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eeule Nationale Supérieure en Sclences et Technologies de l'informatique 2019/
lere année Classe Próparatoire Algèbre 1
Exercices
Exercice 1. 1).Soient E un ensemble et A, B, et C trois parties de E. Montrer que
a). Au(BnC)= (AU B)n(AUC)
). CAA Cp3= AAB
c). Ac B AUB B.
- On suppose que : AnB 4; AUB # E; Ag B;B A. On pose
A-AnB; A =AnCpB^ ; (^) As = BnCpA ; A
= Ce (AUB) Montrer que A, Az, As et A4 est une partilion de E.
3) Etant donné deur ensembles E et F, pour A e P (E) et B, C E P (F) montrer que:
Ax (BnC)= (A x B)n (A x C).
Exercice 2. Soient A, B et C des parties d'un ensemble E.
Montrer les propriétés suivantes
1)ACB AnCeB-^ o
Ac B B\A = CnA.
(An B)- C = (A - C)n(B- C)
Exercice 3. 1) Etant donné A, B, et C trois parties de E. Montrer que:
i) A(Bn C) = (A\B) U (A\C)
AnBC AnC
Bc C AUBC AUC
ini) A A B = AAB.
Vi) Ac B AnCcBnC, A\B =A e» B\A = B
2) Elant donné deur ensembles B et F, pour A, A1 E P (E) et B, C E P (F) montrer que:
(A\4) xC- (41 x C)(Ax C)
Exercice 4. Soient f et h deur appications définies par:
3ar +2 si t^ <^0 h() +2 (^) si t (^20)
f:R{1} R
T-
Montrer que f est injective.
Calculer^ f- ({1}), f est elle (^) surjective?
Montrer que h est bijective et calculer ho f.
Déterminer une partie A de R telle que
g:R{1) A
ag(r) = f(r)
soit bijective.
- Déterminer g.
Exercice 5. Soient (^) f et (^) g deur applications (^) défnies de^ R^ vers^ R^ par:
ig (c)^ =^
siz<
4a- 1 sir
3x+2 si a < fl)
T+2 si a
Montrer^ que f et^ g sont^ bijectives et (^) définir leurs applications (^) réciproques.
Calculerfog, (fo g).
Défnir les^ applications hi et (^) h2 sachant (^) que (^) g o h
= f = h2 o g.
Exercice 6. (^) Soit f l'application définie comme^ suit
f:R R
1+
Montrer que Vr ¬ R;j
Déterminer^ les^ valeurs (^) y E R (^) qui admettent (^) au moins (^) un antécédents (^) par (^) f.
(^) L'application f est-elle (^) injective? f est-elle^ surjective?
Déterminer^ les (^) plus (^) grand sous (^) ensembles A etB (^) de (^) R tels (^) que
g:A (^) B
tg (z) = f (r)
soit (^) bijective. Calculer g.
Exercice 10. Soient E et Fdeur ensembles non vides et f une application de E dans F.
- a). Montrer que
VA (^) E (^) P (E), ACF (A)
- Montrer que si f est injective, on a
VA E (^) P (^) (E), A (^) =f(f (A)
c.Donner un exemple d'application f telle que
3A
EP (B), AfPUA))
2 a. Montrer que
VB EP F), f(r (3) cB
b). Montrer que si f est surjective, on a
VBEP(F), f(f(B) = B
c. Donner un exemple d'application f telle que
B e P (F), f(fl(6) #B
Exercice 11. Soient B, F,G trois ensembles et p: F--G une application.
On définit l'application
:F (^) (E,F) F (^) (E, G)
fpof
Montrer que:
( injective p injective).
( surjective p surjective).
Dans le cas où est bjective, erprimer 9
