Modélisation des Robots: Introduction à la Robotique, Cheat Sheet of Robotics and Autonomous Systems

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Modélisation des Robots

Master Automatique S

Rédigé par Mme S.BORSALI

Modélisation des Robots

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Rédigé par Mme S.BORSALI

Modélisation des Robots

Table des matières

I / Introduction

1.1 / Définitions générales

1.2 / Architecture des robots

II / Matrices de transformations homogènes.

2. 1 / Coordonnées homogènes.

2.2/ Transformation homogène

2.2.1/ changement de repère

2.2.2/ Transformation de vecteurs

2.2.3/ Matrice de translation pure homogène

2. 2.4/ Matrice de rotation homogène

2.2.5/ Le torseur cinématique

2.2.6/ Le torseur dynamique

2.2.5.1/ Matrice de transformation entre torseur

III/ Modèle Géométrique des robots.

3.1/ Modèle géométrique direct

3.1.1/ Introduction

3.1.2/ Convention de Denavit -Hartenberg

3.1.2.1/ Principe

3.1.2.2/ Hypothèses

3.1.2.3/ Les paramètres de Denavit-Hartenberg

5.3/ Formalisme de Newton-Euler

5.3.1/ Introduction

5.3.2/ Equations de Newton-Euler linéaires par rapport aux

. paramètres inertiels

5.3.3/ Forme pratique des équations de Newton-Euler

5.4/ Conclusion

Pour commander ou simuler le comportement d’un système mécanique articulé (robot), on doit disposer d’un modèle .Plusieurs niveaux de modélisation sont possibles selon les objectifs, les contraintes de la tache et les performances recherchées. Les modèles mathématiques nécessaires sont

• les modèles géométriques directs et inverses qui expriment la situation de l’organe terminal en fonction des variables articulaire et inversement.
• les modèles cinématiques direct et inverse qui expri en fonction des variables articulaires et inversement.
• les modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot qui permettent d’établir les relations entre les couples ou forces exercées par le et les positions, vitesses, accélérations des articulations.

Difficultés : Complexité de la cinématique Le nombre de degré de liberté Type d’articulation (prismatique ou rotoide) Type de chaîne (ouverte, simple, arborescente ou fermée) Pour obtenir un bon modèle il faut

1/ Mettre en œuvre des procédures efficaces d’identification et de leurs paramètres constitutifs. 2/ Pour qu’une commande puisse être effectivement implantée sur un contrôleur de robot, les modèles doivent être calculés en ligne et donc le nombre d’opération à effectuer doit être minimum.

Fig1 : Système robotisé industriel

I / Introduction

Pour commander ou simuler le comportement d’un système mécanique articulé (robot), on doit disposer d’un modèle .Plusieurs niveaux de modélisation sont possibles selon les objectifs, les contraintes de la tache et les performances recherchées. èles mathématiques nécessaires sont : les modèles géométriques directs et inverses qui expriment la situation de l’organe

en fonction des variables articulaire et inversement. les modèles cinématiques direct et inverse qui expriment les vitesses le l’organe terminal en fonction des variables articulaires et inversement. les modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot qui permettent d’établir les relations entre les couples ou forces exercées par les actionneurs et les positions, vitesses, accélérations des articulations.

: Complexité de la cinématique Le nombre de degré de liberté Type d’articulation (prismatique ou rotoide) Type de chaîne (ouverte, simple, arborescente ou fermée) Pour obtenir un bon modèle il faut :

Mettre en œuvre des procédures efficaces d’identification et de leurs paramètres constitutifs. Pour qu’une commande puisse être effectivement implantée sur un contrôleur de robot, les modèles doivent être calculés en ligne et donc le nombre d’opération à effectuer doit être

: Système robotisé industriel

Pour commander ou simuler le comportement d’un système mécanique articulé (robot), on doit disposer d’un modèle .Plusieurs niveaux de modélisation sont possibles selon les objectifs,

les modèles géométriques directs et inverses qui expriment la situation de l’organe

ment les vitesses le l’organe terminal

les modèles dynamiques définissant les équations du mouvement du robot qui permettent s actionneurs

Mettre en œuvre des procédures efficaces d’identification et de leurs paramètres constitutifs. Pour qu’une commande puisse être effectivement implantée sur un contrôleur de robot, les modèles doivent être calculés en ligne et donc le nombre d’opération à effectuer doit être

La façon dont les liaisons motorisées sont reparties du bâti au poignet défini trois grandes classes d’architecture (voir tableau

-Architecture série (ou chaîne cinématique ouverte)

• Architecture parallèle(ou chaîne cinématique -Architecture mixte (série- parallèle ou parallèle

(a)

Fig.2 : structure

On définit aussi deux types d’espace relatif au robot

L’espace articulaire : c’est celui dans lequel est On utilise des variables articulaires.

L’espace opérationnel : c’est celui dans lequel est On utilise des cordonnées cartésiennes, sphérique ou cylindrique.

Autres particularités de robots

La redondance : Lorsque le nombre de degré de liberté de l’organe te est inférieur au nombre de degré de liberté de l’espace articulaire (nombre d’articulations motorisées)

Les qualités requises pour un robot sont la résolution, la précision et la r

La façon dont les liaisons motorisées sont reparties du bâti au poignet défini trois grandes classes d’architecture (voir tableau 4 dans l’annexe).

(ou chaîne cinématique ouverte) Architecture parallèle(ou chaîne cinématique multiboucle) parallèle ou parallèle –série)

structure ouverte simple (a), structure arborescente (b)

On définit aussi deux types d’espace relatif au robot :

: c’est celui dans lequel est représentée la situation de tous ses corps. On utilise des variables articulaires.

: c’est celui dans lequel est représentée la situation de l’organe On utilise des cordonnées cartésiennes, sphérique ou cylindrique.

Autres particularités de robots :

: Lorsque le nombre de degré de liberté de l’organe terminal est inférieur au nombre de degré de liberté de l’espace articulaire (nombre d’articulations

Les qualités requises pour un robot sont la résolution, la précision et la ré

La façon dont les liaisons motorisées sont reparties du bâti au poignet défini

(b)

arborescente (b)

la situation de tous ses corps.

la situation de l’organe terminal.

rminal est inférieur au nombre de degré de liberté de l’espace articulaire (nombre d’articulations

épétabilite

II / Matrices de transformations homogènes.

2. 1 / Coordonnées homogènes.

• Un point est représenté par P

Px P = Py Pz 1

• Représentation d’une direction (vecteurs libre)

ux u = uy uz 0

- Représentation d’un plan

le plan αx+βy+γz=δ est repr pour tout point appartenant à Q, Q.P = 0

Px Q.P = [α,β,γ,δ ] Py = 0 Pz 1

2.2/ Transformation homogène

2.2.1/ changement de repère

Matrices de transformations homogènes.

1 / Coordonnées homogènes.

Un point est représenté par Px, Py , Pz coordonnées cartésiennes

y

Représentation d’une direction (vecteurs libre)

est représenté par un vecteur Q = [α, β ,γ,δ] pour tout point appartenant à Q, Q.P = 0

2/ Transformation homogène

changement de repère

Fig.3 : changements de repères

[2.1]

[2.2]

[2.3]

On calcul les coordonnées homogènes du point P 1 dans le repère Ri par l’équation suivante :

jP i =^

i(O iP 1 ) =^

iS j

jP 1x +^

in j

jP 1y +

ia j

jP 1z =^

iT j

jP 1 [2.7]

La matrice iTj permet donc d’exprimer dans le repère Ri les coordonnées d’un point dans le repère Rj.

2.2.3/ Matrice de translation pure homogène

Soit Tr (a,b,c) une transformation qui désigne la translation a, b, et c le long des axes x, y, et z respectivement. La transformation dans ce cas s’exprime par :

1 0 0 a iT j = Tr (a,b,c) =^ 0 1 0 b^ [2.8] 0 0 1 c 0 0 0 1

On utilise par la suite la notation Tr (u,d) pour designer une translation d’une valeur d le long de l’axe u.

Propriétés : Tr (a,b,c) = Tr (x,a).Tr (y,b).Tr (z,c) L’ordre des multiplications étant quelconque.

2. 2.4/ Matrice de rotation homogène

On définit Rot (x,θ) la transformation homogène qui s’exprime par :

iT j = Rot (x,θ) =^ 0 cθ^ -sθ^0 [2.9] 0 sθ cθ 0 0 0 0 1

Rot ( x,θ) désigne la rotation ou l’orientation de repère Ri d’un angle θ autour de l’axe x du repère Rj. De la même façon on défini la rotation autour de y par :

cθ 0 -sθ 0 iT j = Rot (y,θ) = 0^1 0 0 [2.10] sθ 0 cθ 0 0 0 0 1

Et la rotation autour de z par :

cθ -sθ 0 0 iT j = Rot (z,θ) =^ sθ^ cθ^0 0 [2.11] 0 0 1 0 0 0 0 1

Propriétés : Composition de matrices

A 1 P 1 A 2 P 2 A 1 .A 2 A 1 .P 2 + P 1

T 1 .T 2 = 0 0 0 1 = 0 0 0 1 = 0 0 0 1 [2.12]

On peut donc généraliser :

(^0) T k =^

0 T

1 T

2 T

3 …..^

k-1T k [2.13]

2.2.5/ Le torseur cinématique

Une méthode de description de la vitesse d’un solide dans l’espace fondée sur l’utilisation du torseur cinématique. L’application qui a tout point Oi du corps Ci fait correspondre un vecteur Vi est appelée champ de vecteur. Si ce vecteur est une vitesse, on parlera de champ des vitesses. Le champ des vitesses est antisymétrique. Un Torseur cinématique au point Oi est caractérisé par deux composants , appelés élément de réduction :

V (^) i :moment résultant en Oi, représentant la vitesse absolue de l’origine Oi par rapport à R 0 ,tel que : V i =

⤔ ⤔⤰ (^ Oi^ Oj) ;^ [2.14]

wi : résultante du torseur représentant le vecteur de rotation instantanée du corps Ci par rapport à R 0 ; La connaissance de ces deux éléments permet de calculer la vitesse d’un point Oj par la relation fondamentale suivante : V j = V i + ωi ×OiOj [2.15]

Ou le symbole × désigne le produit vectoriel.

Les composantes de V i et de ωi peuvent être concaténées pour composer le vecteur \Vi :

\Vi = [ V iT^ ωiT^ ]T^ [2.16]

Le vecteur \Vi est appelé vecteur du torseur cinématique en Oi.

Propriétés :

1/Produit

(^0) Tj = 0 T 1 1 T 2 …..j-1TJ

2/ inverse iT j

iP j

jA j j Ti-1^ = = iTj 03 iAj

2. 2. 6/ Le torseur dynamique

Un torseur Oi est représenté par un torseur dynamique Fi dont la résultante est la force Fi et le moment autour de Oi est mi :

fi Fi = mi

On peut aussi interpréter l’effort Fi comme étant une force fi au point Oi et un couple mi. Dans le repère Ri, on exprime iFi et dans le repère Rj on exprime jFj on a donc :

jmj imi = jTi jf j

if i

jf j =^

jA i

if i

jm j =^

jA i (Fi ×^

iP j +^

im i)

III/

3.1/Modèle géométrique direct

3.1.1/ Introduction

La Conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles mathématiques tel que le modèle géométrique direct qui expriment la situation de l’organe terminal en fonction des vitesses articulaires du mécanisme et inversement. Le calcul symbolique de ces Le logiciel SYMORO+ conçu par algorithmes de modélisation en La modélisation du robot de façon systématique et automatique exige une méthode adéquate pour La description de leur morphologie. Plusieurs méthodes et notations ont été répandue est celle de Denavit ouvertes simples, présente des structures fermées ou arborescente. C’est pourquoi, on utilise la notation de Khalil et Kleinfinger qui permet la description homogène, et avec un nombre minimum de paramètres, des architectures ouvertes simples et complexes des systèmes mécaniques articulés

3.1.2/ Convention de Denavit

Méthodologie à suivre pour décrire les robots à structure ouverte simples. Une structure ouverte simple est composée de n+1 corps notés C Le corps C 0 désigne la base du robot et le corps C L’articulation j connecte le corps C

Fig. 6 : Robot a structure ouverte simple

III/ Modèle Géométrique des robots.

3.1/Modèle géométrique direct

La Conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles mathématiques tel que le modèle géométrique direct qui expriment la situation de l’organe

en fonction des vitesses articulaires du mécanisme et inversement. Le calcul symbolique de ces modèles par ordinateur à fait l’objet d’un grand nombre de travaux Le logiciel SYMORO+ conçu par Khalil et dans lequel on retrouve implanté la plupart des de modélisation en robotique, est certainement le plus performant. La modélisation du robot de façon systématique et automatique exige une méthode adéquate

La description de leur morphologie. Plusieurs méthodes et notations ont été est celle de Denavit-Hartenberg mais cette méthode, développée des ambigüités lorsqu’elle est appliquées sur des robots ayant des structures fermées ou arborescente. C’est pourquoi, on utilise la notation de Khalil et a description homogène, et avec un nombre minimum de paramètres, des architectures ouvertes simples et complexes des systèmes mécaniques articulés

2/ Convention de Denavit -Hartenberg

Méthodologie à suivre pour décrire les robots à structure ouverte simples. Une structure ouverte simple est composée de n+1 corps notés C 0 ……..C désigne la base du robot et le corps Cn le corps qui porte l’or L’articulation j connecte le corps Cj au corps Cj-1 (fig.5)

a structure ouverte simple

La Conception et la commande des robots nécessitent le calcul de certains modèles mathématiques tel que le modèle géométrique direct qui expriment la situation de l’organe

par ordinateur à fait l’objet d’un grand nombre de travaux. halil et dans lequel on retrouve implanté la plupart des certainement le plus performant. La modélisation du robot de façon systématique et automatique exige une méthode adéquate

La description de leur morphologie. Plusieurs méthodes et notations ont été proposées, la plus développée pour des structures lorsqu’elle est appliquées sur des robots ayant des structures fermées ou arborescente. C’est pourquoi, on utilise la notation de Khalil et a description homogène, et avec un nombre minimum de paramètres, des architectures ouvertes simples et complexes des systèmes mécaniques articulés.

Méthodologie à suivre pour décrire les robots à structure ouverte simples. ……..Cn et de n articulations le corps qui porte l’organe terminal.

1/ ∝j : angle entre les axes zj

2/ dj : distance entre zj-1 et zj

3/ θj : angle entre l’axe xj-1 et x

4/ rj : distance entre xj-1 et xj

• Si l’articulation i est de type prismatique, alors di est variable •Si l’articulation i est de type

La variable articulaire q

avec : δj = 0 si l’articulation j est δj = 1 si l’articulation est prismatique

A partir de cette description le repère Rj dans le repère Rj-

on a :

3.1.3/ Exemple

j-1 et zj correspondant^ à une rotation autour de x

j le long de xj-

et xj correspondant à une rotation autour de zj.

le long de zj

• Si l’articulation i est de type prismatique, alors di est variable •Si l’articulation i est de type rotoïdes, alors θi est variable.

La variable articulaire qj associée à la jieme^ articulation est définie par

qj = δj .θj + δj .rj

= 0 si l’articulation j est rotoïde = 1 si l’articulation est prismatique

escription on peut définir la matrice de transformation

à une rotation autour de xj-

articulation est définie par :

[3.1]

la matrice de transformation homogène définissant

[3.2]

[3.3]

Description de la géométrie du robot STAUBLI RX 90 ,porteur du type RRR et poignet comportant 3 rotations d’axes concourants (rotule)

Placement des repères et notation pour le robot Staubli

du robot STAUBLI RX 90 ,porteur du type RRR et poignet comportant 3 rotations d’axes concourants (rotule)

Robot STAUBLI RX90 (

cement des repères et notation pour le robot Staubli

du robot STAUBLI RX 90 ,porteur du type RRR et poignet

(Fig.7)

Fig.(8)

Exemple :

le modèle géométrique direct du robot Staubli RX

compte des relations [3.3],on

3 .2 / Modèle géométrique inverse

3.2.1 / Introduction

Le modèle géométrique direct d’un robot permet de calculer les coordonnées opérationnelles donnant la situation de l’organe terminal en fonction des articulaires

Le problème inverse consiste à calculer les situation données de l’organe terminal les solutions possibles (il y a rarement unicité de solution) constitue le inverse.

Position du problème :

direct du robot Staubli RX 90, obtenu a partir du tableau (fig

compte des relations [3.3],on écrit les matrices de transformations élémentaires

[3.7]

.2 / Modèle géométrique inverse

Le modèle géométrique direct d’un robot permet de calculer les coordonnées opérationnelles donnant la situation de l’organe terminal en fonction des coordonnées

inverse consiste à calculer les coordonnées articulaires correspondant situation données de l’organe terminal .Lorsqu’elle existe, la forme explicite qui donne toutes les solutions possibles (il y a rarement unicité de solution) constitue le modèle

a partir du tableau (fig 9),et tenant les matrices de transformations élémentaires j-1T

Le modèle géométrique direct d’un robot permet de calculer les coordonnées coordonnées

articulaires correspondant à une forme explicite qui donne toutes modèle géométrique

Soit fTEd^ la matrice de transformation homogène définissant la situation du robot (repère R 0 ) dans le repère atelier. Dans le cas général , on peut exprimer fTEd^ sous la forme :

(^0) TEd (^) = Z (^0) Tn(q) E [3.8] Avec :

• Z est la matrice de transformation homogène définissant la situation du repère (repère R 0 ) dans le repère atelier.
• 0 Tn est la matrice de transformation homogène du repère terminal Rn dans le repère R 0 ,fonction du vecteur des variables articulaires q :
• E est la matrice de transformation homogène définissant le repère outil RE dans le repère Rn. Lorsque n ≥ 6 ,on peut écrire la relation suivante en regroupant dans le membre de droite tous les termes connus :

(^0) T n(q) = Z

-1 fT E

d (^) E-1 (^) [3.9] Principe :

Considérons un robot manipulateur dont la matrice de transformation homogène a pour expression :

(^0) T n =^

0 T

1 (q 1 )^

1 T

2 (q 2 ) …..

n-1T n(qn)^ [3.10]

Soit U 0 la situation désirée telle que :

1 0 0 Px sx nx ax 0 sx nx ax Px U 0 = 0 1 0 Py = sy ny ay 0 = sx nx ax Px 0 0 1 Pz sz nz az 0 sz nz az Pz 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 [3.11]

On cherche a resoudre le système d’équation suivant :

U 0 = 0 T 1 (q 1 ) 1 T 2 (q 2 ) …..n-1Tn(qn) [3.12]

Méthode de solution :

Pour trouver les solutions de l’équation [3.12] Paul a proposé une méthode qui consiste à pré multiplier successivement les deux membres de l’équation par la matrice jTj-

a) Étape 1

X = C Tn Gk

En développant :