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NOTAS BREVES SOBRE MATRICES Y DETERMINATES
un conjunto de mxn números distribuidos en “m” filas y “n” columnas. 1.- Definición de matriz.^ Una matriz real de orden^ mxn siendo m y n números naturales es Ejemplos: A los números que componen las matrices se les llama elementos. Se representan en generalpor la expresión a Ejemplo: ij^ donde “i” representa la fila y “j” la columna en la que se encuentra.
elementos colocados en el mismo lugar, valen lo mismo. ( han de ser la misma matriz)^ 2.-^ Igualdad de matrices^ Dos matrices son^ iguales^ si tienen el mismo orden y además los 3.- Operaciones con matrices a) Suma. Dadas dos o más matrices del mismo orden , su suma es otra matriz del mismo orden cuyos elementos se obtienen como suma de los elementos colocados en el mismo lugarde las matrices sumandos. Ejemplo: + b) Multiplicación por un número. real, se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho número. Para multiplicar una matriz cualquiera por un número Ejemplo: – 2·= c) Producto de matrices. El resultado de multiplicar dos matrices es otra matriz en la que el elemento que ocupa el lugar c (^) ij se obtiene sumando los productos parciales que se obtienen al multiplicar todos los elementos de la fila “i” de la primera matriz por los elementos de la columna “j” de la segunda matriz. Ejemplo: · =Nótese que para que esta operación tenga sentido tal y como se ha definido, es preciso que el número de columnas de la primera matriz, coincida con el de filas de la segunda. En casocontraria no casarían las multiplicaciones parciales. La matriz resultante tiene el número de filas de la primera y el de columnas de la segunda. Es importante subrayar también que en elcaso en que se pudieran multiplicar las matrices A·B y B·A , el resultado generalmente es diferente, lo que nos dice que la multiplicación de matrices no tiene la propiedad conmutativa. 4.- Matrices traspuestas Dada una matriz A, su traspuesta ( A t) es la que se obtiene al cambiar filas por columnas en el mismo orden. Ejemplo: A = At^ = Ejemplo: Dadas las matrices A = y B = , calcular : a) A + B; b) A – B c) 2A d) – 3B e) 3A + 2B; f) (A – B) t^ ; g) A·B ; h) B·A ; i) At Solución a) A + B = b) A – B = c) 2A = d) – 3B = e) 3A + 2B = f) (A – B)t^ = g) AB = h) BA = i) At^ =
5.- Determinante de una matriz cuadrada Es un número asociado a toda matriz cuadrada y que en el caso de las de 2x2 y 3x3 se calculade las siguientes maneras.
Sea A = su determinante que se expresa En el caso de que sea A = se calcula como: Obsérvese que en este caso los productos positivos están formados por los elementos de ladiagonal principal y sus dos paralelas multiplicadas por el elemento que está en el extremo opuesta. Análogo para la secundaria y sus paralelas. Este método es conocido como la de Sarrus” “regla
Ejemplos:Calcula
Calcula= – 54 +8 + 40 – 60 + 48 – 6 = – 24.
EJERCICIOS PROPUESTOS Calcular el valor de los siguientes determinantes: a) SOLUCIONES a) 1 b) – 1 c) – 1 d) – 1 6.- Propiedades de los determinantes 1.- Si una matriz cuadrada tiene una línea con todos los elementos 0, el determinante vale 0 2.- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas iguales, el determinante vale 03.- Si una matriz cuadrada tiene dos líneas paralelas proporcionales, el determinante vale 0 4.- El determinante de una matriz cuadrada y el de su traspuesta valen lo mismo 5.- Si se intercambian dos líneas paralelas, el determinante cambia de signo6.- Si multiplicamos los elementos de una línea por un número, el determinante también queda multiplicado por el mismo número Ejemplo: Sea la matriz A =. Su determinante valecolumna (por ejemplo) por 3. Nos quedaría la matriz (^) B =. Su determinante sería32. Ahora multiplicamos la segunda 96 que sería 32·37.- El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de los determinantes de dichas matrices, es decir8.- Si un determinante vale0, las filas o columnas son linealmente dependientes y si es distinto de cero son linealmente independientes
TEMA I. ESPACIO VECTORIAL
Ejemplos: a) Sean los vectores– 2( 3, – 2) + 4( – 1, 1) = ( – 10, 8 ). Este vector ( – 10, 8 ) se dice que es combinación lineal. Multiplicamos el primero por – 2 por ej. y el segundo por 4 quedando de los dos primeros. Obviamente se podrán obtener infinitos vectores generados por ellos, sinmás que cambiar los números por los que multiplicamos.
b) ¿Es el vector ( – 5 , 6 ) también una combinación lineal de los dados? Si lo fuera tendría que haber dos números a y b tales que ( – 5, 6) = a( 3, – 2) + b( – 1, 1 ) Operando el segundoresolvemos, es decir ( – 5, 6 ) = ( 3a – b, – 2a + b ) y de aquí miembro e igualando componentes llegaríamos a un sistema que de donde a = 1 y b = 8. Por tanto sí que lo es c) ¿ Es el vector ( 4, – 3 ) una combinación lineal de los vectores ( 1, – 2 ) ( – 2, 4 )? Planteando lo mismo de antes llegamos a que ( 4, – 3 ) = a( 1, – 2 ) + b( – 2, 4 ) y de aquí alsistema Al resolver este sistema vemos que es incompatible. Por lo tanto no es combinación lineal.
3.- VECTORES LINEALMENTE DEPENDIENTES e INDEPENDIENTES Dadoindependiente o sistema libre, si la única forma de obtener el vector nulo como combinación un conjunto de vectores , diremos que constituyen un sistema linealmente lineal de ellos es que “todos los escalares” valgan 0. En caso contrario, es decir si al menos un escalar es distinto de 0, el sistema es linealmente dependiente. Ejemplos:a) ¿Cómo son los vectores?
Hemos de plantear la siguiente condiciónobtenemos será que al resolverlo nos da a(3, – 2) + b( – 1, 1) = (0, 0 ). El sistema que a = b = 0 y por tanto son linealmente independientes ( L. I.)
b) ¿Y los vectores (1, – 2 ) ( – 2, 4 )? Al plantear la condición a(1, – 2) + b( – 2, 4 ) = ( 0, 0) obtenemos el sistema que es compatible e indeterminado. Tomando por ejemplo a = 6 b = 3 se cumple la igualdad sin quelos escalares sean 0. El sistema es linealmente dependiente. (L. D.)
Obsérvese que el sistema planteado siempre es homogéneo con lo que sólo caben dosposibilidades: si es determinado, la solución es la trivial y el sistema es L. I. y si es indeterminado es L. D. c) Comprobar que los vectores son L. I. d) Comprobar que los vectores son L. D.
4.- SISTEMA GENERADOR
Dadovectorial E, si cualquier vector de E se puede escribir como una combinación lineal de ellos. un conjunto de vectores , diremos que es un sistema generador para el espacio Es decir si w E w =. Ejemplos:a) Probar que los vectores son un sistema generador ( S. G. ) de R 2 Cojamos un vector cualquiera de R^2 por ejemplo ( m, n ) y escribimos a(3, – 2) + b( – 1, 1) = (m, n ). De aquí el sistemaa = m + n y b = 2m + 3n lo que nos indica que sea cual sea el valor de m de donde obtenemos y n siempre podemos obtener el valor de “a” y “b” b) ¿ Y los vectores ( 1, – 2 ) ( – 2, 4 )? Para un vector ( m, n ) tendríamosresolverlo nos da 0 = 2m + n , o sea no podemos calcular el valor de “a” y “b” y por lo tanto a(1, – 2) + b( – 2, 4 ) = ( m, n) y de aquí que al no lo puede generar. 5.- BASE y DIMENSIÓN DE UN ESPACIO VECTORIAL Unacondiciones: base de un espacio vectorial es un conjunto de vectores que cumplen dos a) b) Es un sistema de vectores linealmente independientesEs un sistema generador del espacio vectorial Se demuestra que todas las bases de un espacio vectorial que puede tener infinitas tienen elmismo número de vectores. A dicho número se le llama “dimensión” del espacio vectorial. Así la dimensión de R 2 es 2 ; la de R 3 es 3 y en general la de Rn^ es n. La dimensión del subespacio vectorial formado por el {0} tiene dimensión 0A la base cuyos vectores tienen sus componentes 0 excepto una que vale 1 se le llama “base canónica”. En R^2 sería { ( 1, 0) ( 0, 1) }. En R 3 { ( 1,0, 0 ) ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) } y así sucesivamente. 6.- COORDENADAS DE UN VECTOR RESPECTO DE UNA BASE Son los escalares por los que hay que multiplicar los vectores de la base para obtener el vectordado Ejemplos:a) Calcular las coordenadas del vector ( – 5, 6) respecto de la base {( 3, – 2) ;( – 1, 1 )} Ya hemos visto antes queb = 8. Dichos números 1 y 8 son las coordenadas buscadas ( – 5, 6) = a( 3, – 2) + b( – 1, 1 ) nos da como resultado a = 1 y b) ¿Y respecto de la base canónica?. Obsérvese que en este caso ( – 5, 6) = a( 1, 0) + b( 0 ,1 ) nos da a = – 5base canónica, coinciden “las componentes del vector con las coordenadas de dicho vector b = 6. Es decir en la respecto de la base canónica”
Sea F =. En este caso nos indica que si x toma un valor cualquiera, la y ha de valer el triplecon signo cambiado. Vectores de F serían ( 0, 0) ( 1, – 3) ( – 2, 6) ( 4, – 12) etc.. Ejemplo 2º: Sea F = { ( }. Se nos indica que los vectores, que son de R^3 , tienen la característica de que la 1ª y la 3ª componente son opuestas y la 2ª es el doble de la 1ª; por ejemplo los vectores ( 3, 6,– 3 ) y ( – 1, – 2, 1 ) pertenecen a F Ejemplo 3º : Sea F = { ( }En este caso se significa que la 1ª componente x valor independiente del 1ª que llamamos y la 3ª, vale la resta de los dos. Por ejemplo:^1 toma un valor arbitrario , la 2ª x^2 toma otro ( 3, – 1, 4 ) ( – 2, 1, – 3 ). c)generados por él o ellos. Dando los vectores que generan el subespacio. En este caso los vectores de F son los
Ejemplo 1º: Sea F = R( 1, – 1). Esta forma de expresar el subespacio no indica que los vectores de él sonlos generados por el ( 1, – 1), es decir por ej. (4, – 4) (– 2,2 ) ( 0, 0) ( – 5, 5) etc. Ejemplo 2º Sea F = R ( –1, 1, 0 ) + R ( 2, 0, 1 ) = { a ( –1, 1, 0 ) + b ( 2, 0, 1 ) } = { ( – a + 2b, a, b ) } Es importante de cara a la resolución de problemas, el saber pasar de un modo a otro.Veámoslo con algún ejemplo. El paso del modo c) al b) está resuelto en el ejemplo anterior. En el caso que tengamos quepasar del b) al c), no habría más que sacar factor común los parámetros a y b. Por ejemplo: Ejemplo 1º : Sea F = { ( a, – 3a ) } = { a ( 1, – 3 ) } = R ( 1, – 3 ) y ya estaríamos en la c) Ejemplo 2º : Sea F = {( a – b, b, 3a + b )} = {a (1, 0, 3 ) + b ( – 1, 1, 1 )} = = R (1, 0, 3 ) + R( – 1, 1,1 ) Para pasar del b) al a) se eliminan los parámetros. Por ejemplo: Sea F = { ( a, 3a ) a}. Significa que x 1 = a y x 2 = 3a. Sustituyendo el valor de a en la 2ª quedaría x 2 = 3 x 1 de donde 3x 1 – x2 = 0 que es la ecuación cartesiana Ejemplo 3º : Sea F = { ( a + b, 2a, 3a – b ) a, b R }. De aquí Entre la 1ª y la 3ª, sumándolas eliminamos b y queda x 1 + x 3 = 4a (1) y junto con x 2 = 2a que multiplicamos por – 2 y sumamos con (1) quedaría x 1 – 2x2 + x 3 = 0.
Para pasar de la a) a la b) se calcula el valor de cada componente, teniendo en cuenta que almenos una tendrá que tomar valores arbitrarios. Ejemplo 1º Sea el subespacio cuya ecuación cartesiana es 2x 1 – x 2 = 0 : si queremos calcular x (^) 1, es evidente que su valor dependerá de lo que valga x 2 y viceversa. Así si queremos despejar x (^) 1, le daremos a x 2 el valor “a” y x 1 = con lo que el subespacio será: F = { (x1,x2 ) = ( , a ) } lo que nos dice que el valor de la 1ª componente es la mitad del de la 2ª. Para evitar trabajar con fracciones se puede escribir F = { ( a, 2a) } que representa el mismo subespacio
Ejemplo 2º Sea F = { (x1, x2, x3 ) de R^3 / x 1 + x 2 – 2x3 = 0 } El valor de cada una de ellas depende de las otras dos, por lo tanto al calcularla tendremos que darle a x 2 por ej. el valor “a” y a x 3 el valor “b” con lo que x 1 = – a + 2b y el subespacio quedaría:F = { ( x 1, x2, x3 ) = ( – a +2b, a, b ) } que al sacar factor común a y b quedaría F = { a ( – 1, 1, 0 ) + b ( 2, 0, 1 ) } = R ( – 1, 1, 0 ) + R ( 2, 0, 1 ) y estaríamos en la forma c). Por último, en el caso en que F viniera en función de dos ecuaciones implícitas por ej. F = {( x1, x (^) 2, x 3 ) / x 1 + x 2 – 2x 3 = 0 x 1 – x 2 = 0 }, resolveríamos el sistema quedándonos con dos incógnitas al haber dos ecuaciones, con lo que dependerían de una sola incógnita
le damos a x 3 el valor “a” y resolvemos el sistema obteniendo x 1 = a y x 2 = a. Luego F será F = { ( x1, x2, x3 ) = ( a, a, a ) } = {a ( 1, 1, 1 ) } = R( 1, 1, 1)
10.- SUBESPACIO INTERSECCIÓN DE OTROS Dados dos subespacios L y M, el subespacio intersección , está formado por los vectores quepertenecen simultáneamente a los dos. La forma más fácil de averiguarlo es, una vez expresados en forma implícita, resolver el sistema formado por sus ecuaciones. ( se verá en laparte práctica ). Si la intersección es el vector nulo se dirá que los subespacios son independientes. Ejemplo 1º Sea L = y sea M =
Para calcular el rango hay que tener en cuenta: a) Que el vector nulo (aquél que tiene todas sus componentes nulas) depende decualquier otro, ya que basta multiplicar éste por 0 para obtener el nulo. Por tanto, si aparece en el sistema de vectores se puede eliminar sin que se modifique el rango del b) sistema.Si un vector se obtiene multiplicando otro por un número, es proporcional al primero, y por tanto depende de él y también se puede eliminar del sistema sin que se c) Si un vector es combinación lineal de otros, se puede eliminar sin que se modifique elmodifique el rango d) rango. Importante : Las columnas de una matriz pueden considerarse vectores y una propiedad de los determinantes nos asegura que si éste vale 0, las columnas (vectores)son linealmente dependientes pero si no es 0 los vectores que lo componen son linealmente independientes. e) En R^2 hay a lo sumo dos vectores linealmente independientes; en R 3 tres y en general en Rn^ hay n vectores a lo sumo L.I. Ejemplo Calcular el rango de los vectores:{(1, – 2, 1) (0, 2, 4) (0, 0, 0) (– 3, 6, – 3) (1, 0, 5) (– 2, 2, 1) } El procedimiento sería el siguiente: Eliminamos el 3º por ser el nulo, el 4º por ser el 1ºmultiplicado por – 3, el 5º por ser la suma de los dos primeros y depende de ellos ( esto no es fácil de ver. Ahora veremos cómo lo resolveríamos en el caso de no darnos cuenta).Elegimos dos vectores que sean linealmente independientes, por ej. los dos primeros que no son proporcionales. Esto nos asegura que el rango es como mínimo 2. El 3º es evidente que seeliminaría. El 4º también por ser proporcional a uno de los dos elegidos (esto también es fácil de comprobar). Con el 5º como no está claro, formamos el determinante siguiente con los vectores en columnas:= 0 lo que nos indica que la tercera columna es combinación de las dos primeras y por lo tanto se elimina también. Y con el sexto vector hacemos lo mismo= 14 que es distinto de 0 con lo que las tres columnas son linealmente independientes. Por tanto el rango del sistema de vectores dado es 3, que por otra parte es el valor máximo quepuede ser al tratarse de vectores de R (^3) que como sabemos es un espacio vectorial de dimensión 3 y por lo tanto no puede haber más de 3 vectores linealmente independientes. Si elsistema hubiese tenido más vectores, el rango no podría haber aumentado.
14.- SUBESPACIO AFIN Dado un espacio vectorial E, diremos que A es un subespacio afín de E si A = v + F siendo vun vector cualquiera de E y F un subespacio vectorial de E, es decir: A = v + F = { z E tales que z = v + x con x F } ( cualquier vector de A es suma del v que es fijo y otro de F ) Ejemplo: Sea A = ( 2, 1, 1) + R( 1, 0 , – 1). En este caso v = ( 2, 1, 1) y F = R ( 1, 0, – 1). En A estarían por ej. los vectores ( 2, 1, 1) + ( 1, 0 ,–1 ) = ( 3, 1, 0) ;
( 2, 1, 1 ) + ( 3, 0, – 3 ) = ( 5, 1, – 2) ( 2, 1, 1) + ( – 2, 0, 2 ) = ( 0, 1, 3 ) etc…. También puede venir el subespacio afín de esta forma A = En este caso como x3, 0 ) más el subespacio F engendrado por los vectores ( 1, – 1, 0 ) y ( 0, 0, 1), es decir el vector + = ( 0, 3 , 0) + y por tanto A es la suma del vector v = ( 0 , A = ( 0, 3, 0 ) + R( 1, – 1, 0 ) + R( 0, 0, 1 ) Nótese que cualquier subespacio vectorial es un subespacio afín ya que siempre se puedeponer como A = {0} + F. El contrario no es cierto. El ejemplo anterior nos sirve ya que en él no estaría el vector neutro 15.- HIPERPLANOS DE R n Un hiperplano de Rn^ es el conjunto de vectores que verifican una ecuación lineal. Se expresa así donde los a (^) i y la d son números reales y las ai no son simultáneamente nulas. Ejemplos: H 1 = es un hiperplano de R 2 H 2 = es un hiperplano de R 3
16.- TEOREMA. Todo hiperplano es un subepacio afín
17.- SUBESPACIOS AFINES PARALELOS y DÉBILMENTE PARALELOS Dos subespacios afines A = v + F y B = w + G son paralelos si F = G y son débilmente paralelos ( v + F es débilmente paralelo a w + G ) si F G EJERCICIOS 1.- ¿Qué valores han de tener “x” e “y” para que los vectores (2, 1, x ) ylinealmente dependientes? Sol: x = 5 e y = 3 ( 6, y, 15 ) sean 2.- ¿Y para que sean linealmente independientes? Sol: x 5 ó y 3 3.- a) ¿Pueden ser tres vectores de R 2 una base de éste? Sol: No. Las bases de R 2 sólo pueden tener dos vectores b) ¿Y un vector? Sol : Tampoco c) ¿ Puede ser una base un sistema de vectores que contenga el vector nulo?Sol : No ya que el vector nulo depende de los demás y por lo tanto no sería L. I. d) ¿Puede ser una base de R^2 dos vectores proporcionales?. Por ejemplo { ( –2, 1 ) ( 6, – 3 ) } Sol: No porque uno de ellos se puede poner como combinación del otro y por lo tanto noserían L. I.
a) el sistema es libre si a = 0 b) el sistema es libre si a = – 3 c) el sistema es ligado si a = 3 d) el sistema es ligado si a = 0 Sol : la a 12.- Si a es un valor que hace que los vectores anteriores sean base de un subespacio ylas coordenadas del vector ( 3, 1, 1, 0 ) respecto de dicha base, entonces comprobar que. son Sol : Basta expresarlo como C. L. y resolver el sistema 13.- ¿ Cuál de los siguientes subconjuntos es un subespacio vectorial de R 4? a) { ( x1, x2, x3, x4 ) / x 1 + x 2 = 1 } b) { “ / x 1 + x 3 = 1 } c) { “ / x 2 = x 3 } d) { “ / x 1 + x 2 = x 12 } Sol : Es la c. Ya que la a y la b no contienen al neutro y la d no es lineal 14.- Los vectores ( 1, 2, a ) ( 2, b, 6 ) son L. I. en R^3 sí y solo sí a) b) c) a = 3 b = 4 d) Ninguna Sol : Si fueran L. D. a = 3 y b = 4, por tanto la negación es que 15.- ¿ Cuál de los siguientes sistemas de vectores es una base de R^2? a) ( 1, 0 ) ( 2, 0 ) b) ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 0, 0 ) c) ( 1, 0 ) ( 0, 1 ) ( 1, 1 ) d) ( 1, 1 ) ( 1, 2 ) Sol : la d 16.- Sean los subespacios F 1 = R ( 0, 1, 1 ) y F 2 = { ( x (^) 1, x2, x3 ) / x 1 = 0 } Demostrar que F 1 + F 2 = F 2 Sol : F 2 = R ( 0, 1, 0 ) ( 0, 0, 1 ) y como ( 0, 1, 1 ) = ( 0, 1, 0 ) + ( 0, 0, 1 ), cualquier vector de F 1 es de F (^2) 17.- Dada la base ( 1, 2) ( 1, 1 ) calcula las coordenadas de un vector ( a, b ) Sol : y 18.- ¿Cuál de los siguientes subconjuntos no es subespacio vectorial de R 3? a) { ( a, b, c ) / a + b + c = 0 } b)c) {{ ““ (^) / a/ 2b + 3c = 5a } (^2) + b 2 + c (^2) = 0 }
Sol : La d por no contener al neutrod)^ {^ “^ /^ a = 1 } 19.- ¿Para qué valores de b los vectores ( b, – 3, 2 ) ( 2, 3, b ) ( 4, 6, 4 ) no son una base deR 3? Sol : b = 2 ó b = – 2
20.- La dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores ( 1, 2, 3 ) ( 4, 5, 6 ) ( 7, 8, 9 ) es : Sol : 2
21.- Sean las bases de R^2 B = {(1, – 1 )( 0, 2 } y B’={( – 1, 0 ) ( 2, 1 )}. Si las coordenadas de un vector respecto de la 1ª son – 1 y 1, ¿ cuáles son las coordenadas respecto de la 2ª base?. Sol : 7 y 3 22.- Dados los subespacios L = {( x1, x2, x3 ) / x 1 = x 3 , x2 = 0 } y M = { ( x1, x2, x3 ) / x 3 = 0 }. Demostrar que LM = R^3 Sol : Como L = R ( 1, 0, 1 ) yademás L + M = R (^3) , los subespacios L y M son suma directa. M = R( 1, 0, 0 ) + R( 0, 1, 0 ) y como son independientes y
23.- Sean los vectores ( a, – 1, 1 ) (– 1, 2, – 1 )vectores, entonces: ( 0, a, 0 ). Si “r” es el rango de los tres a) r = 3 si a = 1 b) r = 2 si a = 0 c) r = 1 si a = 0 d) r = 2 si a = – 1 Sol : la b 24.- Sean los vectores ( 2, 3, 0 ) ( 0, 1, 2 ) ( 2, 2, – 2 ) ( – 2, – 1, 4 ).¿ Cuáles son sus ecuaciones cartesianas? a) x 1 + x 2 = 0 x1– x3 = 0 b ) x 3 = 0 c) 3x 1 – 2x2 + x 3 = 0 d) R 3 Sol : Comprobando las que verifican los vectores se comprueba que es la c 25.- ¿ Cuál es el rango del sistema de vectores anterior? Sol : 2
26.- Dados los subespacios vectoriales: F 1 = R ( 1, 1, 1 ) y F 2 = { ( x1, x2, x 3 ) / x 1 = 2x2, x 3 = 3x 2 }. Determinar cual de estos vectores no pertenece a F 1 + F2: a) ( 3, 2, 4 ) b) ( 2, 1, 3 ) c ) ( 1, 1, 1 ) d) ( 3, 2, 1 ) Sol : La d 27.- Los vectores ( 3, 0, a, – 1 ) ( 1, 1, 0, b ) ( 2, 5, b, – 4 ) son L. D. si : a) a = 1 y b = – 1 b) c) d) a = 1 ó b = – 1 Sol : la a 28.- La dimensión del subespacio vectorial generado por los vectores ( b, – 5, 3 ) ( 3, 5, b ) ( 6, 10, – 6 ) es igual a 1 si : Sol : b = – 3. 29.- Sean los subespacios de R 3 L = {( x, y, z ) / x + 3y – z = 0 , x + y = 0 } M = { ( a, 0, 3a ) }. ¿ Cuál es el subespacio L + M? Sol : L + M = { ( x, y, z ) / 3x + 5y – z = 0 } 30.- La dimensión del subespacio LM ( siendo L y M los del ejercicio anterior) es : Sol : 0
primeros y si a es distinto de 3 el rango es 4. La respuesta es la b) 2.- Sea {v1, v2, v3, v4} un sistema de vectores de un espacio vectorial E de dimensión finita. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones puede ser falsa? a) rang {v1, v2, v3, v4} = rang {v (^) 2, v1, v3, v4} b) rang {v1, v2, v3, v4} = rang {v 1 + v (^) 2, v1, v3, v4} c) rang {v1, v2, v3, v4} = 1 + rang {v2, v3, v4} d) rang {v1, v2, v3, v4} = rang {v 1 v2, v1, v3, v4} Sol: Por teoría sabemos que la a) , b) y d) son ciertas. La c) puede ser falsa si el vector v 1 es combinación lineal de los otros tres. En este caso, el rango no aumenta en una unidad. 3.- Los vectores (b, 3, 2) (2, 3, b) y (4, 6, 4) NO forman base de R 3 si el parámetro real a verifica: a) b {2, 2} b) b {3, 0} c) b {1, 1} d) b = 5 Sol: C alculamos que se anula para b = 2 y b = 2. En estos casos los vectores son L.D. y no forman base. La respuesta es la a)
4.- Una base del subespacio vectorial de R 4 es: a) {(1, 0, 1, 1) (1, 0, 2, 1)} b) {(0, , 1, 0) ( 1, , 0, 1)} c) {(0, 0, 1, 0) (2, 0, 0, 1)} d) {(, 0, 1, ) (1, 2, 1, )} Sol: El subespacio viene dado por sus ecuaciones cartesianas. Aquellos vectores que formen parte de él tendrán que cumplir estas ecuaciones. Si vamos sustituyendo las posibles bases, vemos que es la b) la que las cumple.
5.- Consideremos el subconjunto de R 3 : A = donde a y b son números reales. Entonces: a) A es un subespacio vectorial de R^3 cualesquiera que sean a y b b) Si a = b = 0 entonces A = R( 0, 1, 0)
c) (0, 0, 0) A cualesquiera que sean a y b d) Si a = b = 0 entonces A no es subespacio vectorial de R^3 Sol: La a) es falsa ya que si a no es 0 no puede ser subespacio vectorial porque el elemento neutro no cumpliría la primera ecuación cartesiana. Este argumento sirve para la c). La d) es falsa ya que si a = b = 0 entonces que sí sería un subespacio vectorial y además sus vectores son de la forma: R( 0, 1, 0) que es la b) 6.- Consideremos los vectores de R 3 : (a, 1, 1) (1, 2, 1) y (0, a, 0). Entonces: a) r = 3 si a = 1 b) r = 2 si a = 0 c) r = 1 si a = 0 d) r = 2 si a = 1 Sol: anula para a = 0 y a = 1. Lo podemos hacer probando las soluciones o por determinantes. Si calculamos que se Para estos dos valores, el rango no es 3. Ahora bien si a = 0 las dos primeras columnas por ejemplo son L.I. por no ser proporcionales y el rango es 2 que es la b) 7.- Los vectores (1, 2, a) y (2, b, 6) son L.I. de R^3 si y sólo si: a) a 3 y b 4 b) a 3 o b 4 c) a = 3 y b = 4 d) Ninguna de ellas Sol: Para que sean L.I. no pueden ser proporcionales. Para que lo fueran a = 3 y b = 4. Para que no lo sean basta con que no se cumpla una de ellas es decir: a 3 o b 4 que es la b) 8.- Consideremos en subconjunto de R^2 : con a , b y k números reales. Si k = 0 qué opción es incorrecta: a) A 0 es subespacio vectorial de R^2 cualesquiera que sean a y b b) Si a = b = 0 entonces A 0 = R^2 c) A 0 = R(b, a) cualesquiera que sean a y b d) (0, 0) A 0 cualesquiera que sean a y b
Sol: La a) es correcta ya que sería el subespacio dado mediante su ecuación cartesiana. La b) también sería correcta ya que si a = b = 0, tendríamos
Sol: Sabemos que u = 1(1, 1) + 1(0, 2) = (1, 3). Ahora lo ponemos en función de la base B’. Queda: (1, 3) = a(1, 0) + b( 2, 1) y de aquí el sistema que nos da b = 3 y a = 7 que es la c) 12.- ¿Cuál de los siguientes subconjuntos de R^4 es un subespacio vectorial de R 4? a) b) c) d) Sol: Un subespacio vectorial ha de contener al elemento neutro, es decir ha de verificar la ecuación cartesiana. La a) y la b) no la cumplen. La d) tampoco es porque la ecuación cartesiana ha de ser lineal (no puede haber un exponente al cuadrado). La respuesta es la c) 13.- Determinar cuál de los siguientes subespacios afines de R^3 es paralelo al hiperplano . a) ( 3, 0, 0) + R( 1, 0, 1) + R( 0, 1, 0) b) ( 3, 0, 3) + R( 1, 0, 0) + R( 0, 1, 0) c) ( 0, 3, 0) + R( 1, 0, 1) + R( 0, 0, 1) d) ( 0, 0, 3) + R( 1, 1, 0) Sol: Sabemos por teoría que dos subespacios afines v + F y w + G son paralelos si los subespacios F y G son el mismo. Veamos qué vectores generan el hiperplano Como , tenemos que y nos quedaría: = = (4, 0, 0) + R(0, 1, 0) + R(1, 0,1). La respuesta es la a) por tener los mismos vectores generadores. 14.- Determinar cuál de los siguientes conjuntos NO es subespacio vectorial de R^3 : a) b) c) d) Sol: Cualquier subespacio vectorial ha de contener el neutro de R 3. El subconjunto d) no es subespacio ya que no contiene al neutro al tener la primera componente siempre igual a 1. Esta es la respuesta. 15.- Considere los subespacios vectoriales de R 3 :
y. Se verifica: a) (1, 0, 1) b) (1, 0, 1) L + M c) L M = R^3 d) Ninguna de las anteriores Sol: La respuesta a) no es cierta ya que para estar en la intersección ha de estar en los dos. Las ecuaciones de L las cumplen, pero no la de M ya que la tercera componente ha de valer 0 y en esta caso, en el vector (1, 0, 1) vale 1. Por otra parte = == R(1, 0, 1) = == R(1, 0, 0) + R(0, 1, 0) L + M está generado por los vectores : {(1, 0, 1) (1, 0, 0)(0, 1, 0)}. La respuesta b) es falsa ya que el vector (1, 0, 1) está en el subespacio suma. Por otra parte los tres vectores son L.I. y los subespacios independientes ; luego son una base de R 3. La respuesta es la c) 16.- Consideremos el sistema de vectores de R^4 : B = {(1, 1, 0, 0) (0, 1, 1, 0) (2, 1, a, 0)}. Se tiene que: a) Es un sistema libre si a = 0 b) Es un sistema libre si a = c) Es un sistema ligado si a = 3 d) Es un sistema ligado si a = 0 Sol: Como los dos primeros son L.I. por no ser proporcionales, veamos bajo qué condiciones el tercer vector es C.L. de los dos primeros: (2, 1, a, 0) = (1, 1, 0, 0) + (0, 1, 1, 0) que nos conduce al sistemaPara este valor, los vectores forman un sistema ligado. En caso contrario forman un sistema de aquí = 2 ; = 3 y por tanto a = 3. libre. La respuesta que se adecua es la a) 17.- Sean los subespacios vectoriales de R 3 siguientes: y El subespacio vectorial L + M es: a) b) c) d) R^3
