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Partie 1
corps noir en le modélisant par un ensemble d'oscillateurs harmoniques pouvant absorber ou
émettre la lumiÚre pour toutes les fréquences du rayonnement.
Son analyse, basée sur la thermodynamique classique conduisit à la formule suivante u=
corrigée par Sir James Jeans , qui porte le nom de loi de Rayleigh - Jeans :
oĂč u est la densitĂ© d'Ă©nergie Ă©mise par unitĂ© de longueur d'onde, est la constante de Boltzmann
et T la température absolue.
Pour des longueurs d'onde inférieures, elle fait apparaßtre une
divergence par rapport à la distribution expérimentale. Cette
divergence est appelée
" Catastrophe ultra-violette ".
c-Effet photoélectrique :
Sous irradiation ultraviolette, un métal émet spontanément des
électrons. Cet effet appelé effet photoélectrique fut détecté expérimentalement par Becquerel en
1839, Hertz en 1887. Philipp Eduard Anton von Lenard montra en 1900 que les particules
Ă©mises Ă©taient des Ă©lectrons.
Lenard montra en 1900 que le nombre d'électrons émis par le métal dépend de l'intensité
lumineuse incidente, mais que leur vitesse ne dépend que de la
fréquence du rayonnement UV.
Pour chaque type de métal, il existe une fréquence seuil (de
lâonde lumineuse) en deçà de laquelle on n'observe pas
d'émission de "photoélectrons".
En outre, l'Ă©mission est un phĂ©nomĂšne instantanĂ©, mĂȘme pour
de trÚs faibles intensités.
La loi de Rayleigh - Jeans ne permet pas de rendre compte de l'Ă©mission du
corps noir qu'aux grandes longueurs
De ce fait, et selon le modĂšle planĂ©taires, lâĂ©lectron au cours de son mouvement finira par tomber sur le noyau !!
1 Limites de la mécanique classiques :
La mĂ©canique classique nâarrive pas Ă expliquer certains phĂ©nomĂšnes physiques notamment :
a- Instabilité de la matiÚre :
A la suite des travaux d'Ernest Rutherford (1911), il fut admis que l'atome pouvait s'apparenter Ă
un noyau de charge positive autour duquel orbitent des particules chargées négativement : les
électrons. La cohésion de l'édifice atomique résulte de la force de Coulomb jouant pour l'atome le
rÎle de la force de gravitation dans un systÚme planétaire.
Le modÚle planétaire de Rutherford souffrait cependant d'une incohérence liée aux lois de
l'électromagnétisme. En effet, les particules chargées en mouvement accéléré sont susceptibles
d'Ă©mettre un rayonnement lumineux
b-Catastrophe ultraviolette :
En 1900, Rayleigh proposa d'analyser les propriétés d'absorption et d'émission à l'intérieur du
â Si V>0 pour une valeur suffisamment Ă©levĂ©e de V touts les photoĂ©lectrons Ă©mis atteignent lâanode (+) , et le courant I atteint une valeur maximale .Si on augmente davantage V le courant demeure constant. Cependant, la valeur maximale du courant est proportionnelle Ă lâintensitĂ© lumineuse â Si V<0 seulement les avec une Ă©nergie cinĂ©tique > =eV atteignent lâanode. Si > aucun Ă©lectron nâatteint lâanode. Le potentiel dâarrĂȘt est indĂ©pendant de lâintensitĂ© lumineuse Explication inexacte classique Explication quantique (Einstein 1905) Les collisions entre les quanta de lumiĂšre (photon) et les Ă©lectrons du mĂ©tal sont de type mĂ©canique oĂč lâĂ©nergie et la quantitĂ© de mouvement se transmettent et se conservent. Ainsi,
- Ă basse frĂ©quence (Îœ < ), les photons incidents nâont pas suffisamment dâĂ©nergie Ă communiquer aux Ă©lectrons pour les faire passer la barriĂšre de potentiel qui les retient dans le mĂ©tal (explication de la frĂ©quence seuil ) 2. Il sâagit dâune collisio n parfaitement Ă©lastique
Îœ = + (Ă©quation photoĂ©lectrique)
Puisque : = e Alors Μ = + e
Exemples de calcul :
1. Incapable dâexpliquer la frĂ©quence seuil:
- Avec le temps, lâĂ©lectron pourrait toujours acquĂ©rir suffisamment dâĂ©nergie pour sâĂ©chapper.
2. Incapable dâexpliquer pourquoi le potentiel dâarrĂȘte V est indĂ©pendant de lâintensitĂ©
lumineuse:
- Puisque I est proportionnel au carrĂ© de lâamplitude (A) , pour une mĂȘme frĂ©quence, si I
augmente alors lâĂ©nergie devrait augmenter
3. Incapable dâexpliquer lâĂ©mission instantanĂ©e:
- Le retard dâĂ©mission calculĂ© est beaucoup plus grand que celui mesurĂ© expĂ©rimentalement.
Conclusion: âLa thĂ©orie ondulatoire de la lumiĂšre ne rĂ©ussit pas Ă expliquer lâĂ©miss ion
photoĂ©lectriqueâ.
Constatations experimentales
2 .3 Le comportement ondulatoire de la matiĂšre :
2.3.1 InterfĂ©rences dâĂ©lectrons :
Il sâagit dâune expĂ©rience de type « fentes dâYoung », schĂ©matisĂ©e (figure). Des Ă©lectrons, Ă©mis par une source identique Ă celle dâun microscope Ă©lectronique, sont accĂ©lĂ©rĂ©s sous une diffĂ©rence de potentiel de 50 kV, puis dirigĂ©s vers un ensemble de trois Ă©lectrodes. Le flux dâĂ©lectrons Ă©mis par la source est contrĂŽlĂ©, de lâordre de 10 Ă©lectrons par seconde, ce qui correspond Ă un courant dâintensitĂ© A Une Ă©lectrode centrale cylindrique, de diamĂštre infĂ©rieur au micromĂštre, est portĂ©e Ă un potentiel supĂ©rieur de 10 V Ă celui de deux Ă©lectrodes planes disposĂ©es latĂ©ralement. La distance entre les deux Ă©lectrodes latĂ©rales est de 10 mm. La distance entre la source dâĂ©lectrons et le dĂ©tecteur est de 1.5 m, les Ă©lectrons se dĂ©plaçant dans le dispositif Ă environ Le faisceau Ă©lectronique est ainsi divisĂ© en deux faisceaux, dĂ©viĂ©s dans des sens opposĂ©s, et se recouvrant dans une zone oĂč un dĂ©tecteur est placĂ©. En pratique, lâimpact dâun Ă©lectron en un point du dĂ©tecteur produit de la lumiĂšre de fluorescence, qui est ensuite amplifiĂ©e et filmĂ©e, ce qui permet de repĂ©rer lâimpact dâun Ă©lectron sur le dĂ©tecteur, voir la vidĂ©o et la capture dâĂ©cran figure8.
On observe les Ă©lectrons arriver un par un sur le dĂ©tecteur. Cependant, lorsquâun nombre su ffisant
d âĂ© lectrons a atteint le dĂ©tecteur, on constate quâils ne sont pas Ă©quirĂ©partis. La probabilitĂ© quâun Ă©lectron arrive en un point du dĂ©tecteur est donnĂ©e par une figure dâinterfĂ©rences. Des interfĂ©rences de mĂȘme type ont Ă©tĂ© observĂ©es avec des objets de plus en plus gros : dâabord des neutrons, puis des atomes de rubidium, et mĂȘme dĂ©sormais des molĂ©cules comme les fullerĂšnes ( , masse molaire 720 g/mol) ou depuis 2012 des colorants de la famille des phthalocyanines (la plus grosse Ă©tant de formule , de masse molaire 1.2Ă g/mol).
Impact des Ă©lectrons sur lâĂ©cran
La figure ci-dessus montre que les Ă©lectrons et mĂȘme des particules plus grandes quâeux : (molĂ©cules dont la masse peut aller jusquâĂ = 1,99. ) peuvent se comporter comme une onde. Cependant : Est- ce quâon peut dĂ©finir une longueur dâonde pour la matiĂšre? JusquâĂ quelle limite lâaspect ondulatoire est - il observable chez la matiĂšre?
2.3.2. Relations de Planck-Einstein et de de Broglie :
Ainsi, tous les objets physiques peuvent ĂȘtre dĂ©crits par une onde et par une particule. On parle de dualitĂ©
onde-corpuscule. Comme pour le photon et lâonde lumineuse, la particule et lâonde de matiĂšre dĂ©crivent le
mĂȘme objet physique et leurs propriĂ©tĂ©s sont donc intimement liĂ©es. Une particule en mĂ©canique classique est dĂ©crite en particulier par sa quantitĂ© de mouvement et son Ă©nergie cinĂ©tique ; le photon par sa frĂ©quence (ou longueur dâonde ). La dualitĂ© impose de dĂ©finir une quantitĂ© de mouvement et Ă©nergie pour le photon et une longueur pour la matiĂšre
a-relation de Planck-Einstein :
LâĂ©nergie du photon est donnĂ©e par la relation photon hc ï„ h ï” ïŹ (^) = = avec Îœ leur frĂ©quence (correspondant Ă lâonde lumineuse) et h = 6.62Ă J·s la constante de Planck.
b-relations de de Bröglie :
Les relations de de Bröglie indiquent que la quantitĂ© de mouvement p dâune particule est donnĂ©e par le relation 2 h p k avec ï° = =
c-Comportement quantique ou non?:
Si les dimensions caractĂ©ristiques du systĂšme (maille cristalline, volume moyen, distance de parcours moyenne etc) sont supĂ©rieures Ă la longueur d'onde de De Broglie, les effets d'interfĂ©rence ondulatoires peuvent ĂȘtre nĂ©gligĂ©s et le comportement des particules peut raisonnablement ĂȘtre Ă©tudiĂ© Ă l'aide des lois de la mĂ©canique classique.
Ordre de grandeur des longueurs d'ondes associés à des particules
Application 1 : Justifier alors que pour une balle de tennis et pour une voiture en déplacement,
les aspects quantiques sont négligeables
3.1 InterprĂ©tation de lâexpĂ©rience des fentes dâYoung avec des Ă©lectrons
Revenons Ă lâexpĂ©rience du paragraphe 2.3.1. On rĂ©alise lâexpĂ©rience en envoyant sur les fentes une particule Ă la fois. On enregistre sur lâĂ©cran lâimpact de la particule aprĂšs son passage par les fentes. Si la fente 2 est fermĂ©e, lâensemble des particules passant par la fente 1 forme la sĂ©rie dâimpacts (1), par contre, si la fente 1 est fermĂ©e, lâensemble des particules passant par la fente 2 forme la sĂ©rie dâimpacts (2).
Résultat classiquement prévu
Propriété. Le caractÚre ondulatoire des particules devient important lorsque les dimensions
caractĂ©ristiques du milieu L deviennent de lâordre de grandeur, ou infĂ©rieur, de la longueur dâonde de de Broglie λ.
3 La fonction dâonde : interprĂ©tation probabiliste de la mĂ©canique quantique
PropriĂ©tĂ©. Pour une particule repĂ©rĂ©e par sa position x, et ayant pour quantitĂ© de mouvement p (^) x = m v. x LâindĂ©termination intrinsĂšque (incertitude) âx sur la position et â sur la quantitĂ© de mouvement sont reliĂ©es par la relation appelĂ©e LâinĂ©galitĂ© de Heisenberg. 2 ï x ï p (^) x ïł Comme le caractĂšre ondulatoire est intrinsĂšquement quantique, on traduit souvent cette inĂ©galitĂ© en postulant que si une particule a un comportement quantique alors ï x .ï px . ConsĂ©quence expĂ©rimentale (Voir CNC 2019) LâinĂ©galitĂ© dâHeisenberg fournit une interprĂ©tation naturelle aux expĂ©riences de diffraction dâĂ©lectrons. On sâintĂ©resse au passage dâun Ă©lectron de quantitĂ© de mouvement p (^) 0 = mv 0 au travers dâune fente de largeur a dans la direction y. Initialement, avant le passage par la fente, la quantitĂ© de mouvement de lâĂ©lectron est trĂšs bien connue mais sa position ne lâest pas. LâindĂ©termination est donc forte sur la position , et faible sur la quantitĂ© de mouvement. Si un Ă©lectron est dĂ©tectĂ© sur « lâĂ©cran », câest bien sĂ»r quâil est passĂ© au travers de la fente, ce qui donne une information sur sa position avec une indĂ©termination dâau plus ï y a
. Puisque lâon gagne en information sur la position, il y a nĂ©cessairement perte dâinformatio n sur la quantitĂ© de mouvement py pour respecter lâinĂ©galitĂ© dâHeisenberg. LâindĂ©termination sur la quantitĂ© de mouvement est donc : p (^) y y a ï = = ï
En dâautres termes, suite au passage par la fente, di ffĂ©rents Ă©lectrons prĂ©sentent une quantitĂ© de
mouvement di ffĂ©rente en projection sur la direction y, ce qui n âĂ© tait pas le cas avant la fente oĂč p
Peut prendre toutes les valeurs entre âï p (^) y et + ï py. En considĂ©rant des petits angles p (^) y = p (^) 0 sin ï± p (^) 0 ï± et ï p (^) y = p 0 ïï± d âoĂč 0 0 0 0 h avec on a p p a ïŹ ïï± ïŹ = ïï± Qui correspond bien Ă la largeur angulaire de la tache centrale de diffraction par une fente !! DonnĂ©es expĂ©rimentales : Application 1 : ConsidĂ©rons le bras automatisĂ© dâun robot chargĂ© dâenfoncer une piĂšce dans une autre. La masse de celle ci est de 10 g, la position finale de la piĂšce doit ĂȘtre prĂ©cise au dixiĂšme de millimĂštre et la vitesse de la piĂšce au moment de lâenfoncement est inf Ă©rieure Ă un millimĂštre par seconde. La prĂ©cision du robot est-elle limitĂ©e par la physique quantique? Application 2 : Par des techniques de refroidissement laser et confinement magnĂ©tique, on peut piĂ©ger un nuage dâatomes de sodium. âą Masse dâun atome de sodium : m = 4 Ă âą En Ă©tudiant les positions des atomes du nuage, on mesure une dispersion âx 3 ÎŒm ; âą En Ă©tudiant les vitesses de ces atomes, on mesure une dispersion âv 2 mm/s. Peut-on amĂ©liorer le piĂ©geage en gardant la mĂȘme dispersion des vitesses?
Dans le cas de lâexpĂ©rience mentionnĂ©e plus haut, les fentes ont pour largeur 62 nm et le faisceau dâĂ©lectrons est Ă©mis avec u ne Ă©nergie de 600 eV, ce qui correspond Ă une longueur dâonde de de Broglie de 50 pm. Lâouverture angulaire de la figure de diffraction est prĂ©vue comme Ă©tant de lâordre de 8 Ă rad. Le dispositif dâacquisition est trop complexe pour ĂȘtre dĂ©taillĂ© ici, on admettra que tout se passe comme si la figure de diffraction Ă©tait enregistrĂ©e par une cellule sensible de taille apparente environ 1 mm situĂ©e Ă 25 cm de la double fente. Cette cellule permet dâacquĂ©rir un champ angulaire dâenviron 4 Ă rad, et donc de voir la figure de diffraction dans son ensemble.
