Rotations en Robotique: Conventions, Représentations et Applications, Essays (university) of Robotics

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Robotique

Manipulation et commande

Université de Strasbourg

Telecom Physique Strasbourg, option ISAV

Master IRIV, parcours AR

Chapitre 1 – Rappels de mécanique

Plan du chapitre

— Conventions

— 1. Positionnement

◦ 1.1. Rotation

◦ 1.2. Décompositions de la rotation

◦ 1.3. Attitude

◦ 1.4. Matrice homogène

— 2. Cinématique

◦ 2.1.Vitesse d’un solide indéformable

◦ 2.2.Vecteur vitesse de rotation

◦ 2.3. Mouvement rigide

◦ 2.4. Torseur cinématique

1.1. Rotations : le cas 2D

— Représentation de la rotation :

x 1

y 1

x 0

y 0

sin θ

cos θ

− sin θ cos θ

θ

R 0

R 1

x 1

y 1

R

01

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

0 x 1

0 y 1

1.1. Rotations : le cas 2D

— Propriétés :

— Ce type de matrice 2x2 appartient au

groupe spécial orthogonal d’ordre 2 noté

SO(2)

R

01

cos θ − sin θ

sin θ cos θ

⇒ det R { 01 } = cos

2 θ + sin

2 θ = 1

⇒ R

− 1 01

cos θ sin θ

− sin θ cos θ

= R

T 01

= R

10

1.1. Rotations : le cas 2D

— Opérateur de rotation :

x 0

y 0

θ

′ v

v

y 1

x 1

− θ

v ′ =

v = R 10

v = R θ

v

1.1. Rotations : le cas 2D

— Composition :

◦ Transformation de coordonnées :

◦ Opérateur de rotation :

R

0

R

1

R

2

P

1 P = R 12

2 P

0 P = R 01

1 P

0 P = R 01

R

12

2 P = R 02

2 P

R

0

θ 1

θ 2

v 0

v 1

v ^2 v 1

= R

θ 1

v 0

v 2

= R

θ 2

v 1

v 2

= R

θ 2

R

θ 1

v 0

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

— Changement de repère :

— Composition :

R

0

R

1

x 1

y 1

z 1

x 0

y 0

z 0

P

0 P = R 01

1 P

1 P = R 12

2 P

0 P = R 01

1 P

0 P = R 01 R 12

2 P = R 02

2 P

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

— Opérateur de rotation :

◦ Ex : rotation de v autour de y :

◦ Autres rotations élémentaires :

θ

− θ

v

R 0

R

1

x 0

y 0

z 0

x 1

y 1

z 1

R

( y 0 , θ )

= R

10

c θ 0 s θ

− s θ 0 c θ

0 v ′ = R 10

0 v = R ( y 0 ,^ θ^ )

0 v

cos θ (^) sin θ

R ( x 0 ,^ θ^ )^

=

1 0 0

0 c θ − s θ

0 s θ c θ

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

R ( z 0 ,^ θ^ )^

=

c θ − s θ 0

s θ c θ 0

0 0 1

⎛

⎝

⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟

1.1. Rotations : généralisation à la 3D

— Avec :

— Et :

R

( h , θ )

h x

2 v θ

• c θ h x

h y

v θ

− h z

s θ h x

h z

v θ

• h y

s θ

hx hyv θ + hz s θ hy

2 v θ + c θ hy hz v θ − hxs θ

h x

h z

v θ

− h y

s θ h y

h z

v θ

• h x

s θ h z

2 v θ

• c θ

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ v θ

= 1 − c θ h = hx hy hz

⎣⎢^

T

1.1. Rotations : résumé

— Propriétés :

◦ Ortho-normalité :

– La norme des vecteurs lignes et des vecteurs

colonne est égale à 1.

– Les vecteurs ligne et les vecteurs colonne sont

orthogonaux deux à deux.

◦ L’inverse est égale à la transposée.

◦ Le déterminant est égal à 1.

◦

◦ Pas commutatif :

R

02

= R

01

R

12

R

( h 1 , θ 1 )( h 2 , θ 2 )

= R

( h 2 , θ 2 )

R

( h 1 , θ 1 )

R

01

R

12

≠ R

12

R

01

1.2. Représentations de la rotation : angle/axe

— Paramétrage angle/axe :

– Toute rotation peut être

représentée par un axe de

rotation défini par un vecteur

unitaire h autour duquel on

effectue une rotation θ.

– Le vecteur θ h définit entièrement

la rotation.

θ

h

θ = arccos

r 11

• r 22

• r 33

h =

2 sin θ

r 32 − r 23

r 13 − r 31

r 21 − r 12

1.2. Représentations de la rotation : quaternions

— La rotation est parfois représentée par un

quaternion unitaire :

◦ Soit :

◦ Le quaternion p équivalent est défini par :

◦ Avec :

θ h = θ h x

h y

h z

⎣⎢^

T

p = p 0

p 1

p 2

p 3

T

=

cos

θ

sin

θ

hx sin

θ

hy sin

θ

hz

T

p = 1

1.2. Représentations de la rotation : roulis, tangage, lacet

— Définition :

◦ 3 rotation successives

autour des axes x (roulis,

roll ), y (tangage, pitch ), et z

(lacet, yaw ) de R 0.

◦ Il existe des définitions

alternatives des noms des

axes et/ou de la rotation

associée.

x

y

z

θ l

θ r

θ t

R

01

= R

( z , θ l )

R

( y , θ t )

R

( x , θ r )

1.2. Représentations de la rotation : roulis, tangage, lacet

— Matrice de rotation :

R 01 =

c θ l − s θ l 0

s θ l c θ l 0

c θ t 0 s θ t

− s θ t

0 c θ t

0 c θ r

− s θ r

0 s θ r

c θ r

c θ l c θ t − s θ l c θ r + c θ l s θ t s θ r s θ l s θ r + c θ l s θ t c θ r

s θ l c θ t c θ l c θ r + s θ l s θ t s θ r − c θ l s θ r + s θ l s θ t c θ r

− s θ t c θ t s θ r c θ t c θ r