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Université Mohamed I Filière : Economie et Gestion
Faculté Pluridisciplinaire Echantillonnage et estimation
NADOR Semestre III (2020/21)
**_TD
- Exercice_** Soit X une v.a. de densité : f(x, )= ² 2 x (^) ; si 0 x et f(x, )= 0 sinon.
- Déterminer en utilisant la méthode des moments un estimateur du paramètre .
- Etudier les propriétés de cet estimateur. 2) Exercice Soit x 1 , x 2 ,… xn un échantillon aléatoire simple d’une v.a. X continue de loi de probabilité donnée par : f(x)= 1 x si x 1 et f(x)=0 sinon, où est un paramètre réel strictement supérieur à 1. Soit l’estimateur : T = n 1 n i 1 Log(xi).
- Calculer l’espérance de X et en déduire un estimateur θ ˆ^ de en utilisant la méthode des moments.
- Montrer que T est un estimateur non biaisé d’une fonction g( ) que l’on précisera.
- Montrer que T est un estimateur efficace.
- Prouver que T est l’estimateur du maximum de vraisemblance de g( ). En déduire un estimateur du maximum de vraisemblance de .
- Déterminer un intervalle de confiance bilatéral symétrique approché pour au niveau de confiance 0.95. 3) Exercice Chaque semaine, MARJAN_NADOR sélectionne un échantillon de 100 clients, pour estimer le montant moyen des dépenses de chaque client. En se fondant sur les nombreuses enquêtes précédentes, le supermarché suppose que la dépense de chaque client est d’écart-type σ =100 Dh. a) Si cette semaine la moyenne de l’échantillon est 450Dh, déterminer un intervalle de confiance de =m pour α = 0.05. b) Même question si l’écart-type, σ est inconnu et s=110 Dh. c) Combien de clients faut-il interrogés pour que la longueur de l’intervalle de confiance de la moyenne à 95% ne dépasse pas 20 Dh?
4) Exercice : L’association des commerçons de la ville de Nador ont organisé une foire pour mouvoir leurs commerces. Pour étudier le pourcentage p des visiteurs qui ont pu acheter un produit, on a remarqué que, dans un échantillon de taille n, T visiteurs ont pu acheter un produit à la fin leur visite.
- Déterminer la distribution de T.
- Si n 100, déterminer un intervalle de confiance de p à 95%.
- Déterminer n pour que l’erreur d’estimation ne dépasse pas 10% dans un intervalle de confiance à 95%? Application : a) Déterminer n si le pourcentage est de f=20%. b) L’approximation à la distribution normale est elle raisonnable? 5) Exercice A) Pour tester l’efficacité ou non d’un engrais, on choisit 200 lots de terrain de même superficie. On a traité 100 lots avec l’engrais, et les autres ne les sont pas. Les récoltes en tonnes obtenues pour les 100 lots traites donnent : 100 1 i^2140 i x ;^ 100 2 1 i^46000 i x ;^ y^ ^21 ;^ 2 sY 3.44. d) Si on suppose, pour cette question, que la variance (^2) X^ 2 , déterminez un intervalle de confiance de la moyenne mX de X au niveau α = 0.05. e) Déterminez un intervalle de confiance de la variance 2 (^) x de X au niveau α = 0.05. Rappelons que si tn suit la loi de Student et ²n suti khi-deux alors tn n n 2 et n (^) n^2 n suivent asymptotiquement la loi normale N(0,1)pour n>30. N(0,1) α = 10%, Fn 1 , n 2 .02 .03 .04 .05. 1.6 0.9463 0.9474 0.9495 0.9500 0. 1.6 0.9463 0.9474 0.9495 0.9500 0. 1.9 0.9719 0.9726 0.9738 0.9744 0. n 1 n 2 80 100 80 1.448 1. 100 1.415 1.
par conséquent, l’estimateur * suivant la méthode des moments est : * = x 1 x
- On a : E(T) = n 1
n i 1 E(Log(xi)),
or E(Log(X))=
1 ^1
x Logx
dx= -
1 ^1
x Logxdx = - [ x Logx (^) ] 1 +
1 1 1 x dx (intégration par partie: f(x)=x
1 ^1
x dx= 1
1 f(x)dx = 1 E(T)= (^1) T est estimateur non biaisé de g( )=
- La fonction de vraisemblance est donnée par :
L( ; x )=
n i 1 1 ^1
x …^ ^1
x n
n i i n x 1 1
Log[L( ; x )]= nLog - ( +1)
n i 1 Log(xi θ Log(L(θ, )) x =
n -
n i 1 Log(xi n (^) - nT Or X( )=[0,+ [ est indépendant de , donc on a : In( ) = - E (^)
θ² ²Log(L( θ, x )) = (^) ² n (^). BCR = I( ) θ b(n, θ) g'( ) n 2
² 1 n
D’autre part : E(Log(X))²=
1 1 ( )²
x Logx (^) dx = - [ x^ ( Logx )²] 1 + 2
1 ^1
x Logx (^) dx= ² 2
Ici on prend f(x)= (Logx)² f’(x)= 2 Log x( )
x
et g(x)= x
x
Var(Log(X))= E(Log(X))² - [E(Log(X))]²= ² 1
Var(T) = n² 1
n i 1 E(Log(xi)),= ² 1 n
=BCR
Par suite T est un estimateur efficace.
- T est un estimateur efficace et non biaisé de (^1) , donc d’apres les propriétés qui dit: S’il existe un estimateur efficace non biaisé de , alors il sera donné par la méthode du maximum de vraisemblance, donc on peut en déduire que θ ˆ’= T (^1) =g(T) est l’estimateur du maximum de vraisemblance de .
- On sait que si θ ˆ’^ est estimateur du maximum de vraisemblance de , alors : ( θ ˆ’^ - ) In(θ ) est asymptotiquement normale N(0,1). Or ( θ ˆ’^ - ) In(θ )= ( T
n -u < T θ (^1) - (^) n < u / n^ - u^ <^ T θ (^1) < u /2 + n (^ n^ - u^ )/T^ <^ ^ < (^ n^ + u^ )/T 3) Exercice a) On connait l’écart-type, σ = 100 et on a n = 100; donc x suit la loi normale N(m, n
) , pour on a u /2= 1, T= n x- m~ N(0,1), donc : P T [^ ^ n x-m <u /2] = 1-^ ,
[ x^ -
n (^) u
,^ x^ +^
n (^) u /2] = [430,4, 469,6] b) Même question si l’écart-type, σ est inconnu et s=110 Dh., donc on utiliser la statistique : T= S x- m n 1 qui suit la loi de Student à n-1 degrés de liberté. PT [ S x- m n 1 <t /2] = 1-^ , pour n>30 on a Tn/ n 2 n , suit une loi normale N(0,1). Pour notre cas on va substituer n par n-1 ( car notre statistique T sui une loi de Student à n-1 d.l). donc pour déterminer t /2 , on utilise la formule : t /2/ n 2 n = u , t /2= u n 2 n Donc : t /2= n 2 n
1,96 = 1,98 x -
n- 1 s (^) t
< m <^ x^ +^
n- 1 s (^) t /
T = n (n-1) ² ² S qui suit une distribution de n-1 à n-1 degrés de liberté. Par conséquent, on aura :
PT[
2 (n-1) ˆ² x
1 (n-1) ˆ² x
]=1- . (voir le cours pour le détaille)
Donc l’intervalle de confiance de ² est le suivant : [ 2 2 (n-1)S' n x
1 2 (n-1)S' n x
].
Où 2 S' (^) n= 99 100 ( (^) 100 1 2 100 1 i x i - 2 x )=1,01(21,4 + 460)=486,2 (car S’²= n- 1 n S² ) et P[ n-1 =^ x 1 ] =^ /2=0.025 et P[^ n-1 =x 2 ]= 1-^ /2=0.
Or pour n>30 on a
n (^) n^2 n suit une loi normale N(0,1) u = n xi n x =n+ u n
donc x 2 =n-1+u1- /2 n 1 =n-1+u0.975 n 1 = 99+1.96 99 = 118,5 (ici on remplace n par n-1)
et x 1 = n-1- u1- /2 n 1 = = 99 -1.96 99 = 79,
il suffit de remplacer S (^2) x , x 1 , x 2 et n-1 par leurs valeurs dans [ 2 (n-1) S²n x
1 (n-1) S²n x ] pour trouver l’intervalle cherché.
