physique quantique prepa, Lecture notes of Physics

de la quantité de mouvement est nulle, et sachant que Ap sf > ne wer F fOta wilh ls Siidentifié @Uécart type ; montrerque << E> > bn ditchkeorde eet i Peratove, pis Pi “ m Co * Pourquoi energie de la particule est fixe ? Uénergie de ta particule vérifie -telle Linegalité précédente °° OX ° on S. J > ase = teby-ceP 2 Jens. ene) ov seh ee Sieg Equation de Schrédinger a une dimension dans un potentiel V(x). 1. Description de Vétat d'une particule : La description complete de Uétat dynamique dune particule que isso med utinstant ¢ dans un référentiel R, se fait au moyen dune fonction donde yi(M, 0) a vateu la particule, @ Vinstant t, dans un volume dV(M) est donnée peat ki ition fa probabilité de présence de AP(M,t) = CM, t)p(M, ty" AV = |p(M, FAV (MA) IP (Mt 2 pM, j= 2009 =| WM, 0)" est appelée densité de probabilité dV¥(M) Dans le cas unidimensionnel — dP(M,t) = w(x, t)(M, t)' dx = wor, 2 Fax On se limitera , sauf indication contraire » aux systémes unidimensionnels 2. L’équation de Schrédinger : 2.1 Enonceé : * Considérons le mouvement d'une particule quantique de masse m, dans uni référentiel R, en interaction avec d’autre systéme physique done doté d'une énergie potentielle V(x,t) * L’équation décrivant Uévotution dans Vespace et le temps de ta fonction donde s’écrit : +, 0 WV Fh—w(M t)=— ay (M tt (M ty (Al ty) ot 2m - Scanné avec CamScanner | a aj Nomaltsation : Je ofa 1 = Fo J,lee Jide =1 Done I Cf ne depend pas det On choisit |f (| =1 (en choisissant judicteusement le coefficient multiplicatif de v(x) de facon & vérifier la condition de normalisation) Done fit} = e'@ La densité de probabilité de de présence |y(M a) associée @ un état stalionnaire est indépendante du temps b) Equation de Schrédinger —_— On suppose V(x,t) =V(x) indépendant du temps 8 “nF wx, Y= ptf) et thy )= oye nv (x .Qw(x,t) donnent : or 2m ax ~ pV or) ———— aun dim dune énergie 2m ax) Le deuxiéme membre ne dépend pas du temps done le premier ion plus eton pose @=—-W (a est homogene un angle, G@ aune pulsation) . Le produit hu est homogéne a une énergie .On pose E= hw Finalement PP 2m de" fit}=e i (x di trés interessent Remarque * On appelle cette équation l'équation aux valeurs propres" « Uncertain nombre de conditions mathématiques (de continuité, dérivabilité, carré sommable...} aboutit généralement au fait que les solutions physiquement acceptables de ne correspondent qu’d certaines valeurs discrétes de 'énergie : est la quantification (ygir plus loin) -W d? —=> +V (x) est appelé Hamiltonien Im de i-dessus ‘équation « = L’opérateur H= 1.3.3 Interprétation y Energie On a introduit 4=—-@ L'énergie de la particule associée d un état quantique stationnaire donné est alors E=hew = hu On retrouve la relation de Planck-Kinstein, E=hv, sur Uénergie d'un photon associé a un rayonnement de fréquence v ¥Y Energie cinétique Le terme V(x) du hamiltonien correspond a l'énergie potentielle dans {aquelle évolue la particule quantique. -Wd 2m dx? L'autre terme, en peut s‘apparenter a l'énergie cinétique associée a la particule Scanné avec CamScanner ‘ (S ben ely Hho nm TN ci cere 2-Particule libre Définition : On appelle particule quantique libre une particule quantique évoluant dans le vide sans interaction (V(<}=0) Sa fonction d’onde est salution de ink (x jae é (xt) ae om ae 2.1 Etat stationnaire : 2.1.1 Mise en équation zt On cherche une solution en onde stationnaire p(x, J= g(x).fi) = ee * #2 q? L’équation aux valeurs propres s’écrit eh dO) =hog(x) 2m dx 2 oes ) + 2? ols jy=0 particule libre donc peut atteindre +00 ou -00 > k(x )=0 >On )=A4 expt exp(kx ) e |x yf diverge lorsque x > +x, cette solution n’est pas acceptable. On a donc nécessairement A= B= 0 Venergie de la particule ne peut pas etre <0 Cos 2 w = 0 la forme générale de la solution de V’équation différentielle s’écrit sous la forme: p(x) =A.xX+B A=0 sinon g(x) diverge en £0 en plus S22\e(@)?dx =1 impose B-0 Finalement, la fonction d’onde est identiquement nulle, ce qui n'a aucun intérét. Cas 3 w > 0 onposantk = on aura @ (x) = Aexp(ikx) + Bexp(-iker ) A L’expression complete de la fonction d’onde est la suivante : w(x ,t) =A.expi-(kx —at)+B oxp—i (kx +at) Avec w >0, On reconnait la expression de la superposition d’une onde plane harmonique progressant dans le sens des x croissants A expi (Ax — at) et d’une onde plane harmonique progressant dans le sens des x décroissants B exp—i (kx + at). D’autre part: w(x ,t) =exp(-iat)(4 exp(i Ax ) +B .exp( —ikx )) i Scanné avec CamScanner