Download Exercices Strm 1 (structure de machine) and more Exercises Mathematics in PDF only on Docsity!
Exo
Propriétés de R
1 Les rationnels Q
Exercice 1
- Démontrer que si r ∈ Q et x ∈/ Q alors r + x ∈/ Q et si r ̸= 0 alors r.x ∈/ Q.
- Montrer que √ 2 ̸∈ Q,
- En déduire : entre deux nombres rationnels il y a toujours un nombre irrationnel.
Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [000451]
Exercice 2 Montrer que ln 3ln 2 est irrationnel. Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [000461]
Exercice 3
- Soit Nn = 0 , 1997 1997... 1997 (n fois). Mettre Nn sous la forme pq avec p, q ∈ N∗.
- Soit M = 0 , 1997 1997 1997...... Donner le rationnel dont l’écriture décimale est M.
- Même question avec : P = 0 , 11111.. .+ 0 , 22222.. .+ 0 , 33333.. .+ 0 , 44444.. .+ 0 , 55555.. .+ 0 , 66666.. .+ 0 , 77777... + 0 , 88888... + 0 , 99999...
Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [000459]
Exercice 4 Soit p(x) = ∑ni= 0 ai · xi. On suppose que tous les ai sont des entiers.
- Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a 0 et β divise an.
- On considère le nombre √ 2 + √3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [000457]
2 Maximum, minimum, borne supérieure...
Exercice 5 Déterminer la borne supérieure et inférieure (si elles existent) de : A = {un | n ∈ N} en posant un = 2 n^ si n est pair et un = 2 −n^ sinon. Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [000465]
Exercice 6 Déterminer (s’ils existent) : les majorants, les minorants, la borne supérieure, la borne inférieure, le plus grand élément, le plus petit élément des ensembles suivants :
[ 0 , 1 ] ∩ Q , ] 0 , 1 [∩Q , N ,
(− 1 )n^ + (^) n^12 | n ∈ N∗
Correction ▼ Vidéo ■ [000466]
Exercice 7 Soient A et B deux parties bornées de R. On note A + B = {a + b | (a, b) ∈ A × B}.
- Montrer que sup A + sup B est un majorant de A + B.
- Montrer que sup(A + B) = sup A + sup B. Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [000476]
Exercice 8 Soit A et B deux parties bornées de R. Vrai ou faux?
- A ⊂ B ⇒ sup A ⩽ sup B,
- A ⊂ B ⇒ inf A ⩽ inf B,
- sup(A ∪ B) = max(sup A, sup B),
- sup(A + B) < sup A + sup B,
- sup(−A) = − inf A,
- sup A + inf B ⩽ sup(A + B). Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [000477]
3 Divers
Exercice 9 Soit x un réel.
- Donner l’encadrement qui définit la partie entière E(x).
- Soit (un)n∈N∗ la suite définie par un = E(x) +^ E(^2 x) + n 2...^ +^ E(nx). Donner un encadrement simple de n^2 × un, qui utilise (^) ∑nk= 1 k.
- En déduire que (un) converge et calculer sa limite.
- En déduire que Q est dense dans R. Indication ▼ Correction ▼ Vidéo ■ [005982]
Exercice 10 Soit f : R → R telle que ∀(x, y) ∈ R^2 f (x + y) = f (x) + f (y). Montrer que
Indication pour l’exercice 1 ▲
- Raisonner par l’absurde.
- Raisonner par l’absurde en écrivant √ 2 = pq avec p et q premiers entre eux. Ensuite plusieurs méthodes sont possibles par exemple essayer de montrer que p et q sont tous les deux pairs.
- Considérer r + √ 2 précédentes.^2 (r′^ −^ r)^ (faites un dessin !) pour deux rationnels^ r,^ r′. Puis utiliser les deux questions
Indication pour l’exercice 2 ▲ Raisonner par l’absurde!
Indication pour l’exercice 3 ▲
- Mutiplier Nn par une puissance de 10 suffisament grande pour obtenir un nombre entier.
- Mutiplier M par une puissance de 10 suffisament grande (pas trop grande) puis soustraire M pour obtenir un nombre entier.
Indication pour l’exercice 4 ▲
- Calculer β n^ p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss.
- Utiliser la première question avec p(x) = (x^2 − 5 )^2 − 24.
Indication pour l’exercice 5 ▲ inf A = 0, A n’a pas de borne supérieure.
Indication pour l’exercice 7 ▲ Il faut revenir à la définition de la borne supérieure d’un ensemble borné : c’est le plus petit des majorants. En particulier la borne supérieure est un majorant.
Indication pour l’exercice 8 ▲ Deux propositions sont fausses...
Indication pour l’exercice 9 ▲
- Rappelez-vous que la partie entière de x est le plus grand entier, inférieur ou égal à x. Mais il est ici préférable de donner la définition de E(x) en disant que E(x) ∈ Z et que x vérifie un certain encadrement...
- Encadrer E(kx), pour k = 1 ,... , n.
- Rappelez-vous d’abord de la formule 1 + 2 + · · · + n puis utilisez le fameux théorème des gendarmes.
- Les un ne seraient-ils pas des rationnels?
Indication pour l’exercice 10 ▲
- f ( 2 ) = f ( 1 + 1 ) = · · · , faire une récurrence.
- f ((−n) + n) = · · ·.
- Si q = ab , calculer f ( ab + ab + · · · + ab ) avec b termes dans cette somme.
- Utiliser la densité de Q dans R : pour x ∈ R fixé, prendre une suite de rationnels qui croit vers x, et une autre qui décroit vers x.
- Soit αβ ∈ Q avec pgcd(α, β ) = 1. Pour p( αβ ) = 0, alors (^) ∑ni= 0 ai
(^) α β
i = 0. Après multiplication par β n nous obtenons l’égalité suivante : anαn^ + an− 1 αn−^1 β + · · · + a 1 αβ n−^1 + a 0 β n^ = 0. En factorisant tous les termes de cette somme sauf le premier par β , nous écrivons anαn^ + β q = 0. Ceci entraîne que β divise anαn, mais comme β et αn^ sont premier entre eux alors par le lemme de Gauss β divise an. De même en factorisant par α tous les termes de la somme ci-dessus, sauf le dernier, nous obtenons αq′^ + a 0 β n^ = 0 et par un raisonnement similaire α divise a 0.
- Notons γ = √ 2 + √3. Alors γ^2 = 5 + 2 √ 2 √3 Et donc γ^2 − 5 ^2 = 4 × 2 × 3, Nous choisissons p(x) = (x^2 − 5 )^2 − 24, qui s’écrit aussi p(x) = x^4 − 10 x^2 + 1. Vu notre choix de p, nous avons p(γ) = 0. Si nous supposons que γ est rationnel, alors γ = αβ et d’après la première question α divise le terme constant de p, c’est-à-dire 1. Donc α = ±1. De même β divise le coefficient du terme de plus haut degré de p, donc β divise 1, soit β = 1. Ainsi γ = ±1, ce qui est évidemment absurde!
Correction de l’exercice 5 ▲ (u 2 k)k tend vers +∞ et donc A ne possède pas de majorant, ainsi A n’a pas de borne supérieure (cependant certains écrivent alors sup A = +∞). D’autre part toutes les valeurs de (un) sont positives et (u 2 k+ 1 )k tend vers 0, donc inf A = 0.
Correction de l’exercice 6 ▲
- [ 0 , 1 ] ∩ Q. Les majorants : [ 1 , +∞[. Les minorants : ] − ∞, 0 ]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Le plus grand élément : 1. Le plus petit élément 0.
- ] 0 , 1 [∩Q. Les majorants : [ 1 , +∞[. Les minorants : ] − ∞, 0 ]. La borne supérieure : 1. La borne inférieure : 0. Il nexiste pas de plus grand élément ni de plus petit élément.
- N. Pas de majorants, pas de borne supérieure, ni de plus grand élément. Les minorants : ] − ∞, 0 ]. La borne inférieure : 0. Le plus petit élément : 0.
n (− 1 )n^ + (^) n^12 | n ∈ N∗
o
. Les majorants : [ 54 , +∞[. Les minorants : ] − ∞, − 1 ]. La borne supérieure : 54. La borne inférieure : −1. Le plus grand élément : 54. Pas de plus petit élément.
Correction de l’exercice 7 ▲
- Soient A et B deux parties bornées de R. On sait que sup A est un majorant de A, c’est-à-dire, pour tout a ∈ A, a ⩽ sup A. De même, pour tout b ∈ B, b ⩽ sup B. On veut montrer que sup A + sup B est un majorant de A + B. Soit donc x ∈ A + B. Cela signifie que x est de la forme a + b pour un a ∈ A et un b ∈ B. Or a ⩽ sup A, et b ⩽ sup B, donc x = a + b ⩽ sup A + sup B. Comme ce raisonnement est valide pour tout x ∈ A + B cela signifie que sup A + sup B est un majorant de A + B.
- On veut montrer que, quel que soit ε > 0, sup A+sup B−ε n’est pas un majorant de A+B. On prend donc un ε > 0 quelconque, et on veut montrer que sup A + sup B − ε ne majore pas A + B. On s’interdit donc dans la suite de modifier ε. Comme sup A est le plus petit des majorants de A, sup A − ε/2 n’est pas un majorant de A. Cela signifie qu’il existe un élément a de A tel que a > sup A−ε/2. Attention: sup A−ε/ 2 n’est pas forcément dans A ; sup A non plus. De la même manière, il existe b ∈ B tel que b > sup B − ε/2. Or l’élément x défini par x = a+b est un élément de A+B, et il vérifie x > (sup A−ε/ 2 )+(sup B−ε/ 2 ) = sup A + sup B − ε. Ceci implique que sup A + sup B − ε n’est pas un majorant de A + B.
- sup A + sup B est un majorant de A + B d’après la partie 1. Mais, d’après la partie 2., dès qu’on prend un ε > 0, sup A + sup B − ε n’est pas un majorant de A + B. Donc sup A + sup B est bien le plus petit des majorants de A + B, c’est donc la borne supérieure de A + B. Autrement dit sup(A + B) = sup A + sup B.
Correction de l’exercice 8 ▲
- Vrai.
- Faux. C’est vrai avec l’hypothèse B ⊂ A et non A ⊂ B.
- Vrai.
- Faux. Il y a égalité.
- Vrai.
- Vrai.
Correction de l’exercice 9 ▲
- Par définition est l’unique nombre E(x) ∈ Z tel que E(x) ⩽ x < E(x) + 1.
- Pour le réel kx, (k = 1 ,... , n) l’encadrement précédent s’écrit E(kx) ⩽ kx < E(kx)+1. Ces deux inégalités s’écrivent aussi E(kx) ⩽ kx et E(kx) > kx − 1, d’où l’encadrement kx − 1 < E(kx) ⩽ kx. On somme cet encadrement, k variant de 1 à n, pour obtenir : n
k^ ∑= 1 (kx^ −^1 )^ <
n
k^ ∑= 1 E(kx)^ ⩽
n
k^ ∑= 1 kx.
Ce qui donne x ·
n
k^ ∑= 1 k^ −^ n^ <^ n^2 ·^ un^ ⩽^ x^ ·
n
k^ ∑= 1 k.
- On se rappelle que ∑nk= 1 k = n(n 2 + 1 )donc nous obtenons l’encadrement : x · (^) n^12 · n(n^2 + 1 )− (^1) n < un ⩽ x · (^) n^12 · n(n^2 + 1 ).
n^12 ·^ n(n 2 + 1 )tend vers^12 , donc par le théorème des gendarmes^ (un)^ tend vers^ x 2.
- Chaque un est un rationnel (le numérateur et le dénominateur sont des entiers). Comme la suite (un) tend vers x 2 , alors la suite de rationnels ( 2 un) tend vers x. Chaque réel x ∈ R peut être approché d’aussi près que l’on veut par des rationnels, donc Q est dense dans R.
Correction de l’exercice 10 ▲
- Calculons d’abord f ( 0 ). Nous savons f ( 1 ) = f ( 1 + 0 ) = f ( 1 ) + f ( 0 ), donc f ( 0 ) = 0. Montrons le résultat demandé par récurrence : pour n = 1, nous avons bien f ( 1 ) = 1 × f ( 1 ). Si f (n) = n f ( 1 ) alors f (n + 1 ) = f (n) + f ( 1 ) = n f ( 1 ) + f ( 1 ) = (n + 1 ) f ( 1 ).
- 0 = f ( 0 ) = f (− 1 + 1 ) = f (− 1 )+ f ( 1 ). Donc f (− 1 ) = − f ( 1 ). Puis comme ci-dessus f (−n) = n f (− 1 ) = −n f ( 1 ).
- Soit q = ab. Alors f (a) = f ( ab + ab + · · · + ab ) = f ( ab ) + · · · + f ( ab ) (b termes dans ces sommes). Donc f (a) = b f ( ab ). Soit a f ( 1 ) = b f ( ab ). Ce qui s’écrit aussi f ( ab ) = ab f ( 1 ).
