 11)²

 

 8 mod

c) En déduire les solutions dans de l’équation : x² – 19x – 10  0 mod41 .

2. Montrer que pour tout entier naturel n, l’entier 6

n

n+

est divisible par 7.

3. a) Déterminer, suivant les valeurs de l’entier naturel n, le reste modulo 7 de 2

n

b) En déduire que si n n’est pas un multiple de 3 alors 2

2n

n

• 1 est divisible par 7.

Exercice 6 :

1) Soit n IN , déterminer suivant les valeurs de n le reste modulo 13 de 5

n

2. Pour tout entier naturel n , on pose An= 5

n

2n

3n

a) Déterminer, suivant les valeurs de n, le reste modulo 13 de A n

b) Déterminer alors l’ensemble des entiers naturels n tels que A n

• 1(mod13).

3. Déterminer l’ensemble des entiers naturels n tels que : (25)

n

n

n

• 1 ( mod13)

Exercice 7 :

1. On considère dans x , l’équation E : 11x + 8y=3.

a) Soit ( x, y) une solution de E , quelles sont les valeurs possibles de x y.

b) Montrer que les solutions de E sont les couples (x,y) tels que x= - 8k+1 et y= 11k-1 avec k

En déduire l’ensemble des entiers , tel que x y = 3.

2. On considère dans x , l’équation E’ : 11x + 8y=.

a) Déterminer l’inverse de 8 modulo 11

En déduire que si ( x, y) est une solution de E’ alors y  

3 mod.

b) Résoudre alors l’équation E’.

3. Déterminer le reste modulo 11 de 8

10

;En déduire que 8

9

 7 mod11  que 8

20

1 9

• 7 est divisible par

Exercice 8 ( bac 2014 contr )

1. Soit dans

x

l'équation ( E) : 1111 x - 10

4

y = 1.

a) Vérifier que ( - 9, - 1) est une solution de ( E).

b) Résoudre l'équation ( E).

2. Soit n un entier.

a) Montrer que s'il existe deux entiers p et q tels que n=1111p et n=1+q

4

alors

(p, q) est une solution de (E).

b) Déterminer alors l'ensemble des entiers n tels que

 

 

4

n 0 mod

n 1 mod

c) En déduire le plus petit entier naturel multiple de 1111 et dont le reste dans la division

euclidienne par 10

4

est égal à 1.

Exercice 9:

1. On considère dans

2

l'équation (E) : 11x - 13y = 9

(a) Vérifier que (2,1) est une solution de (E),

(b) Résoudre (E).

Exercice 1 : Une urne contient 5 boules indiscernables au toucher : deux blanches et trois noires.

1. On extrait au hasard et simultanément deux boules de l’urne.

a) Calculer la probabilité de chacun des évènements suivants :

A « tirer deux boules blanches »

B « tirer deux boules de la même couleur »

b) Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches tirées.

Déterminer la loi de probabilité de X et calculer l’espérance E(X) de X.

2. On effectue maintenant un tirage de deux boules de la façon suivante :

On tire une première boule de l’urne , on note sa couleur , on la remet dans l’urne et on ajoute une autre

boule de la même couleur que la boule tirée. On tire ensuite une seconde boule.

On note B 1 : « tirer une boule blanche au premier tirage »

B

2

: « tirer une boule blanche au deuxième tirage »

a) Calculer p(B 1 ) , p(B 2 /B 1 ) et p

  2 1

B / B

b) En déduire que p(B 2 )=

c) Calculer la probabilité de tirer une boule noire au second tirage.

d) A la fin de l’épreuve, on a su qu’on a tiré une boule blanche. Quelle est la probabilité d’avoir tiré

une boule noire au premier tirage?

3. On remet l’urne dans son état d’origine : contenant 2 boules blanches et 3 boules noires.

On répète l’épreuve de la question 2) n fois de suite ( n 2 ) de façon indépendante et dans les même

conditions , en remettant après chaque épreuve dans son état original .On note Z la variable aléatoire

égale aux nombres de réalisation de l’évènement B 2.

a) Exprimer p(Z=4) en fonction de n.

b) Donner E(Z) et (Z)

c) Quelle est la probabilité p n

d’obtenir au moins une fois l’événement B 2

d) Déterminer le plus petit entier n pour que p n0,

Exercice 2 :

Un responsable d'un magasin achète des MP

5

auprès de deux fournisseurs F

1

et F

2

dont 25% du

fournisseur F

1

La proportion des MP 5

du deuxième choix est de 2 % chez le fournisseur F 1

et de 4 % chez

le second. On considère les événements :

D : " Le MP 5

est du deuxième choix"

F

: " le MP

5

provient du fournisseur F 1

F

: " le MP

5

provient du fournisseur F 2

1. a. Donner un arbre pondéré.

b. Calculer P ( D F

) puis démontrer que P ( D ) = 0, 0 35.

c. Un MP 5

est du deuxième choix. Quelle est la probabilité qu’il provienne du premier

fournisseur?

2. Le responsable commande 20 MP 5

, quelle est la probabilité qu’au moins deux d’entre eux soient

Partie

03

du deuxième choix.

3. Le responsable achète le MP 5

du premier fournisseur à 80 dinars et du second à 72

D

et il vent le MP 5

à 125

D

s’il est du premier choix et à 1 5

D

si non.

On désigne par X la variable aléatoire qui a chaque MP

5

vendu associe le gain algébrique en

dinars réalisé par le responsable.

a. Déterminer la loi de probabilité de X.

b. Calculer l’espérance mathématique de X. Donner une interprétation de ce résultat.

4. La durée de vie en mois d'un MP 5

est une variable aléatoire T qui suit une loi exponentielle de

paramètre .

a. La probabilité qu'un MP 5

dépasse 5 mois de durée de vie est 0, 3 2 5. Déterminer . On

prend dans la suite 

b. Quelle est la probabilité qu’un MP

5

dure moins de 8 mois?

c. Quelle est la probabilité qu’un MP

5

dure au plus 2 ans sachant qu’il a déjà duré plus de 3

mois.

Exercice 3 :

Au début de l’épidémie on constate que 0,01% de la population est contaminé.

Pour t appartenant à [0 ;30] , on note y(t) le pourcentage de personnes touchées par la maladie après

t jours. On a donc y(0)=0,01.

On admet que la fonction y ainsi définie sur [0,30] est dérivable , strictement positive et vérifie

y ’ = 0,05y(10-y).

1. On considère la fonction z définie sur [0 ;30] par z=

y

.Démontrer que :

y satisfait aux conditions y(0)=0,01 et y’ = 0,05y(10-y) si et seulement si z satisfait aux conditions

z(0)=100 et z’= - 0,5 z + 0,.

2. a) En déduire une expression de la fonction z puis celle de la fonction y.

b) Calculer le pourcentage de la population infectée après 30 jours. On donnera la valeur

arrondie à l’entier le plus proche.

3. le quart de la population est vaccinée contre cette maladie contagieuse .De plus , on estime que

sur la population vaccinée , 92% des individus ne tombent pas malades .Sur la population totale on

estime aussi que 10% des individus sont malades .On choisit au hasard un individu de cette

population.

a) Montrer que la probabilité de l’évènement A : « l’individu n’est pas vacciné et tombe malade » est

égale à 0,08.

b) Quelle est la probabilité de tomber malade pour un individu qui n’est pas vacciné?

Exercice 4

On dispose de deux urnes U 1 et U 2 contenant des boules indiscernables au toucher

 U

1

contient k boules blanches ( k un entier naturel supérieur ou égal a 1)et trois boules noires.

 U 2 contient deux boules blanches et une boule noire..

On tire une boule au hasard dans U 1 et on la place dans U 2 .On tire ensuite au hasard une boule dans

U 2.

On note *B 1

(respectivement N 1

)l’événement « on a tire une boule blanche ( resp. noire ) dans l’urne U 1

*B

2

( respectivement N 2

) l’événement « on a tire une boule blanche (resp. noire) dans l’urne U 2

3). Donner une équation de la droite de régression D de y en x obtenue par la méthode des moindres

carrés.

Représenter la droite D dans le repère précédent.

Ajustement non affine

On pose z = ln (y) Montrer qu'une équation de la droite de régression de z en x est donnée par

Z = - 0,22 x + 8,01.

1. Déterminer une expression de y en fonction de x de la forme A

x

B où A est un réel arrondi au

centième près et B est un réel arrondi à l'unité près.

2. Déterminer après combien d'années d'utilisation le prix de revente devient inférieur ou égal à 500

dinars.

3)- Après 6 années d'utilisation le prix de revente d'une machine est de 780 dinars.

Des deux ajustements précédents, quel est celui qui semble le mieux estimer le prix de revente

après 6 années d'utilisation? On argumentera la réponse

Exercice 7 :

On appelle capacité vitale chez l’homme , le volume d’air maximum pouvant être mobilisé par une

inspiration forcée suivie d’une expiration forcée.

Le tableau ci-dessous donne la capacité vitale C, exprimée en cm

3

, chez les hommes âgés de 40 ans en

fonction de leur taille t exprimée en cm.

t ( en cm) 152 156 160 166 170 174 178 180 182

C ( en cm

3

1. a) Donner une valeur approchée à 10

• 5

près du coefficient de corrélation linéaire entre t et C.

b) justifier que l’on peut procéder à un ajustement affine par la méthode des moindres carrés de la

série (t,C).

a) Donner une équation de la droite de régression de C en t. ( Les coefficients seront arrondis à 10

2

prés).

b) Déduire de cet ajustement une estimation de la capacité vitale d’un homme agé de 40 ans et de

taille égale à 188 cm

2. En fait, la capacité vitale C ( exprimée en cm

3

) chez l’homme dépend de sa taille t ( exprimée en

années).

De nombreuses expériences ont permis d’exprimer C en fonction de t et g selon la relation

(R ) : C C    t g 754 où  etsont des constantes ( ne dépendent pas de t et g).

a) Donner l’expression de C pour g40.

b) En déduire , e, utilisant 1/ c) , les valeurs de  et.

3. Estimer la capacité vitale d’un homme agé de 50ans et mesurant 188cm.

Exercice 8 :

Pour chacune des questions suivantes, une seule des trois propositions est exacte. Indiquer la bonne

réponse.

Question 2 : Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi uniforme, sa fonction de répartition

est donnée ci-contre :

1°) La densité de X est la fonction f définie sur [-1, 2] par f ( x ) =

a)

b) 3 c) –

2°) P ( X  1 / X 0)=

a)

1

1 e



 b) 1 c) 0.

3°) On considère l’inéquation (E) :

x

, on choisit au hasard un

réel x dans [-1, 2]. La probabilité d’avoir x solution de (E) est égale à :

a) 0 b)

c)

Question 3 : Soit X une variable aléatoire continue qui suit une loi exponentielle de paramètre  2

Soit n un entier naturel. On pose

n

n n

u P X

, 

n

u est une suite géométrique de raison q =

a)

e

b)

10

e

c)

5

e

Pour tout



n  IN , 2 n ² n ( 2 n ) 

a) n b) 2n c) 2n + 1.

Question 4 :

Soit F la fonction définie sur]0, + [par F(x) =

3

ln

2

1

x

t

x te dt





La dérivée de F sur]0, + [est définie par F  (x) =

a)

 

5

2

ln x

x

b)

 

ln

1

3 ln

x

t

x

x te dt

x





c)

5

2

x

x e



Exercice4:

Dans le plan complexe P rapporté à un repère orthonormé direct  

O,u,v , on donne les points A et B

d’affixes respectives - 1 et i. Soit f :

P P

M(z) M'(z')

tel que z’= (1+i)z +i

1. (a) Déterminer la nature de f et préciser ses éléments caractéristiques.

(b) Soit M un point distinct de A. Montrer que A MM’ est rectangle isocèle en M.

2. On pose M 0 = 0 et on pose pour tout n de , Mn+1 = f(Mn ). On désigne par zn l’affixe de Mn.

(a) Montrer que pour tout n de , zn = (1 + i)

n

(b) Montrer l’équivalence O , A, Mn sont alignés  n est un multiple de 4.

Exercice5:

Le plan est rapporté à un repère-orthonormé direct  

O,u,v

S oi t f l a similitude in directe qui à tout point M d’affixe z, associe le point M ' d’affixe z ' tel que

z ' = - 2i z+ 2i+1 , où zdésigne le conjugué de z.

1. Déterminer le rapport de f.
2. (a) Montrer que f admet un seul point invariant, on le note I. Calculer son affixe.

(b) Déterminer l’ensemble des points M d’affixe z tels que IM' 2IM_._

En déduire une équation de l’axe de f.

3. On pose M 0

le point d’affixe 2 et on pose pour tout n de ,M n+

= f(M n

).Soit z n

l’affixe de M n

(a) Caractériser fof.

(b) Montrer que pour tout n de , Z2n =

n

• 1 et Z 2n+1 = 1 - 2  4

n

i.

Exercice 6 :

Dans le plan orienté, on considère un rectangle OABC tel que OA = 2OC et  

 

OA ,OC 2

La perpendiculaire à (OB) passant par B coupe la droite (OA) en J et la droite (OC) en J’.

A/ 1) Soit f la similitude directe qui envoie J en O et O en J’.

a) Déterminer l’angle de f.

b) Déterminer f(B) et en déduire le centre et le rapport de f.

2. Soit g la similitude indirecte qui envoie J en O et O en J’.

a) Donner le rapport de g.

b) En déduire que g admet un unique point invariant que l’on notera I.

c) Déterminer gog(J) et en déduire que I appartient à (JJ’).

d) Construire le centre I et l’axe  de g.

B/ On rapporte le plan complexe au repère orthonormé

O, OA,OC

1. Montrer que les points J et J ont pour affixes respectives

et 5i.

2. Donner la transformation complexe associée à f.

3. a) Donner la transformation complexe associée à g.

b) En déduire l’affixe du point I, centre de g.

c) Déterminer une équation de l’axe de g.

Exercice 7 ( bac 2010 princ) :

Le plan est orienté dans le sens direct.

Dans la figure ci-contre, [AB] et [IJ] sont deux diamètres perpendiculaires

du cercle ( C ), M est un point variable du cercle (C ) tel que

 

 

MA ,MB  2 

[et MBEN et MKFA sont des carrés de sens direct.

1) Montrer que les points E, F et M sont alignés.

2) On désigne par r 1 et r 2 les rotations d'angle

et de centres respectifs A et B.

a) Montrer que r 1 or 2 est la symétrie centrale de centre I.

Déterminer r 2 (E). En déduire que lorsque M varie, la droite (EF) passe par un point fixe que l’on déterminera.

3) Soit S la similitude directe de centre A, d'angle

et de rapport 2

a) Déterminer S (M).

b) Construire le point G image de F par S.

c) Montrer que F est le milieu du segment [KG].

d) En déduire que lorsque M varie, la droite (KF) passe par un point fixe P. Construire P.

Exercice 8 :

Soit ABCD un carré de centre O tel que  [ 2 ]



AB AD . On note I le symétrique de C par rapport a D, J

= A* I et ( C ) le cercle circonscrit au carré ABCD. On désigne par R la rotation de centre D et d’angle



1/ Soit f la similitude directe de centre C et telle que f (D) = A.

a) Préciser le rapport et l’angle de f.

b) Vérifier alors que f (O) = B.

2/ On note

g t f R

CD

a) préciser g (A) et g (J).

b) Montrer que g est une similitude directe dont-on précisera le rapport et l’angle.

c) Soit  le centre de g. Montrer que  ( C )

3/ a) Caractériser g  g , en déduire que  

, [2 ]

J D



    .

b) Trouver alors une construction géométrique de .

4/ Soit  la similitude indirecte définie par  =

( AJ )

g  S et K =

J

S

(D).

a) Déterminer  (J), et montrer que   est une homothétie dont-on précisera le rapport.

Vérifier que K est le centre de  .

b) Déterminer alors les éléments caractéristiques de .

Exercice 9 (BAC 2008 prin)

Le plane est orienté dans le sens direct.

Dans I 'annexe c ci-jointe ( Figure2 page3 ), OAB est un triangle

rectangle isocèle tel que OA = OB et  

 

OA,OB 2

On désigne par I le milieu du segment [AB] et par C et D les symétriques

respectifs du point I par rapport à O et à B.

Soit f la similitude directe qui envoie A sur D et O sur C.

1. Montrer que f est de rapport 2 et d'angle

2. a) Montrer que O est I 'orthocentre du triangle ACD.

b) Soit J le projeté orthogonal du point O sur( AC).

Exercice 12 ( bac 2014 ctr)

Le plan est orienté dans le sens direct.

Dans l'annexe ci-jointe ( Figure 1), IAB est un triangle isocèle en A , O est le milieu de [Bl], OA=2OI et

 

 

OI,OA  2 

.Soit h l ‘homothétie de centre I et de rapport 2 et s la similitude directe de centre O, de

rapport 2 et d'angle

1. Determiner h(O) et S(I).

2. Pour tout point M du plan , on note P son image par h et Q son image par s.

Soit f l'application qui à un point M du plan associe le point M' barycentre des points pondérés (P, 3) et (Q,

a) Soit 0' = f(0). Montrer que 

OO' OB

et construire le point O'.

b) Soit I’=f(I) .Montrer que 

II' IA

et construire le point I’.

3. Dans cette question, on munit le plan du repère orthonormé direct

 

O,OI,OJ , où J est le milieu

de [OA] et on note z l'affixe d'un point M du plan.

a) Exprimer en fonction de z l'affixe ZP du point P.

b) Exprimer en fonction de z l'affixe ZQ du point Q.

c) Soit z' l'affixe du point M' = f (M). Montrer que z' =

3 i 3

z

d) Déterminer l'image par f du cercle de diamètre [Ol].

Exercice 13 :

On considère le triangle rectangle isocèle ABC tel que

 

 

AB ,AC

On note D le symétrique de A par rapport à C.

On désigne par S la similitude directe transformant D en C et C en B.

1. Déterminer le rapport et l’angle de S.

2. On appelle le centre de S. Montrer que

2 2

DC   D et en déduire la nature du triangle  DC.

3. On pose  SoS

a) Quelle est la nature de la transformation .Préciser ses éléments caractéristiques

b) Déterminer l’image du point D par la transformation 

c) Montrer que le quadrilatère AD  B est un rectangle

4. Dans cette question le plan complexe rapporte à un repère orthonormé direct

 

A u v ; ;

, choisi de

manière à ce que les points A , B , C et D aient pour affixes respectives 0 , 1 , i et 2i

a) Montrer que l’écriture complexe de la similitude S est :  

z '  1  i z  2  i

ou z et z’ désignent

respectivement les affixes d’un point M et de son image M’ par S

b) Posons z  x  iy et z '  x ' iy'

(x , y ,x’ et y’ étant des réels ).Vérifier que :

' 2

' 1

   



  



x x y

y x y

c) Soit J le point d’affixe 1+3i

Existe – t-il des points M du plan dont les coordonnées sont des entiers relatifs et tels que AM '. AJ  0

ou M’ désigne l’image de M par S

Exercice 14 :

Dans un plan orienté , on considère un triangle ABC rectangle en B et tel que :

 

 

AB, AC 2

On désigne par O le milieu de [AC], I le milieu de [OA] et J le milieu de [AB].

1. Montrer qu’il existe un unique déplacement R tel que R(A) = O et R(B) = C.
2. (a) Montrer que R est une rotation dont-on déterminera son angle. Construire son centre D.

(b) Montrer que le quadrilatère ABOD est un losange.

3. On pose f =

BA

Rot

(a) Déterminer f(B).

(b) En déduire la nature et les éléments caractéristiques de f.

4. Soient M , M’ et M" les points du plan tels que R(M’) = M et f(M) = M".

(a) Montrer que si M est distinct de A et D , alors :

   

 

MM ' ,MM " MD,MA 2

(b) On suppose que MM’M" est un triangle rectangle en M de sens direct. Montrer que M varie

sur un cercle à préciser.

5. Soit l’antidéplacement qui transforme B en A et A en O.

(a) Montrer que est une symétrie glissante puis déterminer ses éléments caractéristiques.

(b) Montrer que (O) = D.

(c) Soit E = (D). Montrer que E et B sont symétriques par rapport à O.

Exercice 15 :

Dans la figure 1 de l'annexe 1 jointe, ABC est un triangle direct tel que

 

π

BC,BA 2 π

et

 

π

CA ,CB 2 π

. Les points I , J et K sont les pieds des hauteurs du triangle ABC issues.

respectivement des sommets A, B et C. Le point E est le milieu du segment [AC].

1. Montrer que le triangle AIE est équilatéral direct.

2. Soit S la similitude directe de centre A, de rapport 2 et d'angle

π

On note

est la médiatrice du segment [IE] et on pose f =SoS



a) Montrer que S(I) = B. En déduire que f (E) = B.

b) Montrer que f est une similitude indirecte de centre A et de rapport

c) Caractériser fof. En déduire que f(B) = C.

d) Montrer que l'image par f de la droite (BJ) est la droite (CK). En déduire que f (J) = K.

3. Soit g la similitude indirecte telle que g(C) = A et g(K) = I.

a) En remarquant que le triangle BCK est rectangle, isocèle et direct, montrer que le point B est le centre de g.

a) On pose D = g(A). Montrer que le point D appartient à la droite (Bl).

c) Justifier que

 

π

AB, AD 2 π

.Construire alors le point D.

4. On pose φ gof.

a) Montrer que φ est une similitude directe. Déterminer φ(A) et φ(B).