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Pascal Lainé
Intégrales généralisées. Suites et séries numériques. Suites et séries de
fonctions. Séries entières
Exercices corrigés
Licence STS
L2 Mathématiques et Économie
Université Lyon 1
Table des matières
• Intégrales généralisées (énoncés) p. 2
• Intégrales généralisées (corrections) p. 4
• Séries numériques (énoncés) p. 16
• Séries numériques (corrections) p. 20
• Suites de fonctions (énoncés) p. 42
• Suites de fonctions (corrections) p. 45
• Séries de fonctions (énoncés) p. 56
• Séries de fonctions (corrections) p. 59
• Séries entières (énoncés) p. 72
• Séries entières (corrections) p. 74
Intégrales Généralisées
Exercice 1. Montrer la convergence et calculer la valeur des intégrales : 𝐼 1 = ∫^ 𝑡^3 𝑒−𝑡𝑑𝑡
+∞ 0
; 𝐼 2 = ∫^
𝑡√𝑡^2 + 1
+∞ 1
; 𝐼 3 = ∫^
𝑡 ln(𝑡) (𝑡^2 + 1)^2 𝑑𝑡
+∞ 0 Allez à : Correction exercice 1 Exercice 2. Les intégrales généralisées suivantes convergentes ou divergentes?
𝐼 1 = ∫ ln(𝑡) 𝑑𝑡
+∞ 2
; 𝐼 2 = ∫ ln(𝑡) 𝑑𝑡
2 0
+∞ 0
; 𝐼 4 = ∫ 𝑒−𝑡^2 𝑑𝑡
+∞ 0
𝑡^5
(𝑡^4 + 1)√𝑡
+∞ 0 𝐼 6 = ∫ ln(sin(𝑡)) 𝑑𝑡
𝜋 0
; 𝐼 7 = ∫ (1 − cos (
+∞ 2
; 𝐼 8 = ∫ sin (
1 0
, 𝐼 9 = ∫ ln (cos (
+∞ 2 𝜋 Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3.
- Soit 𝐹 la fonction définie par : 𝐹(𝑥) = ∫
ln(1 + 𝑡^2 ) 𝑡^2 𝑑𝑡
𝑥 1 Calculer 𝐹(𝑥).
- En déduire que l’intégrale 𝐼 = ∫
ln(1 + 𝑡^2 ) 𝑡^2 𝑑𝑡
+∞ 1 Est convergente et déterminer sa valeur. Allez à : Correction exercice 3
Exercice 4.
- Calculer 𝐹(𝑥) = ∫
𝑡√𝑡^2 + 1
𝑥 1 A l’aide du changement de variable 𝑢 = √𝑡^2 + 1
- Montrer avec les règles de Riemann que 𝐼 = ∫
𝑡√𝑡^2 + 1
+∞ 1 Converge.
- Calculer 𝐼 = ∫
𝑡√𝑡^2 + 1
+∞ 1 Allez à : Correction exercice 4
Exercice 5. Etudier la convergence des intégrales : 𝐼 1 = ∫^
𝑡(ln(𝑡))^2
+∞ 2
; 𝐼 2 = ∫^
arctan(𝑡) 𝑡^2 + 2𝑡 + 7 𝑑𝑡
+∞ 3 Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6.
Allez à : Correction exercice 10
Exercice 11.
Soit 𝐼 = ∫ 0 +∞ (^) 𝑡ln(𝑡) (^2) +𝑎 2 𝑑𝑡avec 𝑎 > 0. Pour tout 𝜀 > 0 et pour tout 𝑋 > 0 on définit : 𝐼𝜀,𝑋 = ∫𝜀 𝑋𝑡ln(𝑡) (^2) +𝑎 2 𝑑𝑡
- Montrer que 𝐼 est une intégrale convergente.
- A l’aide du changement de variable 𝑡 = 𝑎
2 𝑥 montrer que :
𝐼𝜀,𝑋 = −
2 ln(𝑎) 𝑎 arctan (
2 ln(𝑎) 𝑎 arctan (
𝜀) + ∫^
ln(𝑡) 𝑡^2 + 𝑎^2 𝑑𝑡
𝑎^2 𝑋 𝑎^2 𝜀
- En faisant tendre 𝜀 vers 0 et 𝑋 vers +∞ dans l’équation ci-dessus et en déduire une relation vérifiée par 𝐼, puis la valeur de 𝐼. Allez à : Correction exercice 11
Corrections
Correction exercice 1. 𝑡→+∞^ lim 𝑡^2 × 𝑡^3 𝑒−𝑡^ = 0 D’après les règles de Riemann 𝑡𝛼𝑓(𝑡) → 0 en +∞ avec 𝛼 > 1 montre que 𝐼 1 converge. On cherche une primitive de 𝑡 → 𝑡^3 𝑒−𝑡^ de la forme 𝐹(𝑡) = (𝑎𝑡^3 + 𝑏𝑡^2 + 𝑐𝑡 + 𝑑)𝑒−𝑡 𝐹′(𝑡) = (3𝑎𝑡^2 + 2𝑏𝑡 + 𝑐)𝑒−𝑡^ − (𝑎𝑡^3 + 𝑏𝑡^2 + 𝑐𝑡 + 𝑑)𝑒−𝑡 = (−𝑎𝑡^3 + (3𝑎 − 𝑏)𝑡^2 + (2𝑏 − 𝑐)𝑡 + 𝑐 − 𝑑)𝑒−𝑡
(−𝑎𝑡^3 + (3𝑎 − 𝑏)𝑡^2 + (2𝑏 − 𝑐)𝑡 + 𝑐 − 𝑑)𝑒−𝑡^ = 𝑡^3 𝑒−𝑡^ ⇔ {
∫ 𝑡^3 𝑒−𝑡𝑑𝑡
𝑋 0
= [(−𝑡^3 − 3𝑡^2 − 6𝑡 − 6)𝑒−𝑡] 0 𝑋^ = (−𝑋^3 − 3𝑋^2 − 6𝑋 − 6)𝑒−𝑋^ + 6 →𝑋→+∞ 6
Allez à : Exercice 1 La fonction est positive 1 𝑡√𝑡^2 + 1
𝑡^2
Il s’agit d’une fonction de Riemann intégrable 𝛼 = 2 > 1 On fait le changement de variable 𝑢 = 𝑡^2 + 1 ⇔ 𝑡 = √𝑢 − 1 dans l’intégrale
∫
𝑡√𝑡^2 + 1
𝑋 1
𝑡^2 √𝑡^2 + 1
𝑋 1 On retrouve « presque » 𝑑𝑢 = 2𝑡𝑑𝑡 au numérateur 𝑡 = 1 ⇒ 𝑢 = 1^2 + 1 = 2 et 𝑡 = 𝑋 ⇒ 𝑢 = 𝑋^2 + 1
∫
𝑡^2 √𝑡^2 + 1
𝑋 1
2 ∫^
𝑋^2 + 2 On fait le changement de variable 𝑣 = √𝑢 ⇔ 𝑢 = 𝑣^2 , 𝑑𝑢 = 2𝑣𝑑𝑣 𝑢 = 2 ⇒ 𝑣 = √2 𝑒𝑡 𝑢 = 𝑋^2 + 1 ⇒ 𝑣 = √𝑋^1 + 1
2 ∫^
𝑋^2 + 2
2 ∫^
(𝑣^2 − 1)𝑣
√𝑋^2 +
√
𝑣^2 − 1
√𝑋^2 +
√ 1 𝑣^2 − 1 =^
𝑣 − 1 +^
−^12
𝑣^2 − 1
√𝑋^2 +
√
𝑣 − 1 −^
√𝑋^2 +
√
= [ln|𝑣 − 1| − ln|𝑣 + 1|]√2√𝑋^2 +1^ = [ln |
𝑣 + 1|]√
√𝑋^2 +
= ln |
√𝑋^2 + 1 − 1
√𝑋^2 + 1 + 1
| − ln |√2 − 1 √2 + 1
ln |
√𝑋^2 + 1 − 1
√𝑋^2 + 1 + 1
| = ln ||
𝑋 (√1 + 𝑋^12 − 𝑋^1 )
𝑋 (√1 + 𝑋^12 + 𝑋^1 )
| = ln ||
√1 + 𝑋^12 − 𝑋^1
√1 + 𝑋^12 + 𝑋^1
− ln |√2 − 1 √2 + 1
| = ln (√2 + 1 √2 − 1
) = ln
2
(√2 + 1)(√2 − 1)
= 2 ln(√2 − 1)
Donc 𝐼 2 = 2 ln(√2 − 1) Allez à : Exercice 1 Il y a deux problèmes, un en 0 et un autre en +∞. lim 𝑡→
𝑡 ln(𝑡) (𝑡^2 + 1)^2 = 0 Donc la fonction à intégrer est prolongeable par continuité en 0 , elle est intégrable En l’infini 𝑡 ln(𝑡) (𝑡^2 + 1)^2 ∼
ln(𝑡) 𝑡^3 𝑡^2 ×
ln(𝑡) 𝑡^3 =
ln(𝑡) 𝑡 → 0 D’après les règles de Riemann 𝑡𝛼𝑓(𝑡) →+∞ 0 avec 𝛼 > 1, la fonction est intégrable. On pose
𝐼 3 (𝜖, 𝑋) = ∫
𝑡 ln(𝑡) (𝑡^2 + 1)^2 𝑑𝑡
𝑋 0 Puis on fait une intégration par partie ∫ 𝜖 𝑋 (𝑡𝑡^2 ln+( 1 𝑡)) 2 𝑑𝑡 𝑢′(𝑡)^ = (^) (t (^2) +𝑡 1 ) 2 𝑢(𝑡)^ = − 12 × (^) 𝑡 (^21) + 1 𝑣(𝑡)^ = ln(𝑡)^ 𝑣′(𝑡) (^) = 1 𝑡 ∫ 𝜖 𝑋 (^) (𝑡𝑡^2 ln+( 1 𝑡)) 2 𝑑𝑡=^ [−^12 ×^ 𝑡 (^21) + 1 ln(𝑡)]𝜖
𝑋 − (−^
1 2 )^ ∫^
1 𝑡(𝑡^2 + 1 ) 𝑑𝑡
𝑋 𝜖
+∞ 0
= [−
−4𝑡]
0
+∞ = 0 +
𝐼 3 converge. Allez à : Exercice 2 Problème en +∞ 𝑡^2 𝑒−𝑡^2 → 0 D’après les règles de Riemann 𝑥𝛼𝑓(𝑥) → 0 avec 𝛼 > 1 entraine que la fonction est intégrable en +∞ Allez à : Exercice 2 Il y a un problème en 0 et un en +∞ En +∞ 𝑡^5 (𝑡^4 + 1)√𝑡
1 2 Il s'agit d’une fonction de Riemann avec 𝛼 = − 12 ≤ 1 donc l’intégrale 𝐼 5 diverge (ce qui est évident, si on essaye d’intégrer 𝑡 → √𝑡 on voit clairement le problème en +∞). 𝐼 4 diverge. Du coup il est inutile d’étudier l’intégrabilité en 0 mais cela ne posait pas de problème 𝑡^5 (𝑡^4 + 1)√𝑡 ∼
𝑡^5
9 2
La fonction est prolongeable par continuité en 0. Allez à : Exercice 2 Il y a deux problèmes un en 0 et un autre en 𝜋 En 0 ln(𝑠𝑖𝑛(𝑡)) = ln(𝑡 + 𝑜(𝑡)) = ln(𝑡 + 𝑜(𝑡)) = ln(𝑡(1 + 𝑜(1)) = ln(𝑡) + ln(1 + 𝑜(1)) ∼ ln(𝑡) On applique les règles de Riemann en 0 avec 𝛼 = 32 > 1
𝑡
3 (^2) ln(𝑡) → 0 L’intégrale converge en 0 En 𝜋, on pose 𝑢 = 𝜋 − 𝑡 → 0 (c’est mieux que 𝑢 = 𝑡 − 𝜋) ln(sin(𝑡)) = ln(𝑠𝑖𝑛(𝑢 − 𝜋)) = ln(𝑠𝑖𝑛(𝑢)) Comme précédemment l’intégrale converge. Finalement l’intégrale 𝐼 6 converge. Allez à : Exercice 2 Il y a un problème en +∞
1 − cos (
(^1 𝑡)
2
2! + 𝑜 (
𝑡^2 )
2𝑡^2 + 𝑜 (
𝑡^2 ) ∼^
2𝑡^2
Il s’agit d’une fonction de Riemann avec 𝛼 = 2 intégrable en +∞. 𝐼 7 converge. Allez à : Exercice 2
Il y a un problème en 0 , mais attention on ne peut pas faire de développement limité de 𝑡 → sin (^1 𝑡) car la variable (^1) 𝑡 tend vers l’infini. On pose 𝐼 8 (𝜖) = ∫ sin (𝜖^1 1 𝑡) 𝑑𝑡, puis on fait le changement de variable 𝑢 = (^1) 𝑡 ⇔ 𝑡 = (^1) 𝑢, 𝑑𝑡 = − 𝑑𝑢𝑢 2. 𝑡 = 𝜖 ⇒ 𝑢 = (^1) 𝜖 et 𝑡 = 1 ⇒ 𝑢 = 1
𝐼 8 (𝜖) = ∫ sin (
1 𝜖
= ∫ sin(𝑢) (−
𝑢^2 )
1 𝜖 1
sin(𝑢) 𝑢^2 𝑑𝑢
1 𝜖 1 1 𝜖 → +∞^ il s’agit de voir si la fonction^ 𝑢 →^
sin(𝑢) 𝑢^2 est intégrable en^ +∞
|sin(𝑢) 𝑢^2
| ≤^1
𝑢^2
Il s’agit d’une fonction de Riemann avec 𝛼 = 2 > 1 intégrable en +∞ donc la fonction 𝑢 → sin(𝑢)𝑢 2 est absolument intégrable en +∞ donc intégrable et 𝐼 8 converge. Allez à : Exercice 2
Attention il y a deux problèmes en (^) 𝜋^2 parce que cos ( (^22) 𝜋
) = cos (𝜋 2 ) = 0 et un autre en +∞
En (^) 𝜋^2 on pose 𝑢 = 𝑡 − (^2) 𝜋 ⇔ 𝑡 = 𝑢 + (^2) 𝜋
ln (cos (
𝑡)) = ln (cos (^
𝑢 +^2 𝜋
)) = ln (cos (
)) = ln (cos (
= ln (cos (
2 𝑢 + 𝑜(𝑢)))) = ln (cos (
𝜋^2
= ln (sin (
𝜋^2
4 𝑢 + 𝑜(𝑢))) = ln (
𝜋^2
4 𝑢 + 𝑜(𝑢)) = ln (
𝜋^2
4 ) + ln(𝑢 + 𝑜(𝑢)) ∼ ln(𝑢)
𝑢
1 (^2) ln(𝑢) → 0 Lorsque 𝑢 tend vers 0 , d’après les règles de Riemann si 𝑢𝛼𝑓(𝑢) → 0 avec 𝛼 < 1 alors la fonction est intégrable en 0 donc 𝑡 → ln (cos (^1 𝑡)) est intégrable en (^2) 𝜋 En +∞
ln (cos (
𝑡)) = ln (
(^1 𝑡)
2
2! + 𝑜 (
𝑡^2 )
2𝑡^2 + 𝑜 (
𝑡^2 ) ∼ −^
2𝑡^2
Il s’agit d’une fonction de Riemann intégrable en +∞ avec 𝛼 = 2 > 1 Allez à : Exercice 2
Correction exercice 3.
𝐹(𝑥)^ = ∫ ln(^1 +𝑡
(^2) ) 𝑡^2 𝑑𝑡
𝑥 1 𝑢′(𝑥)^ = (^) 𝑡^12 𝑢(𝑥)^ = − (^1) 𝑡 𝑣(𝑥)^ = ln( 1 + 𝑡^2 )^ 𝑣′(𝑥) = (^12) +𝑡𝑡 2 𝐹(𝑥)^ = [− (^1) 𝑡 ln( 1 + 𝑡^2 )] 1
∫ 1 𝑥 −𝑡(^2 𝑡 2 𝑡+ 1 ) 𝑑𝑡
𝐹(𝑥) = [−
𝑡 ln(1 + 𝑡
2 )]
1
𝑥
1 + 𝑡^2 𝑑𝑡
𝑥 1
𝑥 ln(1 + 𝑥
(^2) ) + ln(2) + 2 arctan(𝑥) − 2 arctan(1)
𝑥 ln(1 + 𝑥
(^2) ) + ln(2) + 2 arctan(𝑥) − 𝜋 2
𝑥→+∞^ lim −
𝑥 ln(1 + 𝑥
Et
𝑥→+∞^ lim arctan(𝑥) =
Donc 𝐹(𝑥)^ admet une limite finie, ce qui signifie que 𝐼 converge et
Correction exercice 5. Il y a un problème en +∞. Malheureusement les règles de Riemann ne marchent, essayons quand même Convergence
𝑡𝛼^
𝑡(ln(𝑡))^2 =^
(ln(𝑡))^2 → 0 Impose que 𝛼 ≤ 1 mais pour utiliser la règle de Riemann concluant à la convergence en +∞ il faut que 𝛼 soit strictement supérieur à 1 Divergence
𝑡𝛼^
𝑡(ln(𝑡))^2 =^
(ln(𝑡))^2 → +∞ Impose que 𝛼 > 1 mais pour utiliser la règle de Riemann concluant à la divergence en +∞ il faut que 𝛼 soit inférieur ou égal à 1. Dans ce cas on fait autrement
𝐼 1 (𝑋) = ∫
𝑡(ln(𝑡))^2
𝑋 2
= [−
ln(𝑡)] 2
𝑋 = −
ln(𝑋) +^
ln(2) →^
ln(2) Donc 𝐼 1 converge. Allez à : Exercice 5 𝑡^2 + 2𝑡 + 7 n’est jamais nul
|
arctan(𝑡) 𝑡^2 + 2𝑡 + 7| <
𝑡^2 =^
2𝑡^2
Il s’agit d’une fonction de Riemann intégrable en +∞ avec 𝛼 = 2. Donc 𝐼 2 converge. Allez à : Exercice 5
Correction exercice 6. Il y a deux problème, un en 0 et un +∞ En 0, 𝑡^3 + √𝑡 ∼ √𝑡 Si 𝑥 ≥ 2 − 𝑥 ⇔ 𝑥 ≥ 1, alors 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥^ ∼ 𝑡2−𝑥 Donc 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥 𝑡^3 + √𝑡
√𝑡^
3 2 Il s’agit d’une fonction de Riemann convergente (en 0 ) si et seulement si 𝑥 − 32 < 1 ⇔ 𝑥 < (^52) 𝑥 ≥ 1 et 𝑥 < 52. Il y a convergence pour 𝑥 ∈ [1, 52 [ Si 𝑥 ≤ 2 − 𝑥 ⇔ 𝑥 ≤ 1, alors 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥^ ∼ 𝑡𝑥 Donc 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥 𝑡^3 + √𝑡
1 2 − 𝑥 Il s’agit d’une fonction de Riemann convergente si et seulement si 12 − 𝑥 < 1 ⇔ 𝑥 > − (^12) 𝑥 ≤ 1 et 𝑥 > − 12. Il y a convergence si 𝑛 ∈ ]− 12 , 1] Finalement il y a convergence en 0 si et seulement si 𝑥 ∈ ]− 12 , 52 [ En +∞, 𝑡^3 + √𝑡 ∼ 𝑡^3 Si 𝑥 ≤ 2 − 𝑥 ⇔ 𝑥 ≤ 1, alors 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥^ ∼ 𝑡2−𝑥 Donc 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥 𝑡^3 + √𝑡
𝑡^3 =^
Il s’agit d’une fonction de Riemann convergente (en +∞) si et seulement si 𝑛 + 1 > 1 ⇔ 𝑛 > 0 𝑥 ≤ 1 et 𝑥 > 0. il y a convergence pour 𝑥 ∈ ]0,1]. Si 𝑥 ≥ 2 − 𝑥 ⇔ 𝑥 ≥ 1, alors 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥^ ∼ 𝑡𝑥 Donc 𝑡𝑥^ + 𝑡2−𝑥 𝑡^3 + √𝑡
𝑡^3 =^
Il s’agit d’une fonction de Riemann convergente (en +∞) si et seulement si 3 − 𝑥 > 1 ⇔ 𝑥 < 2 𝑥 ≥ 1 et 𝑥 < 2. Il y a convergence si 𝑥 ∈ [1,2[ Finalement il y a convergence en +∞ si et seulement si 𝑥 ∈ ]0,2[ 𝐼 3 converge si et seulement si 𝑥 ∈ ]0,2[ ∩ ]− 12 , 52 [ = ]0,2[
Allez à : Exercice 6
Correction exercice 7. a) Si 𝑎 > 1, on choisit 𝛼 ∈ ]1, 𝑎[ 𝑡𝛼^
𝑡𝑎(ln(𝑡))𝑏^ =^
(ln(𝑡))𝑏^ → 0 Lorsque 𝑡 → +∞ D’après les règles de Riemann l’intégrale converge en +∞ car 𝛼 > 1 Si 𝑎 < 1, on choisit 𝛼 ∈ ]𝑎, 1[ 𝑡𝛼^
𝑡𝑎(ln(𝑡))𝑏^ =^
(ln(𝑡))𝑏^ → +∞ Lorsque 𝑡 → +∞ D’après les règles de Riemann l’intégrale diverge en +∞ car 𝛼 < 1 b) Si 𝑏 ≠ 1 ∫ 1 𝑡 (ln(𝑡))𝑏^ 𝑑𝑡 = ∫(ln(𝑡))
−𝑏 ×^1
(ln(𝑡))−𝑏+ −𝑏 + 1 + 𝐾 Si −𝑏 + 1 > 0 ⇔ 𝑏 < 1 (ln(𝑡))−𝑏+1^ → +∞ Lorsque 𝑡 → +∞ alors l’intégrale diverge Si −𝑏 + 1 < 0 ⇔ 𝑏 > 1 (ln(𝑡))−𝑏+1^ → 0 Lorsque 𝑡 → +∞ alors l’intégrale converge Si 𝑏 = 1 ∫
𝑡ln(𝑡) = ln(𝑙𝑛(𝑡)) + 𝐾 → +∞ Lorsque 𝑡 → +∞ alors l’intégrale diverge. Allez à : Exercice 7
Correction exercice 8.
- Il y a un problème en +∞ |
sin(𝑡) 𝑡𝛼+1^ | ≤^
Or 𝛼 + 1 > 1, donc il s’agit d’une fonction de Riemann intégrable en +∞, donc 𝑡 → sin(𝑡)𝑡𝛼+1 est absolument intégrable et donc intégrable.
- Il y a deux problème en 0 et en 1 En 0 : 𝑥
1 2 𝑥 − 1 ln(𝑥) → 0 D’après les règles de Riemann en 0 si 𝑥𝛼𝑓(𝑥) → 0 avec 𝛼 < 0 alors la fonction est intégrable en 0. En 1 on pose 𝑡 = 1 − 𝑥 → 0 𝑥 − 1 ln(𝑥) =^
ln(1 − 𝑡) =^
−𝑡 + 𝑜(𝑡) =^
La fonction est prolongeable par continuité en 1 par 𝑓(1) = 1 donc la fonction est intégrable.
- A l’aide de la formule de Taylor-Lagrange appliquée à la fonction 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) il existe 𝑐 ∈ ]𝑥, 1[^ tel que 𝑓(𝑥) = 𝑓(1) + (𝑥 − 1)𝑓′(𝑐) ln(𝑥) = (𝑥 − 1) ×
Car 𝑥 − 1 < 0, on en déduit que 𝑥 − 1 > ln(𝑥) >
- On fait le changement de variable 𝑡 = 𝑥^2 , 𝑑𝑡 = 2𝑥𝑑𝑥, 𝑥 = 0 ⇒ 𝑡 = 0 et 𝑥 = 𝑋 ⇒ 𝑡 = 𝑋^2
∫
ln(𝑥)
𝑋 0
2 ∫^
ln(𝑡^2 )
𝑋^2 0
2 ∫^
2 ln(𝑡)
𝑋^2 0
ln(𝑡)
𝑋^2 0
ln(𝑥)
𝑋^2 0
∫
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋 0
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋 0
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋 0
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋^2 0
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋 0
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋^2 𝑋 A partir de 𝑥 − 1 𝑥 < ln(𝑥) < 𝑥 − 1 En divisant par 𝑥 − 1 < 0 1 𝑥 − 1 >^
ln(𝑥) >^
𝑋^2 𝑋
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋^2 𝑋
𝑋^2 𝑋 ∫
𝑋^2 𝑋
𝑋^2 𝑋
𝑋^2 𝑋
𝑋^2 𝑋
= 𝑋^2 − 𝑋 + ln (
𝑋^2 − 1
= 𝑋(𝑋 − 1) + ln(𝑋 + 1)
∫ 1 𝑥 − 1 𝑑𝑥
𝑋^2 𝑋
= ln(𝑋 + 1) On en déduit que
𝑋(𝑋 − 1) + ln(𝑋 + 1) ≤ ∫
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋^2 𝑋
ln(𝑥) 𝑑𝑥
𝑋 0
≤ ln(𝑋 + 1) En faisant tendre 𝑋 vers 1 on trouve que
∫
ln(𝑥) 𝑑𝑥
1 0
= ln(2)
Allez à : Exercice 9
Correction exercice 10. On pose
𝑏 𝑥
et 𝐺(𝑥) = ∫ 𝑔(𝑡)𝑑𝑡
𝑏 𝑥 D’après le théorème des accroissements finis généralisés (pour deux fonctions), entre 𝑥 et 𝑋 > 𝑥, il existe 𝑐 ∈ ]𝑥, 𝑋[ tel que (𝐹(𝑥) − lim 𝑋→𝑏− 𝐹(𝑋)) 𝐺′(𝑐𝑥) = (𝐺(𝑥) − lim 𝑋→𝑏− 𝐹(𝑋)) 𝐹′(𝑐𝑥) On a 𝐹′(𝑥) = −𝑓(𝑥)^ et 𝐺′(𝑥) = −𝑔(𝑥) Et 𝑋→𝑏^ lim−^ 𝐹(𝑋) = 0^ et^ 𝑋→𝑏lim−^ 𝐹(𝑋) Donc 𝐹(𝑥)𝑔(𝑐𝑥) = 𝐺(𝑥)𝑓(𝑐𝑥) Comme 𝑓 et 𝑔 sont équivalentes au voisinage de 𝑏, il existe une fonction 𝜖 tendant vers 0 lorsque 𝑥 → 𝑏−^ tel que 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) = 1 + 𝜖(𝑥) ⇔ 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥)(1 + 𝜖(𝑥)) Donc 𝐹(𝑥)𝑔(𝑐𝑥) = 𝐺(𝑥)𝑔(𝑐𝑥)(1 + 𝜖(𝑐𝑥)) 𝑔 ne peut être identiquement nulle lorsque l’on s’approche de 𝑏−^ sinon 𝑓 et 𝑔 ne peuvent pas être équivalente, bref on simplifie par 𝑔(𝑐𝑥) 𝐹(𝑥) = 𝐺(𝑥)(1 + 𝜖(𝑐𝑥)) Comme 𝑐 ∈ ]𝑥, 𝑏−[ 𝑥→𝑏^ lim−^ 𝜖(𝑐𝑥) = 0 Ce qui montre que 𝐹 ∼ 𝐺 Allez à : Exercice 10
Remarque : En 1988 c’est tombé à l’agrégation de mathématiques, il n’y en a pas un sur dix qui a su faire!
Correction exercice 11.
- En 0. (^) 𝑡Ln(𝑡) (^2) +𝑎 2 ∼ ln(𝑡)𝑎 2 𝑡
1 2 ln(𝑡)𝑎 2 → 0 et 12 < 1, d’après les règles de Riemann, l’intégrale (^) ∫ 0 ln(𝑡)𝑎 2 𝑑𝑡 converge. ln(𝑡) 𝑎^2 est de signe constant au voisinage de^0 donc l’intégrale^ ∫^
ln(𝑡) (^0) 𝑡^2 +𝑎^2 𝑑𝑡^ converge. En +∞. (^) 𝑡Ln(𝑡) (^2) +𝑎 2 ∼ ln(𝑡)𝑡 2 𝑡
3 2 ln(𝑡)𝑡 2 → 0 et 32 > 1, d’après les règles de Riemann, l’intégrale ∫ +∞^ ln(𝑡)𝑡 2 𝑑𝑡converge. ln(𝑡) 𝑡^2 est de signe constant en^ +∞^ donc^ ∫^
ln(𝑡) 𝑡^2 +𝑎^2 𝑑𝑡
Finalement 𝐼 converge.
- 𝑑𝑡 = − 𝑎
2 𝑥^2 𝑑𝑥^ et^
ln(𝑡) 𝑡^2 +𝑎^2 =^
ln(𝑎𝑥^2 ) 𝑎^4 𝑥^2 +𝑎^2
- Si 𝑡 = 𝜀 alors 𝑥 = 𝑎
2 𝜀 et si^ 𝑡 = 𝑋^ alors^ 𝑥 =^
𝑎^2 𝑋
Séries numériques
Exercice 1. Etudier la convergence des séries suivantes :
∑
∑
Allez à : Correction exercice 1
Exercice 2. Etudier la convergence des séries suivantes :
∑ ∑ √
∑ ( ) ∑ ( ) ∑ (^ )
Allez à : Correction exercice 2
Exercice 3. Déterminer la nature des séries dont les termes généraux sont les suivants :
- ( )
- (^) ( )
- (^) ( ( )) ( )
Allez à : Correction exercice 3
Exercice 4. Déterminer la nature de la série de terme général :
Allez à : Correction exercice 4
Exercice 5. Les sommes suivantes sont-elles finies?
∑ ∑ ( ) ∑ ∑
Allez à : Correction exercice 5
Exercice 6. Existence et calcul de :
∑ ( )
Allez à : Correction exercice 6
Exercice 7. Soit ( ) une suite de réels positifs et
Montrer que les séries et sont de même nature.
Allez à : Correction exercice 7
Exercice 8. Déterminer en fonction du paramètre la nature de la série de terme général ( )
Allez à : Correction exercice 8
Exercice 9. Etudier la nature de la série de terme général :
( )
√
(^) ( )
(^ )
(^) ( )
(^) ( ((^ )) )
- ( ( ))
- ( )
- ( )
Allez à : Correction exercice 9
Exercice 10.
Montrer que la série de terme général ( (√^ ) ) est semi-convergente.
Allez à : Correction exercice 10
Exercice 11. Etudier la convergence de la série numérique de terme général :
- (^ )^. 2.. 3..
- ( ).
- (^ )^ (√ √ )
- (^ )
- ( ) (√ )
a) La nature de la série. b) La nature de la suite (^ ).
a) Si ( ( )), quelle est la nature de la série? b) Quelle est la nature de la suite (^ )^ pour. Allez à : Correction exercice 17
Exercice 18. On considère la suite ( ) définie par et pour tout.
- Nature de la série?
- Nature de la série ( )? Allez à : Correction exercice 18
Exercice 19.
Montrer que la suite converge, on pourra d’abord montrer que la série de terme général
( ) est convergente. Allez à : Correction exercice 19
Exercice 20. Nature de la série de terme général (convergence et absolue convergence).
∑
Où ( ) ( )
Allez à : Correction exercice 20
Exercice 21. Montrer que les séries de terme général ( ) √
Ne sont pas de mêmes natures et que pourtant. Allez à : Correction exercice 21
Exercice 22. On pose
( ) ∫
- Montrer que la suite ( )^ est positive et décroissante. Au moyen d’une intégration par parties donner une relation de récurrence entre ( ) et ( ). Montrer par récurrence que pour tout
( ) ( ∑ )
- Montrer que l’on a :
En déduire la nature des séries
∑ ( ) ∑
- Déterminer le rayon de convergence de la série entière
∑ ( )
Exercice 23. On considère la série numérique de terme général pour et :
( ( ))
- Montrer que si cette série est convergente pour une valeur donnée, elle converge pour tout.
- Montrer que si la série est divergente. On pourra utiliser un développement limité de ( ).
- On pose avec Montrer que est équivalent à ( ). En déduire que la série est alors convergente.
- Donner toutes les valeurs de pour lesquelles cette série converge. Allez à : Exercice 23
Exercice 24. Pour , on pose : ∫
a) Calculer. b) Montrer que pour tout on a :
a) Montrer que pour tout on a :
b) En déduire que :
∑ ( )
c) Montrer que la série de terme général converge et calculer sa somme. Allez à : Exercice 24
Corrections
Correction exercice 1.
Il s’agit d’une série de Riemann divergente avec
