Transformée de Laplace - Équations Différentielles, Summaries of Differential Equations

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Chapitre 4: Transformation

de Laplace

Fonction échelon unitaire.

Propriétés de la transformée de Laplace

• Exemple : Trouver la transformée de Laplace de
• Solution : Utilisation de la notation de fonction échelon unitaire
• En complétant le carré obtenu,
• C'est une parabole t 2 translaté vers la droite par 1 et vers le haut par un. C'est une fonction discontinue. December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj 2

Propriétés de la transformée de Laplace

• Remarque : L'inverse des formules du théorème ci-dessus sont :
• Exemple : Trouver de
• Solution :
• Rappeler alors nous concluons que

Propriétés de la transformée de Laplace

• Exemple : Trouver de
• Solution :
• Nous concluons: December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj

Propriétés de la transformée de Laplace

• Exemple : Trouver de
• Solution : Rappeler :

Exemple : étant donné December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj 8 On sait que donc on a

December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj 9 Étant donné donc qui peut être écrite comme une fonction continue

• Trouvez l'inverse des transformations suivantes et esquissez les fonctions ainsi obtenues.
• Le tableau des transformées de Laplace a :
• La transformée de Laplace inverse est donc donnée par : December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj ember 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj

Équations différentielles avec fonctions de

forçage discontinues

ember 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj 14 Résoudre une Équations différentielles en utilisant la transformée de Laplace

• L’équation différentielle :
• Appliquer la transformée de Laplace et résoudre pour
• Alors utiliser l’inverse de la transformée de Laplace pour trouver y(t) December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj

December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj 16 Exemple :

December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj 16 Exemple :

(Système non amorti avec force, racines imaginaires pures) Résoudre le problème de valeur initiale suivante December 21, 2021 Differential Equations - Adnan Haj 19

Intégrale de convolution

• Si f(x) et g(x) sont continus par morceaux sur [0 ∞) alors :
• Forme inverse du théorème de convolution