PP calcolo combinatorio, Slides of Mathematics

Download PP calcolo combinatorio and more Slides Mathematics in PDF only on Docsity!

Disposizioni semplici

Consideriamo il seguente problema: quante

parole, anche prive di significato, si possono

scrivere con tre lettere diverse dell'insieme

A={a,e,c,f}

Disposizioni semplici

ecf; efc; cef; cfe; fec; fce ace; aec; eac; eca; cae; cea; aef; afe; fea; fae; eaf; efa; acf; afc; caf; cfa; fac; fca Totale: 4 x 3 x 2= 24

Disposizioni semplici

Le disposizioni semplici di n elementi distinti di classe k (con k<=n) sono tutti i gruppi di k elementi, scelti fra gli n, che differiscono per almeno un elemento o per l'ordine con cui gli elementi sono collocati. Il loro numero è: D n , k = n ⋅( n − 1 )⋅( n − 2 )...( n −( k − 1 ))

Disposizioni semplici

Esempio Avendo a disposizione 6 atleti per la gara di staffetta 4x100, in quanti modi possiamo stabilire la successione ordinata degli atleti? D 6,

Disposizioni semplici

Esempio: Quanti numeri pari di tre cifre diverse si possono scrivere utilizzando le cifre dell'insieme A={1,2,3,5,7} Si possono ottenere numeri pari con queste cifre solo se l'ultima cifra è 2. Pertanto: N = D 4,

Disposizioni con ripetizione

Lanciamo una moneta tre volte e consideriamo tutti i possibili modi con cui si succedono le due facce. TTT; TCT; TTC; CTT; CCT; CCT;CTC;CCC Totale: 2 x 2 x 2 = 8 Osserviamo che i gruppo così ottenuti differiscono per almeno un elemento o per il loro ordine, ma un elemento può comparire anche più di una volta. Nel nostro esempio abbiamo calcolato le disposizioni con ripetizione di 2 oggetti distinti di classe 3.

Disposizione con ripetizione

Esempio Si memorizzano 12 canzoni su un dispositivo MP3. Se ne vogliano ascoltare 3, scegliendola a caso una alla volta. Quante sono le possibili terne di canzoni? Poiché conta l'ordine con cui si scelgono le canzoni e si sta ammettendo la possibilità che una canzone possa essere ascoltata più di una volta (visto che ogni volta viene scelta a caso), il risultato è: N = D 12,

= 12 3 = 1728

Disposizioni con ripetizione

Esempio Determina quante sigle di 5 elementi si possono formare con le 21 lettere dell'alfabeto italiano e le 10 cifre decimali, sapendo che i primi tre posti devono essere occupati dalle lettere e gli ultimi due dalle cifre. In questo caso stiamo ammettendo la possibilità che lettere e cifre possano essere ripetute. Il numero delle sigle sarà pertanto pari a: N = D 21,

⋅ D 10,

= 21 3 ⋅ 10 2 = 926100

Permutazioni semplici

Le permutazioni semplici di n oggetti distinti sono tutti i gruppi formati dagli n elementi che differiscono fra loro per il loro ordine. Il loro numero è: Tale numero si indica anche con n! e si legge “n fattoriale”. p n = n ⋅( n − 1 )⋅( n − 2 )...⋅ 2 ⋅ 1

Permutazioni semplici

Calcolare il numero degli anagrammi che si possono ottenere con le lettere della parola CANTO. Risultato: N = 5_!_ = 5 ⋅ 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 120

Permutazioni con ripetizione

Consideriamo il seguente esempio: calcolare quanti anagrammi (anche privi di significato) si possono formare con le lettere della parola TETTO. Abbiamo 5 lettere, di cui 3 sono ripetute. Se avessimo un modo per distinguere le tre lettere T che compaiono nella parola TETTO, dovremmo calcolare il numero delle permutazioni semplici di 5 oggetti, ottenendo come risultato 120. Le T però non sono distinguibili e quindi, data una parola, permutando le tre T che in essa compaiono, si ottiene la stessa parola. Ma le tre T possono essere permutate in 3!=6 modi diversi.

Permutazioni con ripetizione

Il numero degli anagrammi che posso ottenere è pertanto: 6_!_ 3_!_

Permutazioni con ripetizione

Esempio In uno spettacolo, sul palcoscenico si devono disporre in fila sei ballerine e quattro ballerini. In quanti modi si possono disporre gli artisti dovendo solo distinguere le posizioni di maschi e femmine. Bisogna permutare 10 elementi di cui 4 e 6 sono ripetuti. Il risultato è pertanto: p 10 4, =

Permutazioni con ripetizione

Esempio A una cordata partecipano otto alpinisti, di cui cinque sono uomini e tre sono donne. In quanti modo si possono disporre gli alpinisti, dovendo solo distinguere le posizioni dei maschi e femmine e sapendo che il capo della cordata deve essere un uomo. I gruppi sono del tipo: MFFFMMMM; MFMFMFMM, etc etc Sappiamo che il primo elemento deve essere M. Gli altri elementi si ottengono permutando gli elementi MMMMFFF in cui 4 e 3 elementi sono ripetuti. Il numero totale di tali gruppi è pertanto: p 7 4, =