Download Représentations de vecteurs et transformations de coordonnées en robotique and more Schemes and Mind Maps Kinetics of Phase Transformations in PDF only on Docsity! Robotique Faouzi Lakrad Année universitaire 2023-2024 Licence d’excellence Conception et Simulation Numérique en Mécanique (CSNM) Repérage spatial Représentations des positions et des orientations. Définition des systèmes des coordonnées. Développement des convention pour les représentations. Vecteurs unitaires du repère A : 𝑋𝐴 , 𝑌𝐴 , መ𝑍𝐴 Positionnement et 𝐴𝑷 = 𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧 = 𝐴𝑷. 𝑋𝐴 𝐴𝑷. 𝑌𝐴 𝐴𝑷. መ𝑍𝐴 Le produit scalaire de deux vecteurs 𝐴𝒖 = 𝑢𝑥 𝑢𝑦 𝑢𝑧 et 𝐴𝒗 = 𝑣𝑥 𝑣𝑦 𝑣𝑧 𝐴𝒖 . 𝐴𝒗 = 𝑢𝑥 𝑣𝑥 + 𝑢𝑦𝑣𝑦 + 𝑢𝑧𝑣𝑧 = 𝐴𝒖 𝐴𝒗 𝑐𝑜𝑠 𝐴𝒖 , 𝐴𝒗 𝜃 𝜃 Repérage d’un corps rigide
LJ) Pour localiser un corps
rigide par rapport a un repére A,
on a besoin de localiser la
osition d’un point du corps plus
Trois orientationsy(en attachant
au corps). [A]
Les vecteurs unitaires du repère A dans le repère B sont exprimés par Les vecteurs unitaires du repère B dans le repère A sont exprimés par 𝐴 𝐵𝑅 = 𝐵 𝐴𝑅𝑇 Vérifier que 𝐴 𝐵𝑅 . 𝐴 𝐵𝑅𝑇 = 𝐼
Pour décrire un repere {B} par rapport a un repeére {A}:
{B} = {8R, “Pporc}
Changements de reperes
_. > Le changement
Addition des vecteurs: Ap—43p .
Application 2 Calculer : 𝐵 𝐴𝑅, 𝐶 𝐵𝑅, 𝐵 𝐴𝑅. 𝐶 𝐵𝑅 et 𝐶 𝐴𝑅 Règle générale des matrices des rotations Opérateurs des rotations élémentaires
Ry (0) =
Ry@)=
Rz(6) = |
fil oO 0
Q cos@é —sin@
| 0 sin@ cosé
[ cosé O sing |
0 1 O
| —sind 0 cosé
[ cos@ —sin@ 0 |
sin@ cosé 0
0 0 1
4
e Ya
𝐴𝑅 𝑋𝐴, 𝛾 = 1 0 0 0 𝑐𝛾 −𝑠𝛾 0 𝑠𝛾 𝑐𝛾 𝐴𝑅 𝑌𝐴, 𝛽 = 𝑐𝛽 0 𝑠𝛽 0 1 0 −𝑠𝛽 0 𝑐𝛽 𝐴𝑅 መ𝑍𝐴, 𝛼 = 𝑐𝛼 −𝑠𝛼 0 𝑠𝛼 𝑐𝛼 0 0 0 1 𝐵 𝐴𝑅 𝛾, 𝛽, 𝛼 = 𝐴𝑅 መ𝑍, 𝛼 𝐴𝑅 𝑌, 𝛽 . 𝐴𝑅 𝑋, 𝛾 L’orientation finale du repère B cos 𝜃 ≡ 𝑐𝜃 sin 𝜃 ≡ 𝑠𝜃 Notations cach casBsy —Ssacy \casBcy + sasy
aRyyz (ys B,a)= | sacB sasBsy + cacy \sasBcy — casy
—sp cBsy cBcy
Soit une matrice de rotation, on aimerait déterminer les angles
de rotations équivalents par rapport aux 3 axes fixes.
: = _ 2 442
Ty Ta B = Atan2( 310i + Py):
aRxyz(¥. 8. %) =| ra M22 M3 | - @ = Atan2(ry; /cB, r4,/cB),
31 132 133
¥= Atan2(r39/cB, r33/cB),
Mouvement quelconque de {B} par rapport a {A}
𝐴𝑃∗ = 𝐵 𝐴𝑇 𝐵𝑃∗ = −2 sin(𝜙) 2 cos(𝜙) 0 1 𝐵𝑃 = 0 2 0 𝑂𝐴 ≡ 𝑂𝐵 = 0 0 0 ⟹ 𝐵𝑃∗ = 0 2 0 1 = 0 0 0 𝐴𝐴 𝑂𝐵 = 1 −2 0 𝐴 La transformation homogène 𝐵 𝐴𝑇 est donnée par Application 6
0) 0
2
4p = *p + 40, = (2)
0
La transformation homogéne
1001
0101
0010
0001
Py a”
f
JB
wr : P
f, ry >
O; 2
On R,
Ar —
cl =
gRGER |2® ’ Poorc +“Psora.
en) 1
Transformation inverse
Ber Am—l
AL = Be .
Apt ApTA
Br pe | ER “sone
4° [0 00) 061
Application 8
Xp vy £
A —| Ye
om 0 iA}
1
cos (~) —sin(@) 0 Xp
Ar —| sin ie cos(~) O Ya) 0,
# 0 1 0
: 0 Oo 1
Br — | —sin(p) cos(p) 0 xg sin(@) — ygcos (p)
0 0 1 0
cos(p) sin(p) 0 —xg cos(p) — ygsin (p)
T
0) 0 O T
Bibliographie
[1] John J. Craig. Introduction to robotics. Mechanics and
control. 3rd Edition, Pearson Prentice Hall, 2005.
