DEMOSTRACIÓN DE LA MATRIZ INVERSA CALCULADA POR DETERMINANTES.
Como sabes, en clase hemos determinado que la inversa de una matriz cuadrada A cuyo
determinante es distinto de cero, viene dada por la fórmula:
Esto no lo hemos demostrado y un buen alumno o alumna de Ciencias debería saber por qué
esa matriz así construida es la inversa de la matriz A.
Veámoslo para una matriz de dimensión 3x3 (lo que no resta generalidad):
Sea
Entonces será:
Tenemos que probar que (igualmente se probaría en orden contrario)
=
c.s.q.d.
Quizás no entiendas muy bien cómo se pasa de esa matriz tan grande y tan fea de la segunda
línea a algo tan sencillo como lo que aparece en la tercera, es muy fácil:
Observa que todos los elementos de la diagonal corresponden al desarrollo del
determinante de A por una columna:
desarrollo por C1
desarrollo por C2
desarrollo por C3
El resto de elementos de la matriz valen cero porque sería el desarrollo de un
determinante mediante el producto de los elementos de una columna por los Adjuntos de
otra con lo que es como si tuviera dos columnas iguales y entonces vale cero.
Veamos uno de ellos, por ejemplo el que ocupa el lugar 12:
Los Adjuntos corresponden a la columna 1 de la matriz A pero los elementos
han sido sustituidos por los de la columna 2 luego:
(porque tiene dos columnas iguales)