Inducción
RJVM
19 de septiembre de 2006
La inducción matemática es un tipo de razonamiento mediante el cual se pueden demostrar como válidos o no
relaciones discretas como
1+2+3+···+n=1
2n(n+1),o
1+3+5+···+(2n−1) = n2.
Para demostrar una fórmula mediante inducción matemática hay que pasar por los siguientes 3 pasos:
Paso 1 Comprobar que se verifica la fórmula propuesta para algún valor entero positivo de n, por lo general,
el menor.
Paso 2 Este paso también se llama hipótesis de inducción (HI). Suponemos que la fórmula es cierta para n=k.
Paso 3 Se demuestra, a partir de la hipótesis de inducción si la fórmula es cierta para n=k+1.
Se tiene, entonces, que la fórmula es cierta para todos los valores de nsuperiores al que se hizo la comprobación
en el paso 1.
Ejemplo 1 Demuestra por inducción que
1+2+3+···+n=1
2n(n+1).
Aplicamos los tres pasos de inducción.
Paso 1 Veamos que la fórmula es cierta para n=1,
1=1
21(1 +1).
Paso 2 (HI). Suponemos que la fórmula es cierta para n=k, esto es,
1+2+3+···+k=1
2k(k+1).
Paso 3 ¿Es cierto para n=k+1? O lo que es lo mismo, ¿se cumple que
1+2+3+···+k+(k+1) = 1
2(k+1)(k+2)?
Consideremos el miembro de la izquierda. Por la hipótesis de inducción,
1+2+3+···+k
|{z }
1
2k(k+1)
+(k+1) = 1
2k(k+1)+(k+1)
=(k+1)∙1
2k+1
¸
=1
2(k+1)(k+2).
1
