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CALCOLO COMBINATORIO
PRIMO PRINCIPIO
Se una scelta può essere fatta in r modi diversi, per ognuno dei quali una seconda scelta può
essere fatta in s modi diversi, per ognuno dei quali una terza scelta può essere fatta in t modi
diversi, etc… allora la successione di tutte le scelte si può compiere in 𝑟 ⋅ 𝑠 ⋅ 𝑡 ⋅ … modi diversi.
EX_1: Quante stringhe di tre lettere si possono comporre usando solo le 5 vocali? [125]
EX_2: Quante sono le stringhe di 7 lettere costruibili usando le 21 lettere dell’alfabeto, ma
senza ripetizione? [ 21 ⋅ 20 ⋅ 19 ⋅ 18 ⋅ 17 ⋅ 16 ⋅ 15 ]
Quante senza consecutività? [ 21 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ⋅ 20 ]
SECONDO PRINCIPIO
Dati 𝑛 oggetti, essi si possono sequenziare (“mettere in fila”) in 𝑛! modi diversi, con
Def. Si dice fattoriale di un numero naturale 𝑛 il prodotto di tutti i numeri naturali diversi
da zero e minori o uguali a tale numero. Inoltre, secondo la definizione ricorsiva :
Def. Una sequenza di 𝑛 elementi si dice n-upla. Si distinguono:
- L’n-upla ordinata, da indicare con le parentesi tonde
1
2
𝑛
NB: (𝑎, 𝑜, 𝑖) ≠ (𝑎, 𝑖, 𝑜)
- L’n-upla non ordinata, da indicare con le parentesi graffe
1
2
𝑛
} NB: {𝑎, 𝑜, 𝑖} = {𝑎, 𝑖, 𝑜}
TERZO PRINCIPIO
Se un quesito coinvolge n-uple non ordinate, si dovrà pensare l’elenco di n-uple ordinate diviso
in gruppi, tali che in ciascun gruppo vi siano tutte le n-uple “equivalenti” ad una n-upla data
(contenenti cioè gli stessi elementi ma in ordine diverso).
Ogni gruppo sarà formato da 𝑛! sequenze e andrà “contato” come singola n-upla. Per ottenere
il numero di n-uple non ordinate, bisognerà quindi dividere il numero di n-uple ordinate per 𝑛!
EX: In una fabbrica con 25 operai se ne devono sorteggiare 6 per una determinata mansione.
Quanti sono i possibili esiti del sorteggio? [
25 ⋅ 24 ⋅ 23 ⋅ 22 ⋅ 21 ⋅ 20
6!
]
LE DISPOSIZIONI SEMPLICI
Si consideri un insieme formato da 𝑛 elementi distinti.
Sia 𝑘 un intero positivo, con 𝑘 ≤ 𝑛
Def. Sono dette disposizioni di 𝒏 elementi presi a k a k (o di classe k ) le k-uple ordinate che
si possono costruire utilizzando (senza ripetizione) k fra gli 𝑛 elementi dati. Risulta:
𝒏,𝒌
Da cui, moltiplicando sia sopra che sotto per (𝑛 − 𝑘)! :
𝒏,𝒌
Le Disposizioni Con Ripetizione
Si consideri un insieme di 𝑛 elementi distinti e un intero 𝑘, con 𝑘 ∈ ℕ senza limitazioni.
Per il I principio, si ha che:
𝒏,𝒌
𝒓
𝒌
LE COMBINAZIONI
Def. Sono dette combinazioni di 𝒏 elementi di classe k tutte le k-uple non ordinate
costruibili utilizzando (senza ripetizione) k fra gli 𝒏 elementi dati.
Dal III principio si ha che:
𝒏,𝒌
𝒏,𝒌
I Coefficienti Binomiali
Si definisce coefficiente binomiale (𝒏 su k ):
NB Il coefficiente binomiale può essere definito anche mediante il concetto di insieme delle
parti , ovvero l’insieme contenente come elementi tutti i possibili sottoinsiemi di un insieme
dato. Si ricorda che, preso ad esempio un insieme 𝑆 =
Si definisce dunque 𝒫
𝑘
(𝑆) come insieme delle parti (cioè sottoinsiemi 𝑋 con |𝑋| elementi)
di S che abbiano esattamente k elementi:
𝑘
Stabilendo che |𝑺| = 𝒏, si pone (∀𝑘 ∈ ℕ) per definizione:
𝒌
Prendendo sempre come esempio l’insieme 𝑆 =
, le k-parti di S con k =2 saranno gli
elementi dell’insieme delle parti seguente (contenente soltanto sottoinsiemi di 2 elementi):
𝟐
Come si nota, gli elementi di questo insieme delle parti sono 3 e infatti:
È valida inoltre la proprietà: ∑ (
𝒏
𝒌=𝟎
0
1
𝑛
𝒏
dato che, di fatto, l’insieme { 𝒫
𝑘
(𝑆) | 𝑘 ∈ ℕ, 𝑘 ≤ 𝑛} è una partizione di 𝒫(𝑆).
Alcuni risultati immediati sono:
Tra le proprietà più importanti:
- Legge delle classi complementari (
) = (
)
) ⋅
𝒏−𝒌
𝒌+𝟏
) + (
) = (
)
𝒏,(𝒌+𝟏)
