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SESSION 2016 MPMA
EPREUVE SPECIFIQUE - FILIERE MP
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MATHEMATIQUES 2
Jeudi 5 mai : 8 h - 12 h
N.B. : le candidat attachera la plus grande importance à la clarté, à la précision et à la concision de la rédaction. Si un candidat est amené à repérer ce qui peut lui sembler être une erreur d’énoncé, il le signalera sur sa copie et devra poursuivre sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre.
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Les calculatrices sont autorisées
Le sujet est composé de deux exercices et d’un problème tous indépendants.
EXERCICE I : INFORMATIQUE
Les algorithmes demandés doivent être écrits en Python. On sera très attentif à la rédaction et notam- ment à l’indentation du code. Cet exercice étudie deux algorithmes permettant le calcul du pgcd (plus grand commun diviseur) de deux entiers naturels.
I.1. Pour calculer le pgcd de 3705 et 513, on peut passer en revue tous les entiers 1, 2 , 3 , · · · , 512 , 513 puis renvoyer parmi ces entiers le dernier qui divise à la fois 3705 et 513. Il sera alors bien le plus grand des diviseurs communs à 3705 et 513. Écrire une fonction gcd qui renvoie le pgcd de deux entiers naturels non nuls, selon la méthode décrite ci-dessus. On pourra éventuellement utiliser librement l’instruction min(a,b) qui calcule le minimum de a et b. Par exemple gcd(3705, 513) renverra
I.2. L’algorithme d’Euclide permet aussi de calculer le pgcd. Voici une fonction Python nommée euclide qui implémente l’algorithme d’Euclide.
def euclide(a,b): """Donn\’ees: a et b deux entiers naturels R\’esultat: le pgcd de a et b, calcul\’e par l’algorithme d’Euclide""" u = a v = b while v != 0: r = u % v u = v v = r return u
Écrire une fonction «récursive» euclide_rec qui calcule le pgcd de deux entiers naturels selon l’algorithme d’Euclide.
I.3. On note (Fn)n∈N la suite des nombres de Fibonacci définie par :
F 0 = 0 , F 1 = 1 , ∀n ∈ N, Fn+ 2 = Fn+ 1 + Fn.
I.3.a. Écrire les divisions euclidiennes successivement effectuées lorsque l’on calcule le pgcd de F 6 = 8 et F 5 = 5 avec la fonction euclide.
I.3.b. Soit n ≥ 2 un entier. Quel est le reste de la division euclidienne de Fn+ 2 par Fn+ 1? On pourra utiliser librement que la suite (Fn)n∈N est strictement croissante à partir de n = 2. En déduire, sans démonstration, le nombre u (^) n de divisions euclidiennes effectuées lorsque l’on calcule le pgcd de Fn+ 2 et Fn+ 1 avec la fonction euclide.
I.3.c. Comparer pour n au voisinage de +∞, ce nombre un, avec le nombre v (^) n de divisions eu- clidiennes effectuées pour le calcul du pgcd de Fn+ 2 et Fn+ 1 par la fonction gcd. On pourra utiliser librement que Fn est équivalent, au voisinage de +∞, à φ n/
5 où φ = ( 1 +
5 )/2 est le nombre d’or.
I.4. Écrire une fonction fibo qui prend en argument un entier naturel n et renvoie le nombre de Fibonacci Fn. Par exemple, fibo(6) renverra 8.
I.5. En utilisant la fonction euclide, écrire une fonction gcd_trois qui renvoie le pgcd de trois entiers naturels. Par exemple, gcd_trois(18, 30, 12) renverra 6.
Deuxième partie : interpolation de Hermite
Soit I un intervalle non vide de R, p un entier naturel non nul, (x (^) i) 1 ≤i≤p une famille d’éléments de I distincts deux à deux et (a (^) i) 1 ≤i≤p et (bi) 1 ≤i≤p deux familles de réels quelconques.
III.3. Définition du polynôme interpolateur de Hermite
III.3.a. Soit P ∈ R [X] et a ∈ R. En utilisant la formule de Taylor, démontrer que : si P(a) = P′(a) = 0 alors (X − a)^2 divise P.
III.3.b. En utilisant la question préliminaire III.1, démontrer que l’application ϕ de R 2 p− 1 [X] vers R^2 p^ définie par
ϕ(P) =
P(x 1 ),P(x 2 ),... ,P(x (^) p),P′(x 1 ),P′(x 2 ),... ,P′(x (^) p)
est une application linéaire bijective de R 2 p− 1 [X] sur R^2 p.
III.3.c. Démontrer qu’il existe un unique polynôme PH ∈ R 2 p− 1 [X] tel que, pour tout entier i vérifiant 1 ≤ i ≤ p, on a PH (xi) = a (^) i et P H′ (xi) = b (^) i. Le polynôme PH est appelé polynôme d’interpolation de Hermite.
III.4. Étude d’un exemple
Déterminer le polynôme d’interpolation de Hermite (défini à la question III.3) lorsque p = 2, x 1 = −1, x 2 = 1, a 1 = 1, a 2 = 0, b 1 = −1 et b 2 = 2 (si, au cours de ses calculs, le candidat a besoin d’inverser une matrice, il pourra le faire sans justification à l’aide de sa calculatrice).
III.5. Une formule explicite
Pour tout entier i tel que 1 ≤ i ≤ p, on considère le polynôme Qi =
p
j= 1 j =i
X − x (^) j xi − x (^) j
III.5.a. Soit i un entier vérifiant 1 ≤ i ≤ p. Calculer Qi(x (^) k) pour tout entier k tel que 1 ≤ k ≤ p et démontrer qu’on a
Q′ i(x (^) k) = 0 si k = i et Q′ i(xi) =
p
j= 1 j =i
xi − x (^) j
On pourra utiliser la question préliminaire III.2.
III.5.b. Démontrer que le polynôme P défini par la formule
P =
p
i= 1
[(
1 − Q′ i(x (^) i)(X − xi)
a (^) i + (X − xi)bi
]
Qi
est le polynôme d’interpolation de Hermite défini à la question III.3.
III.5.c. Retrouver le polynôme de la question III.4 en utilisant cette formule.
Troisième partie : polynômes de Hermite
Soit (Hn)n∈N la famille de polynômes définie par H 0 = 1 et, pour tout n ∈ N, Hn+ 1 = XHn − H n′.
III.6. Démontrer que, pour tout n ∈ N, Hn est un polynôme unitaire de degré n.
III.7. Démontrer que, pour tout n ∈ N, H n′+ 1 = (n + 1 )Hn.
Pour tous polynômes P et Q à coefficients réels, on pose
〈P | Q〉 =
∫ (^) +∞
−∞
P(x)Q(x) f (x)dx,
la fonction f étant définie sur R par f (x) = √^1 2 π
exp
x^2 2
. On rappelle que
∫ (^) +∞
−∞
f (x)dx = 1.
III.8. Un produit scalaire sur R [X]
III.8.a. Justifier, pour tous polynômes P et Q dans R [X], l’existence de l’intégrale qui définit 〈P | Q〉.
III.8.b. Démontrer que l’on définit ainsi un produit scalaire sur R [X].
III.9. Une famille orthogonale
Dans la suite, R[X] est muni de ce produit scalaire et de la norme associée notée ‖. ‖.
III.9.a. Démontrer que, pour tout P ∈ R [X] et pour tout n ∈ N, 〈P | Hn〉 =
P(n)^ | H 0
III.9.b. En déduire que, pour tout n ∈ N, la famille (H 0 ,H 1 ,...,Hn) est une base orthogonale de Rn[X].
III.9.c. Calculer ‖Hn‖ pour tout n ∈ N.
III.9.d. Soit P = X^3 + X^2 + X + 1. Préciser les polynômes H 1 , H 2 et H 3 puis déterminer quatre
réels ai (0 ≤ i ≤ 3) tels que P =
3
i= 0
a (^) i Hi. En déduire la distance d du polynôme P au sous-espace
R 0 [X] des polynômes constants, c’est-à-dire la borne inférieure de ‖P − Q‖ quand Q décrit R 0 [X].
III.10. Étude des racines des polynômes Hn
Soit n ∈ N. On note p le nombre de racines réelles (distinctes) d’ordre impair du polynôme Hn, a 1 , a 2 , ..., a (^) p ses racines et S le polynôme défini par
S = 1 si p = 0 et S =
p
i= 1
(X − ai) sinon.
III.10.a. Démontrer que, si p < n, alors 〈S | Hn〉 = 0.
III.10.b. Démontrer que, pour tout x ∈ R, S(x)Hn(x) ≥ 0.
III.10.c. En déduire que Hn a n racines réelles distinctes.
Fin de l’énoncé
I M P R I M E R I E
N A T I O N A L E
- 16 1214 – D’après documents fournis
