¡Descarga 1.4 Matriz inversa y más Monografías, Ensayos en PDF de Cálculo solo en Docsity!
1.4 Matriz inversa
OBJETIVOS
Calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada por operaciones elementales. Calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada por el método de cofactores. Resolver un sistema de ecuaciones por el método de la matriz inversa
Matriz inversa
Si A es una matriz cuadrada, la matriz inversa de A , representada como A ^1 , es aquella matriz que al multiplicarla por A da como resultado la matriz identidad I , es decir
AA ^1 A ^1 A I No todas las matrices cuadradas tienen inversa, si la matriz A tiene inversa se dice que A es invertible. Si la matriz inversa de A no existe se dice que A no es invertible.
por ejemplo las matrices 1 2 3 7
A ^
y 7 2 3 1
B ^
son inversas una de la otra ya que al efectuar
sus productos se tiene 1 2 7 2 1 0 3 7 3 1 0 1
AB ^ ^ ^ ^ I
BA ^ ^ ^ ^ I
Cálculo de la matriz inversa por operaciones elementales
Para calcular la matriz inversa de una matriz cuadrada A de n n , siga el procedimiento siguiente
Escriba la matriz aumentada de (^) A I (^) , de orden n 2 , n en donde I es la matriz identidad de orden n n. Efectúe operaciones elementales hasta obtener la matriz escalonada reducida.
Si la matriz escalonada reducida tiene la forma I B , entonces B es la matriz inversa. si la matriz resultante del lado izquierdo no es la matriz identidad n n entonces B no es la matriz inversa y la matriz A no es invertible.
Cálculo de la matriz inversa por cofactores
Matriz adjunta
Sea A una matriz cuadrada de n n y sean Aij todos los cofactores de la matriz A. Entonces la
matriz adjunta de A es la matriz transpuesta de la matriz de cofactores, es decir
11 12 1 21 22 2
1 2
adj
T n n
n n nn
c c c A c^ c^ c
c c c
^
Si la matriz A es invertible entonces det A 0
A^1 1 adj A A
Ejemplo 1: Calculo de matriz inversa de 2 por 2
Dada la matriz
a. Encuentre la matriz inversa por el método de operaciones elementales. b. Encuentre la matriz inversa por el método de cofactores.
Solución
a. Construyendo la matriz A I 1 3 1 0 2 5 0 1
Efectuando operaciones elementales hasta obtener la matriz escalonada reducida F 1 ( 2) F 2 F 2 1 3 1 0 0 11 2 1
F 2 (11) F 2
2 1 11 11
F 2 ( 3) F 1 F 1
5 3 11 11 112 111
Como la matriz escalonada reducida tiene la forma I B , se concluye que la matriz A es invertible y su matriz inversa es
1
A
^ ^ ^
b. Para encontrar la matriz inversa por el método de cofactores, primero se calcula el determinante de la matriz A (^1 3) (1)(5) ( 3)(2) 5 6 11 2 5
A
Como el determinante es diferente de cero, la matriz A es invertible.
F 3 ( 2) F 2 F 2
^
Como la matriz anterior tiene la forma I A ^1 , se concluye que la matriz inversa, de la matriz A es
1
A
^
^
b. Para encontrar la matriz inversa por el método de cofactores, primero se calcula el determinante de la matriz A
A
^
Como el determinante es diferente de cero, la matriz A es invertible. Calculando los 9 cofactores de la matriz A
11
12
13
21
22
23
31
32
33
c c c c c c c c c
La matriz inversa es
1
A = 1 adjA 1 6 3 1 1 3 2 (^1 5 2 1 1 1 )
T
A
^ ^
^ ^ ^
Matriz inversa y sistemas de ecuaciones
El sistema de n ecuaciones con n incógnitas
11 12 1 1 1 21 22 2 2 2
1 2
n n
n n nn n n
a a a x b a a a x b
a a a x b
puede escribirse en forma compacta como AX B donde A es la matriz de coeficientes, X es la matriz de las incógnitas y B es la matriz de términos independientes. Si la Matriz A ^1 existe se puede multiplicar ambos lados de la ecuación anterior por A ^1 1 1 1 1
A AX A B
IX A B
X A B
ya que A ^1 A es igual a I y la matriz identidad es la matriz neutra es decir que al multiplicar IX el resultado es X
Por lo tanto, si la matriz inversa existe, el sistema de ecuaciones tiene solución única dada por A ^1 B
Ejemplo 3: Solución de un sistema de ecuaciones por matriz inversa
Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones utilizando el método de la matriz inversa 2 0 4 1
w x z w y x y z y z
Solución
Al escribir el sistema en forma matricial se tiene 1 1 0 1 2 1 0 1 0 0 0 1 1 1 4 0 0 1 1 1
w x y z
Ahora se calcula la matriz inversa de la matriz de coeficientes. El cálculo se realizará utilizando operaciones elementales 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 0 1
Efectuando operaciones elementales hasta obtener la matriz escalonada reducida F 1 ( 1) F 2 F 2
Como en el lado izquierdo de la matriz se ha obtenido la matriz identidad, la matriz de lado derecho es la matriz inversa, es decir
1
A
La solución del sistema se obtiene multiplicando la matriz inversa por la matriz de términos independientes (^1 1 1 ) (^2 2 2 2 ) (^0 0 1 1 0 ) (^1 1 1 0 4 ) (^2 2 2 1 ) (^1 1 1 ) 2 2 2
w x y z
^ ^
^
^
^ ^
w
x
y
z
Es decir que la única solución del sistema es w 1, x 3, y 1, z 0
Ejercicios sobre matriz inversa
En los ejercicios siguientes, calcule la matriz inversa utilizando operaciones elementales
1.^1 1 1
2.^
^
En los ejercicios siguientes calcule la matriz inversa utilizando el método de cofactores
9.^1 1 1
10.^
En los ejercicios siguientes, resuelva el sistema de ecuaciones utilizando el método de la matriz inversa
13.^4 2
x y x y
14.^3
x y x y
x y z x y z x y z
x z x y z x y z
x y w z x y w z x y w z x y w z
x y z w x y z x y z w x y z w
En los ejercicios siguientes determine el valor de k para que la matriz dada sea invertible
19.
k k A k k k
^
20.^2
k A k k k k
^
21. Sea
a A b c
^
, donde a b c , , 0. Encuentre (^) A ^1 y muestre que (^) AA ^1 I
