Introducción a la Teoría de Conjuntos: Definiciones y Operaciones, Exercises of Mathematical logic

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Profesor: Steven López

Conjuntos-Segundo

Capitulo

Profesor: Steven López

CONJUNTOS Algunas agrupaciones que

representan conjuntos son:

• Los números enteros.
• Los habitantes de la Luna.
• Los animales en extinción.
• Los números primos.
• Los paquetes de software.
• Los operadores de telefonía

celular.

Un conjunto es una colección, reunión o agrupación de objetos que poseen una característica o propiedad común bien definida. OJO: Para decir que x es un elemento del conjunto A, escribiremos x ∈ A. Para decir que x no está en A, escribiremos x ∉ A.

Profesor: Steven López

CARDINALIDAD

Ejemplo: A = {x/x es un dígito impar

en el sistema de numeración

decimal

N(A) = 5, porque A = {1, 3, 5, 7, 9}

Es la cantidad de elementos de un conjunto A. Se denota por el símbolo N(A).

Profesor: Steven López CONJUNTOS RELEVANTES Sea A un conjunto, se pueden dar los siguientes casos:

• A es VACÍO si no tiene elementos. El símbolo que se utiliza para representar al conjunto vacío es ∅. N(A) = 0
• A es UNITARIO si tiene un único elemento. N(A) = 1
• A es FINITO si tiene una cantidad finita de elementos.
• A es INFINITO si no tiene una cantidad finita de elementos.
• A es REFERENCIAL o UNIVERSO cuando contiene todos los elementos que deseen considerarse en un problema, discurso o tema, sin pretender contener todo lo que no interesa al problema. El símbolo que se utiliza para representar a este conjunto es Re o U.

Profesor: Steven López ¿Subconjunto? El conjunto A es subconjunto de B si y sólo si los elementos de A están contenidos en B. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A ⊆ B) ⇔ ∀x [(x ∈A) → (x ∈B)] ¿Subconjunto propio? Si A es subconjunto de B (A ⊆ B) pero B no es subconjunto de A (B ⊊ A), se di ce que A es SUBCONJUNTO PROPIO de B, lo cual se representa por: (A ⊂ B) ⇔ [(A ⊆ B) ∧ ¬(A = B)] OJO: ∅ ⊆ A y A ⊆ A

Profesor: Steven López ¿Qué es Conjunto Potencia? Dado un conjunto A, su conjunto potencia es aquel que está formado por todos los subconjuntos posibles de A. El símbolo que se utiliza para este conjunto es P(A). P(A) = {B/B ⊆ A} La cardinalidad del conjunto potencia de A se denota como N(P(A)) y es igual a 2^N(A).

Profesor: Steven López Dado el conjunto B = {1, {*, Ω}}, construya P(B)

Profesor: Steven López RELACIONES ENTRE CONJUNTOS ¿Qué es igualdad entre conjuntos? Dos conjuntos A y B son iguales si y sólo si tienen los mismos elementos. Es decir, ambos conjuntos se contienen mutuamente. Simbólicamente, este concepto se representa por: (A = B) ⇔ [(A ⊆ B)∧(B ⊆ A)] Usando las definiciones y las propiedades de la lógica proposicional, se tiene: (A = B) ⇔ ∀x [(x ∈A)↔(x ∈B)] ¿Qué es conjunto disjuntos e intersecantes? Los conjuntos A y B son DISJUNTOS si y sólo si A y B no tienen elementos en común. Los conjuntos A y B son INTERSECANTES si y sólo si A y B tienen al menos un elemento común.

Profesor: Steven López Unión entre conjuntos: La unión entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∪B y se define como: A∪B = {x/(x ∈A) ∨ (x ∈B)}

Profesor: Steven López Intersección entre conjuntos: La intersección entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen al conjunto A y al conjunto B. Se denota por A∩B y se define como: A∩B = {x/(x ∈A) ∧ (x ∈B)}

Profesor: Steven López Diferencia simétrica entre conjuntos: La diferencia simétrica entre los conjuntos A y B es un nuevo conjunto formado por los elementos que pertenecen o al conjunto A o al conjunto B. Se denota por A∆B y se define como: A∆B = (A−B) ∪ (B−A), o también: A∆B = {x/ [(x ∈A) ∧ ¬(x ∈B)] ∨ [(x ∈B) ∧ ¬(x ∈A)]}

Profesor: Steven López Complementación entre conjuntos: La complementación de un conjunto A es un nuevo conjunto formado por los elementos del referencial que no pertenecen al conjunto A. Se denota por 𝐴 𝐶 y se define como: 𝐴 𝐶 = {x/(x ∈ Re) ∧ ¬(x ∈A)}

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